二次函数与几何图形的六种综合应用试卷（原卷版）

这是一份二次函数与几何图形的六种综合应用试卷（原卷版），共28页。
专题03二次函数与几何图形的六种综合应用题型01线段最值问题【典例分析】【例1-1】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，已知，，点是边AD上一点，以CE为直角边在与点的同侧作等腰直角，连接，当点在边AD上运动时，线段长度的最小值是(　　)A． B． C． D．【例1-2】（22-23九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图已知，点P是抛物线上一动点，点Q是x轴上一动点，G，H是坐标系内两个动点，且四边形是矩形，连接，则线段长度的最小值为 ．【例1-3】（20-21九年级上·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A（5，0），B（-1，0）两点，与轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是抛物线的顶点，连接，，求的面积；（3）若点是抛物线上的一个动点，过点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标．【变式演练】【变式1-1】（20-21九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y轴，交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为 【变式1-2】．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．  （）的值为 ．（）长度的最大值为 ．【变式1-3】（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过、、三点，动点在抛物线上．（1）若点使得是以为直角边的直角三角形，请你求出所有符合条件的点的坐标．（2）过动点作垂直轴于点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，连接，当线段的长度最短时，求出点的坐标．题型02面积最值问题【典例分析】【例2-1】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ）A． B． C． D．【例2-2】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ．【例2-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点．(1)求抛物线解析式．(2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．【变式演练】【变式2-1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，点是正方形内一点，已知：，则的面积的最小值为（    ）A．1 B． C．2 D．【变式2-2】（21-22九年级上·陕西商洛·期中）如图，在正方形中，，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若，则的面积的最大值为 ．【变式2-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接． (1)直接写出点、的坐标， ； ．(2)是抛物线对称轴上的一点，连接、．求的最小值．(3)点是下方抛物线上的一点， 连接、．当的面积最大时，求点坐标．题型03全等三角形问题【典例分析】【例3-1】（九年级上·浙江·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D、M为抛物线上一点，E是x轴上的一点，使得以D、M、C为顶点的三角形与△DME全等，则点M的坐标为 【例3-2】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知抛物线经过点B−2,0和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标；(3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【例3-3】（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）抛物线与x轴交于点、B两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式演练】【变式3-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是 ．  【变式3-2】（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与轴交于两点，与轴交于点．  (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上一点，过点作的垂线，垂足为，是上的点，要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点和点的坐标．【变式3-3】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，抛物线经过点和，与轴交于两点，与轴交于点，它的对称轴为直线，顶点为(1)求该抛物线的解析式；(2)连接，求的面积；(3)是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．题型04特殊三角形存在性问题【典例分析】【例4-1】（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．【例4-2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当时，求的面积；(3)当时，求点的坐标；(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【例4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为．(1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______；(2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值．【变式演练】【变式4-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标；(3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．  (1)求该二次函数的关系式；(2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点、B0,3在抛物线上，该抛物线的顶点为C，点P为抛物线上一点，其横坐标为m．(1)求该抛物线的解析式；(2)当轴时，求的面积；(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出m的值；(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使是以为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．题型05平行四边形存在性问题【典例分析】【例5-1】（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式以及点C的坐标；(2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值；(3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由．【例5-2】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上．(1)求二次函数的表达式；(2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？(3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．【例5-3】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且．(1)求a，b，c的值．(2)如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S．①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围：②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式演练】【变式5-1】（22-23九年级上·海南海口·期末）如图1，抛物线与x轴交于点A、B4,0（A点在B点左侧），与y轴交于点C0,6，点P是抛物线上一个动点，连接，，(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P的横坐标为3，求的面积；(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为A−2,0、B4,0，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、．(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形的面积最大时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，．(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；(3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题型06角度问题【典例分析】【例6-1】．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点．(1)求抛物线的解析式；(2)是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标；(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【例6-2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．  (1)三点的坐标______，______，______；(2)连接，交线段于点．①当与轴平行时，求的值②当与轴不平行时，连接、，求的最大值③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【例6-3】（23-24九年级上·湖北随州·期末）已知抛物线与轴交于点A−2,0和，与轴交于点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；(3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由．【变式演练】【变式6-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于，与x轴交于B、C两点（C在B的右侧），顶点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交于点，求长度的最大值；(3)在直线上是否存在点G，使得？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值；(3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标．【变式6-3】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．  (1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，垂足为点E，连接，当四边形的面积最大时①求证：四边形是平行四边形；②若点F是的中点，在抛物线上是否存在点Q，使得经过点F、Q的直线与y轴所夹的锐角与相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由