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数学八年级下册9.3 平行四边形导学案
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这是一份数学八年级下册9.3 平行四边形导学案，共52页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11543" 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 3
\l "_Tc5630" 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc5630 \h 4
\l "_Tc21939" 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc21939 \h 5
\l "_Tc18421" 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc18421 \h 6
\l "_Tc17150" 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17150 \h 7
\l "_Tc27306" 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 9
\l "_Tc16066" 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 PAGEREF _Tc16066 \h 10
【知识点 平行四边形的性质】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【题型1 利用平行四边形的性质求长度】
【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A'B'FE，A'E恰好垂直于AD，若AE=52，则B'F的值为（ ）
A．3B．23−1C．33−12D．523
【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA⊥CA，则AO的长度为（ ）
A．3B．3C．32D．22
【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
【题型2 利用平行四边形的性质求角度】
【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．
【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____．
【题型3 利用平行四边形的性质求面积】
【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．
【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点Am,0，Bn,0，且m，n满足m+12+n−3=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．
(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；
(2)平行四边形ABCD的面积是多少？
(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】
【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 （ ）
A．6B．12C．18D．24
【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．则AF长度为_____．
【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】
【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．
【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D点的坐标为_______．
【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A0，3，B−1，0，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 _____________．
【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】
【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积．
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______
【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.
【题型7 利用平行四边形的性质求最值】
【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值．
(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为_________．
【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．
【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】
【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点． 动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是 ．（直接写出结果）
【变式8-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
专题9.2 平行四边形的性质【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11543" 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 6
\l "_Tc5630" 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc5630 \h 10
\l "_Tc21939" 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc21939 \h 14
\l "_Tc18421" 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc18421 \h 19
\l "_Tc17150" 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17150 \h 23
\l "_Tc27306" 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 29
\l "_Tc16066" 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 PAGEREF _Tc16066 \h 34
【知识点 平行四边形的性质】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【题型1 利用平行四边形的性质求长度】
【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A'B'FE，A'E恰好垂直于AD，若AE=52，则B'F的值为（ ）
A．3B．23−1C．33−12D．523
【答案】C
【分析】延长FB'交AD于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A'G=2A'E=5，EG=523，在Rt△GHB'中，得到HB'=12GB'=12，HG=123，由折叠的性质得到△HEF是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长FB'交AD于点H，
∵A'E恰好垂直于AD，且四边形ABCD是平行四边形，
∴FH也垂直于AD，
由折叠的性质得AE=AE'=52，∠A'EG=∠B'HG=90°，∠A'=∠A=60°，A'B'=AB=6，
∴∠A'GE=30°，
∴A'G=2A'E=5，EG=52−522=523，
在Rt△GHB'中，∠B'GH=30°，B'G=A'B'−A'G=1，
∴HB'=12GB'=12，HG=12−122=123，
∴EH=EG+GH=523+123=33，
由折叠的性质得∠AEF=∠A'EF，
∴180°−∠HEF=90°+∠HEF，
∴∠HEF=45°，
∴△HEF是等腰直角三角形，
∴FH=EH=33，
∴B'F=33−12，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF是等腰直角三角形是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF，根据全等三角形的性质，得：OF=OE=2，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=16．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AEO=∠CFOOA=OC，
∴△AOE≅ △COF，
∴OF=OE=2，CF=AE，
∴四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+8+2×2=16，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA⊥CA，则AO的长度为（ ）
A．3B．3C．32D．22
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OA=38AC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC=BC2−AB2=102−62=8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OA=38AC=38×8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=3BH−BH，AE=3BH−3BH，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠ADC=105°，
∴∠DAB=75°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=75°，
∴∠BDA=30°，
∴BD=2BH=AD，DH=3BH，
∴AH=2BH−3BH，
∵∠EBA=60°，
∴∠BEA=180°−∠DAB−∠ABE=45°，
∴∠EBH=45°=∠BEH，∴BH=EH，
∴DE=3BH−BH，AE=3BH−3BH，
∴EDAE=3BH−BH3BH−3BH=33．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型2 利用平行四边形的性质求角度】
【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．
【答案】45°
【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出∠CBD=∠BDE=15° ，求出∠ABD=30°，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=ED，
∴∠CBD=∠BDE=15°，
∵∠CDE=15°，
∴∠BDC=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A:∠B=1:2，
∴∠A+2∠A=180°，
解得∠A=60°，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．
【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【答案】B
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，
∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，
∴∠BAD=180°−225°−2x=2x−45°，
∴2x−45°=225°−2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．
【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____．
【答案】45°
【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECGSAS，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接DG，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG=∠GEC=90°，
∵EG=BC，
∴EG=AD，
在△ADG和△ECG中，
AD=EG∠DAG=∠GEC=90°AG=EC，
∴△ADG≌△ECGSAS，
∴DG=CG，∠ADG=∠ECG，
∵∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠EGC+∠AGD=90°，
∴∠DGC=90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCG=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．
【题型3 利用平行四边形的性质求面积】
【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，
∴BC+CD=30，
设BC为x，
∵S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF，
∴3x=30−x×7，解得：x=21，
∴▱ABCD的面积为21×3=63，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．
【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．
【答案】10
【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵m∥n，
∴S△ABC=S△ABD，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，
∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．
【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点Am,0，Bn,0，且m，n满足m+12+n−3=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．
(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；
(2)平行四边形ABCD的面积是多少？
(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，A−1,0，B3,0，C4,3，D0,3
(2)12
(3)存在，11,0或−5,0
【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D的坐标；
（2）先求出AB=4，OD=3，再利用平行四边形的面积公式即可得；
（3）设点M的坐标为Ma,0，则BM=a−3，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．
（1）
解：∵m+12+n−3=0，
∴m+1=0，n−3=0，
解得m=−1，n=3，
∴A−1,0，B3,0，
补全图形如下：
由平移的性质得：C3+1,0+3，D−1+1,0+3，即C4,3，D0,3．
（2）
解：∵A−1,0，B3,0，D0,3，
∴AB=3−−1=4，OD=3，
则平行四边形ABCD的面积是AB⋅OD=4×3=12．
（3）
解：如图，设点M的坐标为Ma,0，
则BM=a−3，
∵△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∴12OD⋅BM=12，即12×3a−3=12，
解得a=11或a=−5，
所以存在这样的点M，此时点M的坐标为11,0或−5,0．
【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．
【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；
（2）根据要求，画出平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；
由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；
（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；
由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．
【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．
【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】
【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】C
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，∠4=∠5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠3+∠4=48°，
∴∠5=∠4=∠3=12×48°=24°，
在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 （ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到 AD∥BC ，由平行线的性质得到 ∠EFG=∠DEF=60° ，根据折叠的性质得到 ∠GEF=∠DEF=60° ，推出 △EGF是等边三角形，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EFG=∠DEF=60°，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠EGF=60°，
即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GEF的周长=18，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】152
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=62，5BE=AE，
∴AE=52，BE=2，
由折叠的性质可知：GE=AE=52，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=22BE=1，AM=BM=22AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
EN2+GN2=GE2，
∴12+GN2=(52)2，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
GH2+FH2=GF2，
∴(6−x)2+62=(6+x)2，
解得x=32，
∴AF=AM+FM=6+32=152．
∴AF长度为152．
故答案为：152．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
【答案】6−13≤x≤33－2
【分析】如图1，当B'在AD上，易证由四边形CDB'E为平行四边形，得到CE=DB'=6− 13；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B'在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝13，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝33，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当B'在AD上，此时，AB=AB'，∠B=∠AB'E=∠D，
∴B'E ∥ CD，
∵AD∥BC，
∴四边形CDB'E为平行四边形，
∴CE=DB'=6− 13；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当B'在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝13，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
AG2=AB2−BG2=AC2−CG2
∴132−BG2=52−6−BG2
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝33，
∴CE＝33－2；
综上：x的取值范围为：6−13≤x≤33－2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】
【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【答案】B
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴−2+a2=1+02 ，3+02=b−12
解得;a=3,b=4
∴a+b=7
②AB为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴−2+12=a+02 ，3+(−1)2=b+02
解得;a=-1,b=2
∴a+b=1
③AC为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴1+a2=−2+02 ，−1+02=b+32
解得;a=-3,b=-4
∴a+b=−7
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．
【答案】(0,2)
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【详解】解：设点P（0，y），
∵PD=AP，点A（-3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y-4），
∴点C在x=6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y-4=0，
∴y=2，
∴点P（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D点的坐标为_______．
【答案】（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
∠BEO＝∠CDA∠BOE＝∠CADBO＝AC，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴12AD•BF=6，
∴12×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A0，3，B−1，0，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 _____________．
【答案】72，3
【分析】连接BD，设Dm，3，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．
【详解】解：连接BD，设Dm，3，BD的中点为T，
∵ B−1，0，
∴ Tm−12，32，
∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y=−2x+4经过点T，
∴ 32=−2×m−12+4，
∴ m=72，
∴ D72，3，
故答案为：72，3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．
