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2024-2025学年湖南省益阳市沅江市小波学校八年级（上）开学数学试卷(含解析）
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这是一份2024-2025学年湖南省益阳市沅江市小波学校八年级（上）开学数学试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是( )
A. 线段AE
B. 线段BE
C. 线段CE
D. 线段DE
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )
A. 两点之间的线段最短B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形是轴对称图形D. 三角形具有稳定性
4.如图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=40°，则∠DFE=( )
A. 75°B. 100°C. 115°D. 120°
5.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个角等于( )
A. 108°B. 90°C. 72°D. 120°
6.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
7.若a−b=6，ab=16，则a2+b2的值为( )
A. 68B. 52C. 20D. 4
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，∠ABD的角平分线交AD于点E，若AC=6，BC=8，则BE=( )
A. 6
B. 5 2
C. 3 5
D. 2 10
9.如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一直线上，BE=CF，AB//DE，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. ∠A=∠FB. AC//DFC. AC=DFD. EC=CF
10.如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于( )
A. 120°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，在Rt△ABC中，AC=2AB=4，∠A=90°，以BC为斜边作等腰直角△BCD.连接DA，则△DAC的面积为______．
12.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是______．
13.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠B′AB等于______．
14.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______度．
15.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为______．
16.如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，且点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为12，AD=1，则EC= ______．
17.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为 ．
18.已知a，b，c为三角形的三边，则 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
19.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到△A′B′C′(图中已标出点C的对应点C′).(1)在给定方格纸中画出△A′B′C′；
(2)画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
(3)求△A′B′C′的面积．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=40°，点D为BC边上一动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E．
(1)求证：∠CDE=∠BAD；
(2)试探究当DC的长为多少时，AD=ED？请给出你的结论，并说明理由；
(3)过点A在AD右侧作∠DAF=∠BAC，交射线DE于点F，连接CF.当△CEF为等腰三角形时，求∠EDC的度数．
22.(本小题8分)
如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．
23.(本小题9分)
如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
24.(本小题9分)
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC边中点，点E为边AB上的动点，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
【初步感知】
(1)在点E的运动过程中，线段DE与DF始终相等，请证明；
【深入探究】
(2)取线段AE中点P，连接DP交FB于点H，试探究线段DP，FB之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
(3)在(2)的条件下，连接AH.当AH平分∠PHF时，求BEBA的值．
25.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N，求证：BM=CN．
26.(本小题9分)
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象.数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”.利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用如图对勾股定理(即下列命题)进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=∠ACE=90°，(点B，C，D在一条直线上)，AB=b，BC=a，AC=EC=c．
证明：a2+b2=c2；
(2)请利用“数形结合”思想，画图推算出(a+b+c)2的结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、由2+4=6，不符合题意；
B、由3+3=6，不符合题意；
C、由3+2<7，不符合题意；
D、由5+2>5，符合题意，
故选：D．
由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴BE=CE，
∴线段AE是△ABC的中线，
故选：A．
根据折叠的性质和三角形中线的定义即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形中线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，根据三角形具有稳定性解答即可。
【解答】
解：用木条EF固定长方形门框ABCD，通过利用△AEF的稳定性使门框固定，使其不变形的根据是三角形具有稳定性。
故选D。
