湖南省益阳市沅江市共华中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市沅江市共华中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
2. 在函数y（m为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y2＜y1＜y3B. y1＜y2＜y3C. y3＜y2＜y1D. y3＜y1＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据−m2−3＜0，得出反比例函数的增减性，再利用三点所在象限不同得出它们的大小关系．
【详解】解：∵（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）三点都在函数的图象上，
∵−m2−3＜0，
∴每个象限内y随x的增大而增大，
∵−4＜−2，
∴0＜y1＜y2，
∵x＝1时，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，根据已知得出三点对应y的值大小关系是解题关键．
3. 正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为，
∴另一个交点与点关于原点对称，
∴另一个交点是．
故选：A．
4. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时， B. I与R的函数表达式是
C. 当时，D. 当时，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
5. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 当没有粮食放置时，的阻值为
B. 粮食水分含量为时，的阻值为
C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
D. 该装置能检测粮食水分含量的最大值是
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意；
C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意．
故选：B．
6. 下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为是一元二次方程．
【详解】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
（2）由已知方程得到，属于一元一次方程，不是一元二次方程；
（3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程；
（4）不是整式方程，不是一元二次方程．
∴是一元二次方程是（1），共有1个，
故选：A．
7. 如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是一元二次方程的根即方程的解的定义，把x=2代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
解得 ；
故选：A．
8. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜B. k＞﹣C. k＞﹣且k≠0D. k＜且k≠0
【答案】D
【解析】
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜且k≠0，
故选D．
【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
9. 一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解题关键．
10. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 144（1﹣x）2=100B. 100（1﹣x）2=144C. 144（1+x）2=100D. 100（1+x）2=144
【答案】D
【解析】
【分析】2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：2012年的产量为100（1+x），
2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 将一元二次方程x2+8x+13=0通过配方转化成（x+n）2=p的形式（n，p为常数），则n=__，p=__．
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
【详解】解：，
，
则，即，
、，
故答案为：4，3．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查根的判别式、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据题意可以得到，又因为，从而可以解答本题．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
解得，，
又，
的最小整数值为1，
故答案为：1．
13. 对于一元二次方程（a≠0），下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是_________．
【答案】①②
【解析】
【分析】①根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据c是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可．
【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根，
∴，故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若c是方程的一个根，则：，
∴；
当时：；
当时，不一定等于0，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④错误；
综上，正确的是①②；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键．
14. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给__________个人.
【答案】7
【解析】
【详解】试题分析：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
则根据题意可知：，
解得：x=7或x=-9(舍去)，
故每轮传染中平均一个人传染给7个人．
15. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为_____．
【答案】20%
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为200（1-x）元，第二次降价后的售价为200（1-x）（1-x）元，根据第二降价后的售价为128元建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得
，
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查的知识点是列一元二次方程解降低率的问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解题关键是根据降低率的数量关系建立方程．
16. 若函数是反比例函数，则的值是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：，列式计算即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，
故答案为：
17. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．

【答案】
【解析】
【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，

，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
18. 已知两个反比例函数 ，，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点，且，则的解析式为_________________________________．
【答案】或
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．
分两种情况：点B在点A右边和点B在点A的左边，分别画出图象，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，得到，则，根据反比例函数系数k的几何意义列式即可求出结果．
【详解】解：当点B在点A的右边时，如图1，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
当点B在点A的左边时，如图2，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
综上可知，的解析式为或，
故答案为：或．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图象相交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点，与轴交于点，且ΔABO的面积为，求直线的解析式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入直线y=x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例函数的解析式；
（2）根据直线的平移规律设直线BC的解析式为y=x+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为，列出方程OC•2=，解方程求出OC=，即b=，进而得出直线BC的解析式．
【详解】（1）（1）∵直线y=x过点A（m，1），
∴m=1，解得m=2，
∴A（2，1）．
∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A（2，1），
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）连接AC，
由平行线间的距离处处相等可得△ACO与△ABO面积相等，且△ABO的面积为，
∴△ACO的面积=，
∴
∴直线的解析式
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数；
（1）当时，；当时，；则 ， ．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ．
【答案】（1）3，6 （2）①见解析；②或；③
【解析】
【分析】（1）将分别代入函数和得关于a和b的方程，解方程得a和b的值；
（2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可；
②由①中函数图象分两种情况可直接得出m的取值范围．
③由①中函数图象可直接得出k的取值范围．
【小问1详解】
解：（1）把代入得，，
，
把，代入得，，
；
故答案为：3，6；
【小问2详解】
①∵，
故可作图如下：
②是函数图象上的点，且，
，
，
，
当时，
∵在函数图象上，
当时，由图象知，；
当时，由于，解得：，
由图象知，；
综上，m的取值范围为：或；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数与不等式，函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．
21. 如图，反比例函数（）的图像与正比例函数的图像相交于、两点，点在第四象限，轴．
（1）求的值；
（2）以为边作菱形，求点坐标及菱形的面积．
【答案】（1）2 （2），
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数综合应用、勾股定理等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
（1）首先结合点在直线上，可求得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，即可获得答案；
（2）首先解得点坐标，然后根据勾股定理求得，再结合菱形的性质求解点坐标及菱形的面积．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
∴，
即点的坐标为，
∵点是反比例函数的图像与正比例函数图像的交点，
∴，即值是2；
【小问2详解】
由题意，可得，
解得或，
经检验或是原方程的解，
∵点在第四象限，
∴，
∵点，
∴，
∵菱形是以为边，且轴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
22. 如图，一次函数的图象与反比例的数的图象交于点和点，与x轴交于点C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点和点都在反比例函数图象上，得出，求出，得出，，然后用待定系数法求出结果即可；
（2）先求出，得出即可；
（3）根据函数图象得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵点和点都在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为．
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：根据函数图象可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上面，
∴关于x的不等式：的解集为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，根据反比例函数图象上点的坐标特点求出．
23. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】（1）20%；（2）能
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且△的面积是．求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，图形与坐标的性质等知识．
（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；
（2）如图，过Q点作轴并延长交直线于C．设点，，则．由得到：，则易求m的值．注意点Q位于第四象限．
【小问1详解】
解：把代入得，；
把代入得，；
∴，，
将A、B两点的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过Q点作轴于点D，并延长交直线于C
设点Q)，C，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴Q1,0(舍去)，Q．
25. 已知关于x的方程x2+ax+16=0，
（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值
（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根
【答案】（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8．
【解析】
【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果；
（2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，
∴a2－4×1×16=0，
解得a=8或﹣8；
（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，
∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；
此时方程为x2﹣10x+16=0，
解得x1=2，x2=8；
∴a=﹣10，方程的另一个根为8．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
26. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40