【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】
【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【答案】(1)作图见详解
(2)AB∥CD，∠BAF=12∠BAD，∠BAD=∠DCB，AB=CD
【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC，DC于点M，N，连接MN，分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，交于点P，连接CP，交AD于点H，交BD的于点G，由此即可求解；
（2）平行四边形ABCD中，可知AB=CD，AB∥CD，AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，从而证明△ABF≌△CDGASA，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴CH为∠BCD的角平分线．
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG△CDG中，
∠ABD=∠CDBAB=CD∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG．
故答案为：①AB∥CD；②∠BAF=12∠BAD；③∠BAD=∠DCB；④AB=CD．
【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)43
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D=∠ECF，根据对顶角相等，∠DEA=∠CEF，再根据点E是CD边的中点，即可求证；
（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
∵点E是CD边的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEA=∠CEF，
∴△ADE≌△FCEASA；
（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，
又∵BE⊥AF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AB=BF，∠F=∠BAE
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；
（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；
又∵∠DAB=60°
∴∠EAB=30°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，
∴BE=12AB=2，
∴AE=AB2−BE2=23，
∴AF=2AE=43，
由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE=S△CEF，
∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=43．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______
【答案】(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC、AB=CD即∠ABE=∠CDF，然后证得△ABE≅△CDF即可证得结论；
（2）由△ABE≅△CDF可得∠AEB=∠CFD=140°，进而求得∠AED，再根据AD=AE可得∠ADE，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF
∴△ABE≅△CDFSAS
∴AE=CF．
（2）解：∵△ABE≅△CDF，∠DFC=140°
∴∠AEB=∠CFD=140°
∴∠AED=180°−∠AEB=40°
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE=40°
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形CDFE的周长为11
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COFASA，则可证得结论；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOE≌△COFASA，
∴OF=OE．
（2）解：∵△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，
∴C四边形CDFE=EF+DF+CE+CD
=2OE+DF+AF+CD
=2OE+AD+CD
=4+4+3
=11．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【题型7 利用平行四边形的性质求最值】
【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值．
(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)12.5
(2)22
(3)不是，52，2534
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积；
（2）由勾股定理可得AB=2(AC−2)2+8，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=3BO−522+254，由配方法可求BC的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，
则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，
即四边形ABCD的面积为12.5cm2，
故答案为：12.5；
（2）解：∵AC+BC=4，
∴BC=4−AC，
∵∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=AC2+(4−AC)2=2(AC−2)2+8，
∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为22；
（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO，AD=BC，
∵ AC+BD=10，
∴ BO+CO=5，
∴ CO=5−BO，
∵ ∠BOC=60°，BH⊥AC，
∴ ∠OBH=30°，
∴ HO=12BO，BH=3HO=32BO，
∴ CH=CO−HO=5−32BO，
∵BC=BH2+CH2=32BO2+5−32BO2=3BO−522+254，
∴当BO=52时，BC有最小值52，即AD的最小值为52，
此时：BO=BC=52，∠BOC=60°，
∴ △BOC是等边三角形，
∴S▱ABCD=4S△BOC=4×34×522=2534．
综上可知，AD不是定值，AD的最小值为52，此时平行四边形ABCD的面积为2534．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【分析】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，勾股定理求得OB，等面积法求得OF，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，OD最小，进而求得DE的最小值，即可求解．
【详解】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，如图所示，
在四边形ADCE中，AO=CO，EO=DO，
∵AB=BC=10，
∴BO⊥AC，
∵AC=12，
∴AO=CO=6,
在Rt△BOC中，BO=BC2−OC21=8，
∵S△OBC=12CO⋅BO=12BC⋅OF，
∴OF=4.8，
当点D与点F，重合时，OD最小，
∴ED的最小值为2OD=9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为_________．
【答案】33
【分析】在AB上取一点H，使BH=BF，则GF=GH，所以CG+FG=CG+HG，因此当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．
【详解】在AB上取一点H，使BH=BF，
∵BE平分∠ABC，
∴GF=GH，
∴CG+FG=CG+HG，
∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，
CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．
∵BC=6，∠ABC=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BC=2BH，
∴BH=12BC=3，
∴CH=BC2−BH2=62−32=33．
故答案为：33．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．
【答案】7
【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，
∵点A与点F关于直线BC对称，
∴CA=CF，∠ACB=∠FCB=30°，则∠ACF=60°，
∴△ACF是等边三角形，
∵在▱ABCD中，AO=32，
∴CF=AC=2AO=3，
过点E作直线CF的垂线，垂足为点G，
∵∠ACF=60°，
∴∠CEG=30°，
∴CG=12CE=12，EG=12−122=32，
∴FG=FC−CG=52，
∴EF=322+522=7，
∴PE+PA的最小值是7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】
【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点． 动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t(0(2)当动点Q运动t秒时，
① 若0② 若6(3)当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)9−t；
(2)①12−2t；② 2t−12；
(3)t为3秒或7秒时．
【分析】（1）根据题意得：AP=t，AD=9，即可得出答案；
（2）①若0（3）分别从当Q运动到E和C之间和当Q运动到E和B之间，去分析求解即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：AP=t，AD=9，
∴PD=AD−AP=9−t，
故答案为：9−t；
（2）解：①若0∴EQ=12−2t，
故答案为：12−2t；
② 若6∴EQ=2t−12，
故答案为：2t−12；
（3）解：如图所示：
∵E是BC的中点，
∴BE=12BC=12×24=12，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
12−2t=9−t，
解得：t=3，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
2t−12=9−t，
解得：t=7，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．
【变式8-1】（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(-16，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)BQ=10-t，AP=16-2t(0(2)6或263
(3)t=103或95
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出BC=OA=16，BD=10，0（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
（1）
∵四边形ABCO是平行四边形，A(-16，0)，
∴BC=OA=16．
∵CD=6，
∴BD=BC-CD=10，
∴0∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴BQ=BD-DQ=10-t．
当P在A点右侧时，此时t<162=8，AP=16-2t，
当P与A点重合时，此时t=162=8，AP=0，