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键.在△AEC中由三角形外角的性质可求得∠BEF，在△BEF中，利用三角形外角的性质可求得∠DFE．
【解答】
解：∵∠BEF是△AEC的一个外角，
∴∠BEF=∠A+∠C=30°+40°=70°，
∵∠DFE是△BEF的一个外角，
∴∠DFE=∠B+∠BEF=70°+45°=115°．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：设正多边形的边数为n，则
(n−2)×180°=720°，
∴n−2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故选：D．
根据正多边形的内角和定义(n−2)×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角度数．
此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握好多边形内角和公式：(n−2)×180°．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
7.【答案】A
【解析】解：∵a−b=6，ab=16，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=62+2×16=68，
故选：A．
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC，EH⊥BC，垂足分别为F，G，H，连接CE．
∵AD是∠BAC的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴EF=EG=EH．
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 62+82=10．
∵S△ACE+S△BCE+S△ABE=S△ABC，
∴12(AC+BC+AB)⋅EH=12AC⋅BC，
即12×(6+8+10)×EH=12×6×8，
解得EH=2．
∵∠ACB=∠EGC=∠EHC=90°，
∴四边形EGCH是矩形．
又∵EG=EH，
∴四边形EGCH是正方形，
∴CH=EH=2，
∴BH=BC−CH=8−2=6．
在Rt△BHE中，由勾股定理得，
BE= BH2+EH2= 62+22=2 10，
故选：D．
过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC，EH⊥BC，垂足分别为F，G，H，连接CE.由角平分线的性质得出EF=EG=EH.根据面积法求出EH的长，再证明四边形EGCH是正方形，得出CH=EH=2，在Rt△BHE中，由勾股定理得出BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
A、∠A=∠D，才能判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
B、由AC//DF，得到∠F=∠ACB，由ASA判定△ABC≌△DEF，故B符合题意；
C、AC=DF，∠B和∠DEF分别是AC和DF的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、EC=CF，不能判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意．
故选：B．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠B=50°，∠AEC=120°，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE(三角形外角的性质)，
∴∠BAE=120°−50°=70°，
又∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠DAC=70°．
故选：B．
在△ABE中，利用外角的知识求出∠BAE的度数，再根据△ABC≌△ACD，得出∠BAE=∠DAC，这样即可得出答案．
本题考查全等三角形的性质，属于基础题，比较简单，解答本题用到的三角形的外角的性质及全等三角形的对应边、对应角分别相等的性质．
11.【答案】6或2
【解析】解：分两种情况讨论：
①当D点在BC下方时，如图1所示，
把△ABD绕点D顺时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°．
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°−180°=180°．
∴∠ACD+∠ECD=180°．
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6．
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=62，解得AD=3 2．
∴利用面积法可得AE边上的高=AD2AE=186−3．
∴△DAC的面积=12AC⋅h=12×4×3=6．
②当D点在BC上方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC−CE=4−2=2．
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=4，解得AD= 2．
∴利用面积法可得AE边上的高=AD2AE=22=1．
∴△DAC的面积=12AC⋅h=12×4×1=2．
故答案为：6或2．
依据题意，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长，进而求出AE边上的高，故可得解；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，类似于①求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
12.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】
解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13.【答案】50°
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠C′AC=∠B′AB，
∵C′C//AB，
∴∠C′CA=∠CAB=65°，
∵AC=AC′，
∴∠AC′C=∠C′CA=65°，
∴∠C′AC=180°−2×65°=50°，
∴∠B′AB=50°．
故答案为：50°．
根据旋转的性质得AC=AC′，∠C′AC=∠B′AB，根据平行线的性质由C′C//AB得到∠C′CA=∠CAB=65°，根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠C′CA=65°，然后根据三角形内角和定理得∠C′AC=50°，所以∠B′AB=50°．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14.【答案】108
【解析】解：如图，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°−108°=72°，
∠7=180°−72°−72°=36°．
∠AOB=360°−108°−108°−36°=108°，
故答案为：108．
根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
15.【答案】3或6
【解析】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，
