专题07 直线与圆、圆锥曲线-2024年高考数学二模试题分类汇编学案（原卷版+解析版）

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直线与圆
一、单选题
1．（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A．B．C．2D．
2．（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A．B．
C．D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2024·湖南岳阳·二模）已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
6．（2024·辽宁鞍山·二模）已知直线，点在圆上运动，那么点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1B．C．D．2
8．（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2024·山东·二模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．直线与圆相交
C．当直线平分圆时，D．当点到直线距离最大值时，
10．（2024·浙江温州·二模）已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
11．（2024·湖南衡阳·二模）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（ ）
A．圆上恰有一个点到的距离为B．直线恒过点
C．的最小值是D．四边形面积的最小值为
12．（2024·河南新乡·二模）已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·广东深圳·二模）设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（2024·云南红河·二模）若圆与圆交于两点，则下列选项中正确的是（ ）
A．点在圆内
B．直线的方程为
C．圆上的点到直线距离的最大值为
D．圆上存在两点，使得
三、填空题
15．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 .
16．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
17．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：）
18．（2024·辽宁沈阳·二模）已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ．
19．（2024·浙江杭州·二模）写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程 ．
20．（2024·湖北·二模）已知直线与圆相交于A，B两点当的面积最大时， ，
21．（2024·浙江丽水·二模）已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 .
22．（2024·黑龙江·二模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 ．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为 ．
24．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ．
25．（2024·安徽芜湖·二模）若实数x，y满足，则的最大值为
椭圆及其性质
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东佛山·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·辽宁·二模）已知椭圆与抛物线在第一象限的公共点为A，椭圆的左、右焦点分别为，其中右焦点与抛物线的焦点重合，已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·浙江丽水·二模）已知椭圆为左､右焦点，为椭圆上一点，，直线经过点.若点关于的对称点在线段的延长线上，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·河南新乡·二模）已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（ ）
A．4B．C．3D．2
9．（2024·全国·二模）如图，平面四边形中，，.若是椭圆和双曲线的两个公共焦点，是与的两个交点，则与的离心率之积为（ ）
A．B．C．2D．3
10．（2024·湖南·二模）若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
11．（2024·湖南邵阳·二模）已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·广东佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.67B．0.77C．0.87D．0.97
二、多选题
13．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．离心率D．若，则
14．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线的斜率为
C．为等腰三角形
D．
15．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A．的离心率为B．
C．点到直线的距离为D．的周长为8
三、填空题
16．（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是 .
17．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
18．（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
双曲线及其性质
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江绍兴·二模）已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
4．（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河北邯郸·二模）已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．5C．2D．
6．（2024·山东·二模）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A．2B．C．D．4
7．（2024·湖南·二模）已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．4D．
8．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
9．（2024·河南郑州·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在双曲线上的点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·云南红河·二模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·湖南衡阳·二模）已知双曲线的左焦点为，虚轴的上、下端点分别为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
14．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为B．C的离心率为
C．的最小值为2D．直线PF的斜率不等于
15．（2024·河南新乡·二模）如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）

A．的渐近线方程为B．
C．的面积为D．内接圆的半径为
16．（2024·广东广州·二模）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
三、填空题
17．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为 ；的取值范围为 ．
18．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ．
19．（2024·广西·二模）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则 .
20．（2024·湖北·二模）函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ．
21．（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
22．（2024·湖南·二模）已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为 .
23．（2024·辽宁鞍山·二模）已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，轴于点，且．当最大时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
24．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ．
25．（2024·浙江温州·二模）已知，分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为 ．
26．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
抛物线及其性质
一、单选题
1．（2024·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（ ）．
A．2或4B．4或6C．6或8D．2或8
2．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2024·浙江·二模）抛物线的焦准距是（ ）
A．B．C．3D．6
4．（2024·辽宁沈阳·二模）抛物线过点，则的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河南新乡·二模）已知直线与抛物线：的图象相切，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．若点在圆上，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（2024·广东广州·二模）若抛物线上一点到焦点的距离为3，则（ ）
A．6B．4C．2D．1
二、多选题
9．（2024·河北邯郸·二模）设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．的值为2
C．D．的面积与的面积之比为9
最值与范围问题
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·二模）设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
2．（2024·广东梅州·二模）已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
3．（2024·四川南充·二模）已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为 .
4．（2023·山东·二模）已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为 ．
三、解答题
5．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
6．（2024·安徽·二模）已知点在椭圆：的外部，过点作的两条切线，切点分别为，．
(1)①若点坐标为，求证：直线的方程为；②若点的坐标为，求证：直线的方程为；
(2)若点在圆上，求面积的最大值．
7．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆W：的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W过点．
(1)求椭圆W的方程；
(2)已知平行四边形ABCD的四个顶点均在W上，求平行四边形ABCD的面积S的最大值．
8．（2024·辽宁鞍山·二模）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．
(1)求的值；
(2)若的面积为1，求和的值；
(3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．
9．（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
10．（2024·广东广州·二模）已知直线，动点分别在直线上，，是线段的中点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，过点作直线与曲线交于不同的两点，线段上一点满足，求的最小值.
11．（2023·浙江杭州·二模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为、，求的最大值．
12．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，
①求的横坐标；
②求圆面积的取值范围.
13．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
14．（2024·湖北·二模）已知双曲线的方程为，其中是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为．
(1)证明：；
(2)求的值．
15．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
定点、定值与定直线问题
一、多选题
1．（2024·浙江杭州·二模）过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（ ）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
2．（2024·山东·二模）已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（ ）
A．B．直线过定点
C．的最小值为D．的最小值为
3．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A．当时，
B．面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
D．设直线倾斜角为，为定值
二、解答题
4．（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值．
5．（2024·山西临汾·二模）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.
(1)求点的坐标.
(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
7．（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.
(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若过作，垂足为.
（i）证明:直线过定点；
（ii）求的最大值.
8．（2024·黑龙江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，离心率为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作直线与椭圆交于两点，
（i）若，求面积的取值范围；
（ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由.
9．（2024·浙江·二模）已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.
10．（2024·辽宁·二模）已知点P为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点．
(1)证明：恰为的中点；
(2)过点分别作渐近线的平行线，与OA、OB分别交于M、N两点，判断PMON的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
11．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求证：为定值；
(2)若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值.
12．（2024·湖南岳阳·二模）已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
13．（2024·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.
(1)若经过点，且，求；
(2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.
14．（2024·广西·二模）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线的方程.
(2)设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
15．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
(1)证明：为定值（为坐标原点）；
(2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
16．（2024·湖南·二模）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．
(1)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
(2)若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．
17．（2024·黑龙江·二模）已知是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为．
(1)求抛物线焦点坐标及准线方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值．
18．（2024·新疆塔城·二模）已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，求证：直线的倾斜角为定值.
新定义问题
一、多选题
1．（2024·广东广州·二模）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．当轴时，
D．过点作，垂足为
二、填空题
2．（2024·湖北·二模）函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则 ．
三、解答题
3．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
4．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.
5．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值．