当P在A点左侧时，此时8∴AP=16-2t(0故答案为：BQ=10-t，AP=16-2t(0（2）
分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即10-t=16-2t，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即10-t=2t-16，
解得t=263．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或263；
（3）
当△BQP恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥BD于点F，
∴OE=DQ=t，PE=FQ，
∴PE=OP-OE=2t-t=t．
∵BP=PQ，
∴BF=FQ=12BQ=12(10-t)，
∴12(10-t)=t，
解得t=103；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作QG⊥x轴于点G．
由①可知PG=t，
∵PQ2=PG2+QG2，即PQ2=t2+82，PQ2=BQ2=(10-t)2
∴(10-t)2=t2+82，
解得：t=95；
③当BQ=PB时，由②同理可得出(10-t)2=82+(10-2t)2，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，△BQP不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当△BQP恰好是等腰三角形，t=103或95．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式8-2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是 ．（直接写出结果）
【答案】(1)∠B＝60°
(2)当运动的时间为4.8秒秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形
(3)163
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义和CD=CP，可证明△PDC是等边三角形，从而求出∠B的度数；
（2）由题意可知，点P到达点D需要12秒，此时点Q在BC边上运动两个往返，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP=CQ，根据这一相等关系列方程即可求出运动的时间；
（3）根据等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半可推得△APF与△PDC面积相等，通过求△PDC面积可求得△APF的面积．
（1）
如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP；
∴CD＝PD，
∵CD＝CP，
∴CD＝PD＝CP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°．
（2）
如图2，
设点P运动的时间为t，由题意得，AP＝0.5t，AD＝6，
由0.5t＝6，得t＝12，可知点P到达点D的时间为12秒；
由2×12÷6＝4，可知点Q从点C开始在BC上运动两个往返；
∵AP∥CQ，
∴以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP＝CQ；
当0＜t≤3时，AP＝0.5t，CQ＝2t，可知AP＜CQ，即不存在AP＝CQ的情况；
当3＜t≤6时，由题意得，0.5t＝6×2﹣2t，解得t＝4.8；
当6＜t≤9时，由题意得，0.5t＝2t﹣6×2，解得t＝8；
当9＜t≤12时，由题意得，0.5t＝6×4﹣2t，解得t＝9.6．
综上所述，当运动的时间为4.8秒秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
（3）
如图3，作CE⊥AD于点E，
∵AD∥BC，
∴S△PBC＝12×AD×CE，S平行四边形ABCD＝AD×CE，
∴S△PBC＝12S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△PDC＝12S平行四边形ABCD，
同理，S△FAB＝12S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△APF＝S△PAB+S△PDC，
∴S△APF＝S△PDC，
由（1）得，△PDC是等边三角形，
∴PD＝CD＝AB＝8，
∴DE＝12PD＝4，
∵∠DEC＝90°，
∴CE＝CD2−DE2＝82−42＝43，
∴S△APF＝12×8×43＝163．
故答案为：163
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、用转化法求三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，其中第（2）题要分类讨论，求出所有符合题意的值，此题难度不大，但涉及的知识点较多，是很好的习题．
【变式8-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
【答案】(1)DP=4tcm，CP=3−4tcm；
(2)t=14；
(3)7340或7132；
(4)35或52．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD=3cm，由DP=4tcm可得CP=3−4tcm；
（2）求出∠BDC=∠ABD=90°，可得△OPD是等腰三角形时，DP=DO，△ABO是等腰直角三角形，然后根据AB=BO列式求出t值即可；
（3）作AD的垂直平分线交BC于P1，交BD于P2，交AD于F，过点B作BH⊥AD于H，连接AP2，当点P运动到P1的位置时，先求出AF和AH的长，然后可得BP1=HF=710cm，即可计算t的值；当点P运动到P2的位置时，在Rt△ABP2中，利用勾股定理构建方程求出BP2=78cm，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接AC交BD于G，PQ过点G，证明△QAG≅△PCGASA，可得当PQ过点G时，直线PQ平分▱ABCD的面积，然后分点P在DC上和点P在BD上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在▱ABCD中，AB=CD=3cm，
由题意得：DP=4tcm，
∴CP=3−4tcm；
（2）解：∵AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=90°，
∴当△OPD是等腰三角形时，DP=DO=4t，
∴∠DOP=∠DPO=45°，
∴∠AOB=∠DOP=45°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵AB=BO，
∵BO=BD−DO=4−4t，
∴4−4t=3，
∴t=14；
∵在▱ABCD中，AB∥CD，AG=CG，
∴∠QAG=∠PCG，
又∵∠QGA=∠PGC，
∴△QAG≅△PCGASA，
∴S△QAG=S△PCG，AQ=CP，
∴S四边形BQPC=S四边形BQGC+S△PCG=S四边形BQGC+S△QAG=S△ABC=12S平行四边形ABCD，
∴当PQ过点G时，直线PQ平分▱ABCD的面积，
当点P在DC上时，
∵AQ=t，PC=3−4t，AQ=CP，
∴t=3−4t，
解得：t=35；
当点P在BD上时，如图3，点P与点G重合，
∵BP=12BD=2，
∴t=3+5+24=52；
综上，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，t的值为35或52．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11543" 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 3
\l "_Tc5630" 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc5630 \h 4
\l "_Tc21939" 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc21939 \h 5
\l "_Tc18421" 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc18421 \h 6
\l "_Tc17150" 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17150 \h 7
\l "_Tc27306" 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 9
\l "_Tc16066" 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 PAGEREF _Tc16066 \h 10
【知识点 平行四边形的性质】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【题型1 利用平行四边形的性质求长度】
【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A'B'FE，A'E恰好垂直于AD，若AE=52，则B'F的值为（ ）
A．3B．23−1C．33−12D．523
【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA⊥CA，则AO的长度为（ ）
A．3B．3C．32D．22
【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
【题型2 利用平行四边形的性质求角度】
【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．
【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____．
【题型3 利用平行四边形的性质求面积】
【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．
【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点Am,0，Bn,0，且m，n满足m+12+n−3=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．
(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；
(2)平行四边形ABCD的面积是多少？
(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】
【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 （ ）
A．6B．12C．18D．24
【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．则AF长度为_____．
【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】
【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．
【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D点的坐标为_______．
【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A0，3，B−1，0，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 _____________．
【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】
【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积．
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______
【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.