∴腰长=底边长的2倍或底边长=腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或12，
∵6+6=12，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
3+3=6，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是12，
∴△ABC的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
16.【答案】3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60°，DF=FE，
∴∠AFD+∠CFE=120°，
∴∠ADF=∠CFE，
在△ADF和△CFE中，
∠A=∠C∠ADF=∠CFEDF=FE，
∴△ADF≌△CFE(AAS)，
∴CF=AD=1，CE=AF，
∵△ABC的周长为12且△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴EC=AF=AC−CF=4−1=3，
故答案为：3．
先证△ADF≌△CFE(AAS)，得出CF=AD=1，CE=AF，再由△ABC的周长为12且△ABC是等边三角形，推出AC=4，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：过点F作FG⊥BC，垂足为G，如图，
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF=2，
∴FG=FE=2，
∵BC=8，AD为BC边上的中线，
∴CD=12BC=4，
∴S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4．
故答案为：4．
过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG=FE=2，再由AD是中线，则有CD=4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．
18.【答案】a+b+c
【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b>c，c+a>b，b+c>a，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴ (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|=a+b−c+a+c−b+b+c−a=a+b+c．
故答案为：a+b+c．
由a，b，c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a+b>c，c+a>b，b+c>a，又由 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握 a2=|a|．
19.【答案】解：因为∠B=30°，∠ACB=110°，
所以∠BAC=180°−30°−110°=40°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=12∠BAC=12×40°=20°，
因为∠B=30°，AD是BC边上高线，
所以∠BAD=90°−30°=60°，
所以∠DAE=∠BAD−∠BAE=60°−20°=40°．
【解析】根据∠DAE=∠BAD−∠BAE可知，求出∠BAD，∠BAE即可解决问题；
本题考查了三角形的角平分线、中线和高等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图1，△A′B′C′即为所求作．
(2)如图2，线段BD，AE即为所求作．
(3)S△A′B′C′=S△ABC=12×5×3=7.5．
【解析】(1)连接CC′，线段CC′的垂直平分线即为对称轴，作出A，B的对应点A′，B′即可．
(2)根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
(3)求出△A′B′C′的面积即可．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠ADE=∠B，
∴∠CDE=∠BAD；
(2)解：当DC=5时，AD=ED，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BAD和△CDE中，
∠B=∠C∠BAD=∠CDEAD=ED，
∴△BAD≌△CDE(AAS)，
∴AB=CD=5，
∴CD=5时，AD=ED；
(3)解：如图，
∵∠DAF=∠BAC，∠ADE=∠B，
∴∠AFD=∠ACB=∠B=∠ADE，∠BAD=∠CAF，
∴AD=AF，
∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠B=40°，
当∠FEC=∠ACF=40°时，
∵∠ACB=40°，
∴∠FEC>∠ACB，故这种情况不成立，
当∠CFE=∠FCE=40°时，
在△CDF中，∠CDE=180°−∠DCF−∠CFE=180°−80°−40°=60°；
当∠CEF=∠CFE时，
∵∠ECF=40°，
∴∠FEC=70°，
∴∠EDC=30°，
综上：∠EDC=30°或60°．
【解析】(1)利用三角形外角的性质得∠ADC=∠BAD+∠B，再利用∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠ADE=∠B，可得结论；
(2)利用AAS证明△BAD≌△CDE(AAS)，得AB=CD=5；
(3)首先利用SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠B=40°，再利用等腰三角形的性质分类讨论即可．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°−25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°−65°−155°−90°=50°．
(2)连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=12∠ABC．
【解析】(1)求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
(2)连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=12∠ABC．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
23.【答案】解：AE⊥DE，AE=DE．
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵△ABE≌△ECD，
∴∠A=∠DEC，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90°．
∵∠A+∠AEB=90°，∠DEC+∠D=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE．
【解析】先根据AB⊥BC得出∠B=90°，再由△ABE≌△ECD可知∠A=∠DEC，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90°，由∠A+∠AEB=90°，∠DEC+∠D=90°可知∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论．
