专题06 数列-2024年高考数学二模试题分类汇编学案（原卷版+解析版）

这是一份专题06 数列-2024年高考数学二模试题分类汇编学案（原卷版+解析版），文件包含专题06数列原卷版docx、专题06数列解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共90页， 欢迎下载使用。
数列的基本概念
一、单选题
1．（2024·广东深圳·二模）已知n为正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江吉林·二模）某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A．B．0C．1D．2
5．（2024·河南新乡·二模）已知在数列中，，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2024·安徽池州·二模）对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024·辽宁鞍山·二模）数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．5D．8
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·广东佛山·二模）设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列单调递减
B．若对任意，都有，则
C．若，则对任意，都有
D．若的最大项与最小项之和为正数，则
12．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
13．（2024·浙江绍兴·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．若数列是递增数列，则D．若数列是递增数列，则
14．（2024·河北石家庄·二模）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列有最小项，且有最大项B．使的项共有项
C．满足的的值共有个D．使取得最小值的为4
三、填空题
15．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为 ．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 .
等差数列
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2024·河北邢台·二模）已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（ ）
A．B．C．或1D．或1
3．（2024·山东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．156B．252C．192D．200
4．（2024·江西上饶·二模）记数列的前项和为，若是等差数列，，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·辽宁·二模）记等差数列的前n项和为，，则（ ）．
A．13B．26C．39D．78
6．（2024·安徽黄山·二模）已知数列是等差数列，且，，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南郑州·二模）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．－36或36B．－36C．36D．18
8．（2024·黑龙江·二模）已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．5D．7
10．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．9B．21C．39D．51
12．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码B．29.5码C．32.5码D．34码
13．（2024·浙江温州·二模）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·湖南·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．76B．72C．36D．32
二、多选题
15．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
16．（2024·辽宁·二模）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．满足的n的最小值为14
17．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．B．当时，
C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则的值可能为6
三、填空题
19．（2024·湖南邵阳·二模）已知等差数列的前项和为.若，，则 .
四、解答题
20．（2024·山东·二模）已知数列．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和的最大值．
等比数列
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）在公差不为0的等差数列中，，，是公比为2的等比数列，则（ ）
A．11B．13C．15D．17
2．（2024·浙江台州·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东·二模）若成等比数列，则实数的值是（ ）．
A．5B．或5C．4D．或4
4．（2024·安徽·二模）已知数列的前项和为，等比数列满足，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南通·二模）若，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2B．C．3D．
7．（2024·湖南衡阳·二模）已知是等比数列，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．（2024·安徽安庆·二模）设是公比不为1的无穷正项等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024·江苏宿迁·一模）设是等比数列的前项和，若成等差数列，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
10．（2024·湖北黄冈·二模）数列满足：，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
11．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取，，则
B．满足题意的也必是一个等比数列
C．在的前100项中，的可能项数最多是6
D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
12．（2024·安徽安庆·二模）满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（ ）
A．存在非零实数t，使得为等差数列
B．存在非零实数t，使得为等比数列
C．
D．
三、填空题
13．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则 .
14．（2024·湖北·二模）方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列，则 ，该方程的解集为
数列的求和
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江杭州·二模）设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110B．120C．288D．306
二、解答题
3．（2024·广东佛山·二模）已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
4．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，令，求证：．
5．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
6．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
7．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.
(1)求，，，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前和.
8．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
9．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足
(1)写出;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)若，求数列的前项和.
10．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
11．（2024·浙江·二模）已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)求数列的前n项和.
12．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.
13．（2024·黑龙江吉林·二模）已知是数列的前项和，，是公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
14．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
15．（2024·河南新乡·二模）已知数列满足，．
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前项和，并证明．
16．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
17．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.
新定义问题
一、解答题
1．（2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．
2．（2024·河北石家庄·二模）设集合是一个非空数集，对任意，定义，称为集合的一个度量，称集合为一个对于度量而言的度量空间，该度量空间记为.
定义1：若是度量空间上的一个函数，且存在，使得对任意，均有：，则称是度量空间上的一个“压缩函数”.
定义2：记无穷数列为，若是度量空间上的数列，且对任意正实数，都存在一个正整数，使得对任意正整数，均有，则称是度量空间上的一个“基本数列”.
(1)设，证明：是度量空间上的一个“压缩函数”；
(2)已知是度量空间上的一个压缩函数，且，定义，，证明：为度量空间上的一个“基本数列”.
3．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．
4．（2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.
5．（2024·全国·二模）已知由个数构成的有序数组，如果恒成立，则称有序数组为“非严格差增数组”.
(1)设有序数组，试判断是否为“非严格差增数组”？并说明理由；
(2)若有序数组为“非严格差增数组”，求实数的取值范围.
6．（2024·湖南岳阳·二模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
7．（2024·辽宁·二模）如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
(1)若，求的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
8．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．
(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．
9．（2024·河南郑州·二模）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.
10．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.
11．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．
12．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.