【题型7 利用平行四边形的性质求最值】
【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值．
(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．
【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为_________．
【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．
【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】
【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点． 动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是 ．（直接写出结果）
【变式8-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
专题9.2 平行四边形的性质【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11543" 【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 PAGEREF _Tc11543 \h 1
\l "_Tc14044" 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 PAGEREF _Tc14044 \h 6
\l "_Tc5630" 【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 PAGEREF _Tc5630 \h 10
\l "_Tc21939" 【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 PAGEREF _Tc21939 \h 14
\l "_Tc18421" 【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 PAGEREF _Tc18421 \h 19
\l "_Tc17150" 【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 PAGEREF _Tc17150 \h 23
\l "_Tc27306" 【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 PAGEREF _Tc27306 \h 29
\l "_Tc16066" 【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 PAGEREF _Tc16066 \h 34
【知识点 平行四边形的性质】
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【题型1 利用平行四边形的性质求长度】
【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A'B'FE，A'E恰好垂直于AD，若AE=52，则B'F的值为（ ）
A．3B．23−1C．33−12D．523
【答案】C
【分析】延长FB'交AD于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A'G=2A'E=5，EG=523，在Rt△GHB'中，得到HB'=12GB'=12，HG=123，由折叠的性质得到△HEF是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长FB'交AD于点H，
∵A'E恰好垂直于AD，且四边形ABCD是平行四边形，
∴FH也垂直于AD，
由折叠的性质得AE=AE'=52，∠A'EG=∠B'HG=90°，∠A'=∠A=60°，A'B'=AB=6，
∴∠A'GE=30°，
∴A'G=2A'E=5，EG=52−522=523，
在Rt△GHB'中，∠B'GH=30°，B'G=A'B'−A'G=1，
∴HB'=12GB'=12，HG=12−122=123，
∴EH=EG+GH=523+123=33，
由折叠的性质得∠AEF=∠A'EF，
∴180°−∠HEF=90°+∠HEF，
∴∠HEF=45°，
∴△HEF是等腰直角三角形，
∴FH=EH=33，
∴B'F=33−12，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF是等腰直角三角形是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若BC=8，OE=2，AB=4，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF，根据全等三角形的性质，得：OF=OE=2，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=16．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCO∠AEO=∠CFOOA=OC，
∴△AOE≅ △COF，
∴OF=OE=2，CF=AE，
∴四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+8+2×2=16，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA于点E，交BC于点F；②分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P；③画射线BP，交AD于点Q，交对角线AC于点O．若BA⊥CA，则AO的长度为（ ）
A．3B．3C．32D．22
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OA=38AC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC=BC2−AB2=102−62=8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OA=38AC=38×8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则EDAE的值是（ ）
A．23B．3C．32D．33
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=3BH−BH，AE=3BH−3BH，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
∵∠ADC=105°，
∴∠DAB=75°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=75°，
∴∠BDA=30°，
∴BD=2BH=AD，DH=3BH，
∴AH=2BH−3BH，
∵∠EBA=60°，
∴∠BEA=180°−∠DAB−∠ABE=45°，
∴∠EBH=45°=∠BEH，∴BH=EH，
∴DE=3BH−BH，AE=3BH−3BH，
∴EDAE=3BH−BH3BH−3BH=33．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型2 利用平行四边形的性质求角度】
【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度数．
【答案】45°
【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出∠CBD=∠BDE=15° ，求出∠ABD=30°，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=ED，
∴∠CBD=∠BDE=15°，
∵∠CDE=15°，
∴∠BDC=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+15°=45°．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A:∠B=1:2，
∴∠A+2∠A=180°，
解得∠A=60°，
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．
【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）．
A．130°B．135°C．150°D．125°
【答案】B
【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，
∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，
∴∠BAD=180°−225°−2x=2x−45°，
∴2x−45°=225°−2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．
【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为 _____．
【答案】45°
【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECGSAS，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，连接DG，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠DAG=∠GEC=90°，
∵EG=BC，
∴EG=AD，
在△ADG和△ECG中，
AD=EG∠DAG=∠GEC=90°AG=EC，
∴△ADG≌△ECGSAS，
∴DG=CG，∠ADG=∠ECG，
∵∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠EGC+∠AGD=90°，
∴∠DGC=90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∴∠DCG=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCG=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．
【题型3 利用平行四边形的性质求面积】
【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．36B．48C．63D．75
【答案】C
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，
∴BC+CD=30，
设BC为x，
∵S▱ABCD=BC⋅AE=CD⋅AF，
∴3x=30−x×7，解得：x=21，
∴▱ABCD的面积为21×3=63，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．
【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．
【答案】10
【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵m∥n，