本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接AD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，CD=AD=BD，∠C=45°，
∴∠EAD=45°=∠C，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF；
(2)解：DP=12FB，DP⊥FB，理由如下：
如图2，过点D作DM⊥DP交AC于点M，
同(1)得：DP=DM，
∵∠EDP+∠PDF=90°，∠PDF+∠FDM=90°，
∴∠EDP=∠FDM，
∵DE=DF，
∴△DEP≌△DFM(SAS)，
∴DP=DM，EP=FM，
由(1)得：△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵P为AE的中点，
∴EP=AP，
∴CM=FM，
∵D为AB中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴DM//FB，DM=12FB，
∴DP=12FB，∠PHF=∠PDM=90°，
∴DP⊥FB；
(3)解：如图3，过点A作AG⊥DP于点G，AN⊥BF于点N，
则四边形AGHN为矩形，
∴∠GAN=90°，
∵AH平分∠PHF，
∴AG=AN，
∵∠BAC=∠GAN=90°，
∴∠GAP=∠NAF，
又∵∠AGP=∠ANF=90°，
∴△GAP≌△NAF(ASA)，
∴AP=AF，
∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AF，
∴AP=BE，
∵AP=EP，
∴AP=EP=BE，
∴AB=3BE，
∴BEBA=13．
【解析】(1)连接AD，证△ADE≌△CDF(ASA)，即可得出结论；
(2)过点D作DM⊥DP交AC于点M，同(1)得DP=DM，证△DEP≌△DFM(SAS)，得出DP=DM，EP=FM，再证CM=FM，得出DM是△BCF的中位线，即可得出结果；
(3)过点A作AG⊥DP于点G，AN⊥BF于点N，则四边形AGHN为矩形，再由角平分线的性质得出AG=AN，然后证△GAP≌△NAF(ASA)，得出AP=AF，最后证得AP=EP=BE，即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：连接BD，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
DB=DCDM=DN
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN．
【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明△DMB≌△DNC，即可得出BM=CN．
本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)梯形ABDE的面积=2×12ab+12c2，
梯形ABDE的面积=(a+b)×(a+b)2，
∴2×12ab+12c2=(a+b)×(a+b)2，
化简可得：a2+b2=c2；
(2)如图所示：
大正方形的面积=(a+b+c)2；
大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
【解析】(1)依据梯形ABDE的面积计算方法，即可得到a2+b2=c2；
(2)依据大正方形的面积的计算方法，即可得到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
本题主要考查了证明勾股定理，关键是用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
1.将周长是12cm的三角形三条边展开，展开图正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕DE与AB，BC分别交于点D、点E，连接AE，下列是△ABC的中线的是( )
A. 线段AE
B. 线段BE
C. 线段CE
D. 线段DE
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )
A. 两点之间的线段最短B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形是轴对称图形D. 三角形具有稳定性
4.如图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=40°，则∠DFE=( )
A. 75°B. 100°C. 115°D. 120°
5.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个角等于( )
A. 108°B. 90°C. 72°D. 120°
6.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
7.若a−b=6，ab=16，则a2+b2的值为( )
A. 68B. 52C. 20D. 4
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，∠ABD的角平分线交AD于点E，若AC=6，BC=8，则BE=( )
A. 6
B. 5 2
C. 3 5
D. 2 10
9.如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一直线上，BE=CF，AB//DE，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. ∠A=∠FB. AC//DFC. AC=DFD. EC=CF
10.如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于( )
A. 120°
B. 70°
C. 60°
D. 50°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，在Rt△ABC中，AC=2AB=4，∠A=90°，以BC为斜边作等腰直角△BCD.连接DA，则△DAC的面积为______．
12.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是______．
13.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′//AB，则∠B′AB等于______．
14.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于______度．
15.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为______．
16.如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，且点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为12，AD=1，则EC= ______．
17.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为 ．
18.已知a，b，c为三角形的三边，则 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
19.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到△A′B′C′(图中已标出点C的对应点C′).(1)在给定方格纸中画出△A′B′C′；
(2)画出AC边上的中线BD和BC边上的高线AE；