∴S△ABC=S△ABD，
∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，
∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．
【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点Am,0，Bn,0，且m，n满足m+12+n−3=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．
(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；
(2)平行四边形ABCD的面积是多少？
(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)图见解析，A−1,0，B3,0，C4,3，D0,3
(2)12
(3)存在，11,0或−5,0
【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D的坐标；
（2）先求出AB=4，OD=3，再利用平行四边形的面积公式即可得；
（3）设点M的坐标为Ma,0，则BM=a−3，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．
（1）
解：∵m+12+n−3=0，
∴m+1=0，n−3=0，
解得m=−1，n=3，
∴A−1,0，B3,0，
补全图形如下：
由平移的性质得：C3+1,0+3，D−1+1,0+3，即C4,3，D0,3．
（2）
解：∵A−1,0，B3,0，D0,3，
∴AB=3−−1=4，OD=3，
则平行四边形ABCD的面积是AB⋅OD=4×3=12．
（3）
解：如图，设点M的坐标为Ma,0，
则BM=a−3，
∵△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∴12OD⋅BM=12，即12×3a−3=12，
解得a=11或a=−5，
所以存在这样的点M，此时点M的坐标为11,0或−5,0．
【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．
【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．
(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．
(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；
（2）根据要求，画出平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；
由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；
（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；
由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．
【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．
【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】
【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】C
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，∠4=∠5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠5=∠3，
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠3+∠4=48°，
∴∠5=∠4=∠3=12×48°=24°，
在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，ED'交BC于点G，则△GEF的周长为 （ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到 AD∥BC ，由平行线的性质得到 ∠EFG=∠DEF=60° ，根据折叠的性质得到 ∠GEF=∠DEF=60° ，推出 △EGF是等边三角形，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EFG=∠DEF=60°，
∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC'D'，
∴∠GEF=∠DEF=60°，
∴∠EGF=60°，
即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GEF的周长=18，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．则AF长度为_____．
【答案】152
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=62，5BE=AE，
∴AE=52，BE=2，
由折叠的性质可知：GE=AE=52，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=22BE=1，AM=BM=22AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
EN2+GN2=GE2，
∴12+GN2=(52)2，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
GH2+FH2=GF2，
∴(6−x)2+62=(6+x)2，
解得x=32，
∴AF=AM+FM=6+32=152．
∴AF长度为152．
故答案为：152．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．
【答案】6−13≤x≤33－2
【分析】如图1，当B'在AD上，易证由四边形CDB'E为平行四边形，得到CE=DB'=6− 13；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B'在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝13，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝33，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当B'在AD上，此时，AB=AB'，∠B=∠AB'E=∠D，
∴B'E ∥ CD，
∵AD∥BC，
∴四边形CDB'E为平行四边形，
∴CE=DB'=6− 13；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当B'在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝13，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
AG2=AB2−BG2=AC2−CG2
∴132−BG2=52−6−BG2
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝33，
∴CE＝33－2；
综上：x的取值范围为：6−13≤x≤33－2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】
【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（ ）
A．-7B．-1C．1D．7
【答案】B
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴−2+a2=1+02 ，3+02=b−12
解得;a=3,b=4
∴a+b=7
②AB为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴−2+12=a+02 ，3+(−1)2=b+02
解得;a=-1,b=2
∴a+b=1
③AC为对角线时，
∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)
∴1+a2=−2+02 ，−1+02=b+32
解得;a=-3,b=-4
∴a+b=−7
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．
【答案】(0,2)
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【详解】解：设点P（0，y），
∵PD=AP，点A（-3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y-4），
∴点C在x=6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y-4=0，
∴y=2，
∴点P（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D点的坐标为_______．
【答案】（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
∠BEO＝∠CDA∠BOE＝∠CADBO＝AC，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴12AD•BF=6，
∴12×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A0，3，B−1，0，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 _____________．
【答案】72，3
【分析】连接BD，设Dm，3，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．
【详解】解：连接BD，设Dm，3，BD的中点为T，
∵ B−1，0，
∴ Tm−12，32，
∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y=−2x+4经过点T，
∴ 32=−2×m−12+4，
∴ m=72，
∴ D72，3，
故答案为：72，3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．
【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】
【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．
(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD， ①
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴ ② ，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ③
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG中，
∠ABD=∠CDB④∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG
【答案】(1)作图见详解
(2)AB∥CD，∠BAF=12∠BAD，∠BAD=∠DCB，AB=CD
【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC，DC于点M，N，连接MN，分别以点M，N为圆心，以大于12MN为半径画弧，交于点P，连接CP，交AD于点H，交BD的于点G，由此即可求解；
（2）平行四边形ABCD中，可知AB=CD，AB∥CD，AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，从而证明△ABF≌△CDGASA，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴CH为∠BCD的角平分线．
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，
∴∠BAF=12∠BAD，∠DCH=12∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠DCB，
∴∠BAE=∠DCH，
在△ABF和△CDG△CDG中，
∠ABD=∠CDBAB=CD∠BAE=∠DCH，
∴△ABF≌△CDGASA．
∴BF=DG．
故答案为：①AB∥CD；②∠BAF=12∠BAD；③∠BAD=∠DCB；④AB=CD．
【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)求证：AE平分∠DAB；
(3)若∠DAB=60°，AB=4，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)43
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D=∠ECF，根据对顶角相等，∠DEA=∠CEF，再根据点E是CD边的中点，即可求证；
（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；
（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
∵点E是CD边的中点，
∴DE=CE，
又∵∠DEA=∠CEF，
∴△ADE≌△FCEASA；
（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，
又∵BE⊥AF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AB=BF，∠F=∠BAE
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；
（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；
又∵∠DAB=60°
∴∠EAB=30°，
∵BE⊥AF，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，
∴BE=12AB=2，
∴AE=AB2−BE2=23，
∴AF=2AE=43，
由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE=S△CEF，
∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=43．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF
(1)求证：AE=CF；
(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度数=______
【答案】(1)见解析
(2)100°
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC、AB=CD即∠ABE=∠CDF，然后证得△ABE≅△CDF即可证得结论；
（2）由△ABE≅△CDF可得∠AEB=∠CFD=140°，进而求得∠AED，再根据AD=AE可得∠ADE，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD
∴AB∥DC，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF
在△ABE和△CDF中
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF
∴△ABE≅△CDFSAS
∴AE=CF．
（2）解：∵△ABE≅△CDF，∠DFC=140°
∴∠AEB=∠CFD=140°
∴∠AED=180°−∠AEB=40°
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE=40°
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=100°．
故答案为：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形CDFE的周长为11
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COFASA，则可证得结论；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，
∴△AOE≌△COFASA，
∴OF=OE．
（2）解：∵△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，
∴C四边形CDFE=EF+DF+CE+CD
=2OE+DF+AF+CD
=2OE+AD+CD
=4+4+3
=11．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【题型7 利用平行四边形的性质求最值】
【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求线段AB的最小值．
(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，则AD是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)12.5
(2)22
(3)不是，52，2534
【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积；
（2）由勾股定理可得AB=2(AC−2)2+8，由配方法可求解；
（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=3BO−522+254，由配方法可求BC的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，
则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，
即四边形ABCD的面积为12.5cm2，
故答案为：12.5；
（2）解：∵AC+BC=4，
∴BC=4−AC，
∵∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=AC2+(4−AC)2=2(AC−2)2+8，
∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为22；
（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO，BO=DO，AD=BC，
∵ AC+BD=10，
∴ BO+CO=5，
∴ CO=5−BO，
∵ ∠BOC=60°，BH⊥AC，
∴ ∠OBH=30°，
∴ HO=12BO，BH=3HO=32BO，
∴ CH=CO−HO=5−32BO，
∵BC=BH2+CH2=32BO2+5−32BO2=3BO−522+254，
∴当BO=52时，BC有最小值52，即AD的最小值为52，
此时：BO=BC=52，∠BOC=60°，
∴ △BOC是等边三角形，
∴S▱ABCD=4S△BOC=4×34×522=2534．
综上可知，AD不是定值，AD的最小值为52，此时平行四边形ABCD的面积为2534．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【分析】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，勾股定理求得OB，等面积法求得OF，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，OD最小，进而求得DE的最小值，即可求解．
【详解】设AC,ED交于点O，过点O作OF⊥BC于点F，如图所示，
在四边形ADCE中，AO=CO，EO=DO，
∵AB=BC=10，
∴BO⊥AC，
∵AC=12，
∴AO=CO=6,
在Rt△BOC中，BO=BC2−OC21=8，
∵S△OBC=12CO⋅BO=12BC⋅OF，
∴OF=4.8，
当点D与点F，重合时，OD最小，
∴ED的最小值为2OD=9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，点F为BC上一点，点G为BE上一点，连接CG，FG，则CG+FG的最小值为_________．
【答案】33
【分析】在AB上取一点H，使BH=BF，则GF=GH，所以CG+FG=CG+HG，因此当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．
【详解】在AB上取一点H，使BH=BF，
∵BE平分∠ABC，
∴GF=GH，
∴CG+FG=CG+HG，
∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，
CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．
∵BC=6，∠ABC=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BC=2BH，
∴BH=12BC=3，
∴CH=BC2−BH2=62−32=33．
故答案为：33．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．
【答案】7
【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，
∵点A与点F关于直线BC对称，
∴CA=CF，∠ACB=∠FCB=30°，则∠ACF=60°，
∴△ACF是等边三角形，
∵在▱ABCD中，AO=32，
∴CF=AC=2AO=3，
过点E作直线CF的垂线，垂足为点G，
∵∠ACF=60°，
∴∠CEG=30°，
∴CG=12CE=12，EG=12−122=32，
∴FG=FC−CG=52，
∴EF=322+522=7，
∴PE+PA的最小值是7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】