(3)求△A′B′C′的面积．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=40°，点D为BC边上一动点(点D不与点B，C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E．
(1)求证：∠CDE=∠BAD；
(2)试探究当DC的长为多少时，AD=ED？请给出你的结论，并说明理由；
(3)过点A在AD右侧作∠DAF=∠BAC，交射线DE于点F，连接CF.当△CEF为等腰三角形时，求∠EDC的度数．
22.(本小题8分)
如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
(1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．
23.(本小题9分)
如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
24.(本小题9分)
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC边中点，点E为边AB上的动点，过点D作DF⊥DE交AC于点F．
【初步感知】
(1)在点E的运动过程中，线段DE与DF始终相等，请证明；
【深入探究】
(2)取线段AE中点P，连接DP交FB于点H，试探究线段DP，FB之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
(3)在(2)的条件下，连接AH.当AH平分∠PHF时，求BEBA的值．
25.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于点M，DN⊥AC，交AC的延长线于点N，求证：BM=CN．
26.(本小题9分)
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象.数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”.利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系.请你利用如图对勾股定理(即下列命题)进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=∠ACE=90°，(点B，C，D在一条直线上)，AB=b，BC=a，AC=EC=c．
证明：a2+b2=c2；
(2)请利用“数形结合”思想，画图推算出(a+b+c)2的结果．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、由2+4=6，不符合题意；
B、由3+3=6，不符合题意；
C、由3+2<7，不符合题意；
D、由5+2>5，符合题意，
故选：D．
由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合，
∴BE=CE，
∴线段AE是△ABC的中线，
故选：A．
根据折叠的性质和三角形中线的定义即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形中线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，根据三角形具有稳定性解答即可。
【解答】
解：用木条EF固定长方形门框ABCD，通过利用△AEF的稳定性使门框固定，使其不变形的根据是三角形具有稳定性。
故选D。
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键.在△AEC中由三角形外角的性质可求得∠BEF，在△BEF中，利用三角形外角的性质可求得∠DFE．
【解答】
解：∵∠BEF是△AEC的一个外角，
∴∠BEF=∠A+∠C=30°+40°=70°，
∵∠DFE是△BEF的一个外角，
∴∠DFE=∠B+∠BEF=70°+45°=115°．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：设正多边形的边数为n，则
(n−2)×180°=720°，
∴n−2=4，
∴n=6．
则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．
故选：D．
根据正多边形的内角和定义(n−2)×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角度数．
此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握好多边形内角和公式：(n−2)×180°．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
7.【答案】A
【解析】解：∵a−b=6，ab=16，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=62+2×16=68，
故选：A．
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC，EH⊥BC，垂足分别为F，G，H，连接CE．
∵AD是∠BAC的平分线，BE是∠ABC的平分线，
∴EF=EG=EH．
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 62+82=10．
∵S△ACE+S△BCE+S△ABE=S△ABC，
∴12(AC+BC+AB)⋅EH=12AC⋅BC，
即12×(6+8+10)×EH=12×6×8，
解得EH=2．
∵∠ACB=∠EGC=∠EHC=90°，
∴四边形EGCH是矩形．
又∵EG=EH，
∴四边形EGCH是正方形，
∴CH=EH=2，
∴BH=BC−CH=8−2=6．
在Rt△BHE中，由勾股定理得，
BE= BH2+EH2= 62+22=2 10，
故选：D．
过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC，EH⊥BC，垂足分别为F，G，H，连接CE.由角平分线的性质得出EF=EG=EH.根据面积法求出EH的长，再证明四边形EGCH是正方形，得出CH=EH=2，在Rt△BHE中，由勾股定理得出BE的长即可．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵BE=CF，
∴BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF，
A、∠A=∠D，才能判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
B、由AC//DF，得到∠F=∠ACB，由ASA判定△ABC≌△DEF，故B符合题意；
C、AC=DF，∠B和∠DEF分别是AC和DF的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、EC=CF，不能判定△ABC≌△DEF，故D不符合题意．
故选：B．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：∠B=50°，∠AEC=120°，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE(三角形外角的性质)，
∴∠BAE=120°−50°=70°，
又∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠DAC=70°．
故选：B．
在△ABE中，利用外角的知识求出∠BAE的度数，再根据△ABC≌△ACD，得出∠BAE=∠DAC，这样即可得出答案．