【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中点． 动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1 cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2 cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动．
(1)当动点P运动t(0
① 若0
【答案】(1)9−t；
(2)①12−2t；② 2t−12；
(3)t为3秒或7秒时．
【分析】（1）根据题意得：AP=t，AD=9，即可得出答案；
（2）①若0
【详解】（1）解：根据题意得：AP=t，AD=9，
∴PD=AD−AP=9−t，
故答案为：9−t；
（2）解：①若0
故答案为：12−2t；
② 若6
故答案为：2t−12；
（3）解：如图所示：
∵E是BC的中点，
∴BE=12BC=12×24=12，
① 当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则：
12−2t=9−t，
解得：t=3，
② 当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则：
2t−12=9−t，
解得：t=7，
∴运动时间为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查梯形的性质以及平行四边形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想，分类讨论思想与方程思想的应用．
【变式8-1】（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(-16，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)BQ=10-t，AP=16-2t(0
(3)t=103或95
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出BC=OA=16，BD=10，0
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
（1）
∵四边形ABCO是平行四边形，A(-16，0)，
∴BC=OA=16．
∵CD=6，
∴BD=BC-CD=10，
∴0
∴OP=2t，DQ=t，
∴BQ=BD-DQ=10-t．
当P在A点右侧时，此时t<162=8，AP=16-2t，
当P与A点重合时，此时t=162=8，AP=0，
当P在A点左侧时，此时8
分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即10-t=16-2t，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即10-t=2t-16，
解得t=263．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或263；
（3）
当△BQP恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥BD于点F，
∴OE=DQ=t，PE=FQ，
∴PE=OP-OE=2t-t=t．
∵BP=PQ，
∴BF=FQ=12BQ=12(10-t)，
∴12(10-t)=t，
解得t=103；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作QG⊥x轴于点G．
由①可知PG=t，
∵PQ2=PG2+QG2，即PQ2=t2+82，PQ2=BQ2=(10-t)2
∴(10-t)2=t2+82，
解得：t=95；
③当BQ=PB时，由②同理可得出(10-t)2=82+(10-2t)2，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，△BQP不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当△BQP恰好是等腰三角形，t=103或95．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式8-2】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．
(2)如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，在（1）的条件下，连接BP并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，若AB＝8，则△APF的面积是 ．（直接写出结果）
【答案】(1)∠B＝60°
(2)当运动的时间为4.8秒秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形
(3)163
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义和CD=CP，可证明△PDC是等边三角形，从而求出∠B的度数；
（2）由题意可知，点P到达点D需要12秒，此时点Q在BC边上运动两个往返，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP=CQ，根据这一相等关系列方程即可求出运动的时间；
（3）根据等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半可推得△APF与△PDC面积相等，通过求△PDC面积可求得△APF的面积．
（1）
如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP；
∴CD＝PD，
∵CD＝CP，
∴CD＝PD＝CP，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°．
（2）
如图2，
设点P运动的时间为t，由题意得，AP＝0.5t，AD＝6，
由0.5t＝6，得t＝12，可知点P到达点D的时间为12秒；
由2×12÷6＝4，可知点Q从点C开始在BC上运动两个往返；
∵AP∥CQ，
∴以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形的条件是AP＝CQ；
当0＜t≤3时，AP＝0.5t，CQ＝2t，可知AP＜CQ，即不存在AP＝CQ的情况；
当3＜t≤6时，由题意得，0.5t＝6×2﹣2t，解得t＝4.8；
当6＜t≤9时，由题意得，0.5t＝2t﹣6×2，解得t＝8；
当9＜t≤12时，由题意得，0.5t＝6×4﹣2t，解得t＝9.6．
综上所述，当运动的时间为4.8秒秒或9.6秒时，以A，P，C，Q四点组成的四边形是平行四边形．
（3）
如图3，作CE⊥AD于点E，
∵AD∥BC，
∴S△PBC＝12×AD×CE，S平行四边形ABCD＝AD×CE，
∴S△PBC＝12S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△PDC＝12S平行四边形ABCD，
同理，S△FAB＝12S平行四边形ABCD，
∴S△PAB+S△APF＝S△PAB+S△PDC，
∴S△APF＝S△PDC，
由（1）得，△PDC是等边三角形，
∴PD＝CD＝AB＝8，
∴DE＝12PD＝4，
∵∠DEC＝90°，
∴CE＝CD2−DE2＝82−42＝43，
∴S△APF＝12×8×43＝163．
故答案为：163
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、用转化法求三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，其中第（2）题要分类讨论，求出所有符合题意的值，此题难度不大，但涉及的知识点较多，是很好的习题．
【变式8-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在▱ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，动点P从点D出发，以4cm/s的速度沿折线DC−CB−BD运动，连接AP交BD于点O，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长；
(2)在（1）的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值；
(3)当点P在AD的垂直平分线上时，求出此时t的值；
(4)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，直接写出t的值．
【答案】(1)DP=4tcm，CP=3−4tcm；
(2)t=14；
(3)7340或7132；
(4)35或52．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD=3cm，由DP=4tcm可得CP=3−4tcm；
（2）求出∠BDC=∠ABD=90°，可得△OPD是等腰三角形时，DP=DO，△ABO是等腰直角三角形，然后根据AB=BO列式求出t值即可；
（3）作AD的垂直平分线交BC于P1，交BD于P2，交AD于F，过点B作BH⊥AD于H，连接AP2，当点P运动到P1的位置时，先求出AF和AH的长，然后可得BP1=HF=710cm，即可计算t的值；当点P运动到P2的位置时，在Rt△ABP2中，利用勾股定理构建方程求出BP2=78cm，然后可计算此时t的值；
（4）如图2，连接AC交BD于G，PQ过点G，证明△QAG≅△PCGASA，可得当PQ过点G时，直线PQ平分▱ABCD的面积，然后分点P在DC上和点P在BD上两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在▱ABCD中，AB=CD=3cm，
由题意得：DP=4tcm，
∴CP=3−4tcm；
（2）解：∵AB=3cm，AD=5cm，BD=4cm，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°，
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=90°，
∴当△OPD是等腰三角形时，DP=DO=4t，
∴∠DOP=∠DPO=45°，
∴∠AOB=∠DOP=45°，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∵AB=BO，
∵BO=BD−DO=4−4t，
∴4−4t=3，
∴t=14；
∵在▱ABCD中，AB∥CD，AG=CG，
∴∠QAG=∠PCG，
又∵∠QGA=∠PGC，
∴△QAG≅△PCGASA，
∴S△QAG=S△PCG，AQ=CP，
∴S四边形BQPC=S四边形BQGC+S△PCG=S四边形BQGC+S△QAG=S△ABC=12S平行四边形ABCD，
∴当PQ过点G时，直线PQ平分▱ABCD的面积，
当点P在DC上时，
∵AQ=t，PC=3−4t，AQ=CP，
∴t=3−4t，
解得：t=35；
当点P在BD上时，如图3，点P与点G重合，
∵BP=12BD=2，
∴t=3+5+24=52；
综上，当直线PQ平分▱ABCD的面积时，t的值为35或52．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．
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