本题考查全等三角形的性质，属于基础题，比较简单，解答本题用到的三角形的外角的性质及全等三角形的对应边、对应角分别相等的性质．
11.【答案】6或2
【解析】解：分两种情况讨论：
①当D点在BC下方时，如图1所示，
把△ABD绕点D顺时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=2，AD=DE，且∠ADE=90°．
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°−180°=180°．
∴∠ACD+∠ECD=180°．
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=4+2=6．
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=62，解得AD=3 2．
∴利用面积法可得AE边上的高=AD2AE=186−3．
∴△DAC的面积=12AC⋅h=12×4×3=6．
②当D点在BC上方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=2，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC−CE=4−2=2．
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=4，解得AD= 2．
∴利用面积法可得AE边上的高=AD2AE=22=1．
∴△DAC的面积=12AC⋅h=12×4×1=2．
故答案为：6或2．
依据题意，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长，进而求出AE边上的高，故可得解；②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，类似于①求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
12.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】
解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13.【答案】50°
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠C′AC=∠B′AB，
∵C′C//AB，
∴∠C′CA=∠CAB=65°，
∵AC=AC′，
∴∠AC′C=∠C′CA=65°，
∴∠C′AC=180°−2×65°=50°，
∴∠B′AB=50°．
故答案为：50°．
根据旋转的性质得AC=AC′，∠C′AC=∠B′AB，根据平行线的性质由C′C//AB得到∠C′CA=∠CAB=65°，根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠C′CA=65°，然后根据三角形内角和定理得∠C′AC=50°，所以∠B′AB=50°．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14.【答案】108
【解析】解：如图，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°−108°=72°，
∠7=180°−72°−72°=36°．
∠AOB=360°−108°−108°−36°=108°，
故答案为：108．
根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
15.【答案】3或6
【解析】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，
∴腰长=底边长的2倍或底边长=腰长的2倍，
如果腰长是6，底边长是3或12，
∵6+6=12，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
3+3=6，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是12，
∴△ABC的底边长是3或6．
故答案为：3或6．
由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
16.【答案】3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DFE=60°，DF=FE，
∴∠AFD+∠CFE=120°，
∴∠ADF=∠CFE，
在△ADF和△CFE中，
∠A=∠C∠ADF=∠CFEDF=FE，
∴△ADF≌△CFE(AAS)，
∴CF=AD=1，CE=AF，
∵△ABC的周长为12且△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴EC=AF=AC−CF=4−1=3，
故答案为：3．
先证△ADF≌△CFE(AAS)，得出CF=AD=1，CE=AF，再由△ABC的周长为12且△ABC是等边三角形，推出AC=4，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：过点F作FG⊥BC，垂足为G，如图，
∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF=2，
∴FG=FE=2，
∵BC=8，AD为BC边上的中线，
∴CD=12BC=4，
∴S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4．
故答案为：4．
过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG=FE=2，再由AD是中线，则有CD=4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．
18.【答案】a+b+c
【解析】解：∵a，b，c为三角形的三边，
∴a+b>c，c+a>b，b+c>a，
∴a+b−c>0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴ (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|=a+b−c+a+c−b+b+c−a=a+b+c．
故答案为：a+b+c．
由a，b，c为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得a+b>c，c+a>b，b+c>a，又由 (a+b−c)2+ (b−c−a)2+ (b+c−a)2=|a+b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握 a2=|a|．
19.【答案】解：因为∠B=30°，∠ACB=110°，
所以∠BAC=180°−30°−110°=40°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=12∠BAC=12×40°=20°，
因为∠B=30°，AD是BC边上高线，
所以∠BAD=90°−30°=60°，
所以∠DAE=∠BAD−∠BAE=60°−20°=40°．
【解析】根据∠DAE=∠BAD−∠BAE可知，求出∠BAD，∠BAE即可解决问题；
本题考查了三角形的角平分线、中线和高等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图1，△A′B′C′即为所求作．
(2)如图2，线段BD，AE即为所求作．
(3)S△A′B′C′=S△ABC=12×5×3=7.5．
【解析】(1)连接CC′，线段CC′的垂直平分线即为对称轴，作出A，B的对应点A′，B′即可．
(2)根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
(3)求出△A′B′C′的面积即可．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠ADE=∠B，
∴∠CDE=∠BAD；
(2)解：当DC=5时，AD=ED，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BAD和△CDE中，
∠B=∠C∠BAD=∠CDEAD=ED，
∴△BAD≌△CDE(AAS)，
∴AB=CD=5，
∴CD=5时，AD=ED；
(3)解：如图，
∵∠DAF=∠BAC，∠ADE=∠B，
∴∠AFD=∠ACB=∠B=∠ADE，∠BAD=∠CAF，
∴AD=AF，
∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠B=40°，
当∠FEC=∠ACF=40°时，
∵∠ACB=40°，
∴∠FEC>∠ACB，故这种情况不成立，
当∠CFE=∠FCE=40°时，
在△CDF中，∠CDE=180°−∠DCF−∠CFE=180°−80°−40°=60°；
当∠CEF=∠CFE时，
∵∠ECF=40°，
∴∠FEC=70°，
∴∠EDC=30°，
综上：∠EDC=30°或60°．
【解析】(1)利用三角形外角的性质得∠ADC=∠BAD+∠B，再利用∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠ADE=∠B，可得结论；
(2)利用AAS证明△BAD≌△CDE(AAS)，得AB=CD=5；
(3)首先利用SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠B=40°，再利用等腰三角形的性质分类讨论即可．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°−25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°−65°−155°−90°=50°．
(2)连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=12∠ABC．
【解析】(1)求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
(2)连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=12∠ABC．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
23.【答案】解：AE⊥DE，AE=DE．
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵△ABE≌△ECD，
∴∠A=∠DEC，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90°．
∵∠A+∠AEB=90°，∠DEC+∠D=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE．
【解析】先根据AB⊥BC得出∠B=90°，再由△ABE≌△ECD可知∠A=∠DEC，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90°，由∠A+∠AEB=90°，∠DEC+∠D=90°可知∠AEB+∠DEC=90°，故∠AED=90°，由此可得出结论．
本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接AD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，CD=AD=BD，∠C=45°，
∴∠EAD=45°=∠C，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF(ASA)，
∴DE=DF；
(2)解：DP=12FB，DP⊥FB，理由如下：
如图2，过点D作DM⊥DP交AC于点M，
同(1)得：DP=DM，
∵∠EDP+∠PDF=90°，∠PDF+∠FDM=90°，
∴∠EDP=∠FDM，
∵DE=DF，
∴△DEP≌△DFM(SAS)，
∴DP=DM，EP=FM，
由(1)得：△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵P为AE的中点，
∴EP=AP，
∴CM=FM，
∵D为AB中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴DM//FB，DM=12FB，
∴DP=12FB，∠PHF=∠PDM=90°，
∴DP⊥FB；
(3)解：如图3，过点A作AG⊥DP于点G，AN⊥BF于点N，
则四边形AGHN为矩形，
∴∠GAN=90°，
∵AH平分∠PHF，
∴AG=AN，
∵∠BAC=∠GAN=90°，
∴∠GAP=∠NAF，
又∵∠AGP=∠ANF=90°，
∴△GAP≌△NAF(ASA)，
∴AP=AF，
∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AF，
∴AP=BE，
∵AP=EP，
∴AP=EP=BE，
∴AB=3BE，
∴BEBA=13．
【解析】(1)连接AD，证△ADE≌△CDF(ASA)，即可得出结论；
(2)过点D作DM⊥DP交AC于点M，同(1)得DP=DM，证△DEP≌△DFM(SAS)，得出DP=DM，EP=FM，再证CM=FM，得出DM是△BCF的中位线，即可得出结果；
(3)过点A作AG⊥DP于点G，AN⊥BF于点N，则四边形AGHN为矩形，再由角平分线的性质得出AG=AN，然后证△GAP≌△NAF(ASA)，得出AP=AF，最后证得AP=EP=BE，即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：连接BD，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
DB=DCDM=DN
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN．
【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明△DMB≌△DNC，即可得出BM=CN．
本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
26.【答案】解：(1)梯形ABDE的面积=2×12ab+12c2，
梯形ABDE的面积=(a+b)×(a+b)2，
∴2×12ab+12c2=(a+b)×(a+b)2，
化简可得：a2+b2=c2；
(2)如图所示：
大正方形的面积=(a+b+c)2；
大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
【解析】(1)依据梯形ABDE的面积计算方法，即可得到a2+b2=c2；
(2)依据大正方形的面积的计算方法，即可得到(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
本题主要考查了证明勾股定理，关键是用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
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