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北师大版七年级数学下册举一反三系列4.8三角形章末题型过关卷(北师大版)同步学案(学生版+解析)
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第4章 三角形章末题型过关卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·湖南·七年级校考期末）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短2．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）要求画△ABC的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）（2022秋·安徽·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，则∠D等于（ ）A．30° B．50° C．60° D．100°4．（3分）（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，8，15 D．3，4，65．（3分）（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．（3分）（2022秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）7．（3分）（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A'有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）（2022春·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（ ）A．49° B．59° C．41° D．51°9．（3分）（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°10．（3分）（2022秋·浙江·八年级期末）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．12．（3分）（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图所示，延长△ABC的中线AD到点E，使DE=AD，连接BE，EC，那么在四边形ABEC中共有___对全等的三角形．13．（3分）（2022春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．14．（3分）（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _______ cm215．（3分）（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，AD、BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD=BD=4．且△ACD的面积为6，则AF的长度为______．16．（3分）（2022·山西阳泉·八年级统考期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．(2)作AC边上的中线BE．(3)求△ABE的面积．18．（6分）（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．19．（8分）（2022春·浙江·九年级期末）在5×6的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE与△ABC全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD，且∠BAD为锐角． 第4章 三角形章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·湖南·七年级校考期末）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【答案】D【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．2．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）要求画△ABC的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形高的定义判断即可；【详解】A中AD是边BC上面的高，故不符合题意；B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；C中CD是AB边上的高，故符合题意；D中BD是AC边上的高，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．3．（3分）（2022秋·安徽·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，则∠D等于（ ）A．30° B．50° C．60° D．100°【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求出∠A=∠D．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D=50°，【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．（3分）（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，8，15 D．3，4，6【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，得，A、3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B、5+6=11，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+8＜15，不能组成三角形，不符合题意；D、3+4＞6，能够组成三角形，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．（3分）（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，∴△AOB≌△CODSAS．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．6．（3分）（2022秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案．【详解】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；B．带第（3）和（4）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．7．（3分）（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A'有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A'、A1'；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点A2'，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．8．（3分）（2022春·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（ ）A．49° B．59° C．41° D．51°【答案】A【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.【详解】在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠CBE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.9．（3分）（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】如图所示（见详解），证明△ABE≌△CDE(SAS)可得，∠2+∠3=∠DCE+∠3=∠DCB，在正方形HCFB中，BC是对角线，由此即可求解．【详解】解：如图所示，∵AB=CD=2，BE=DE=1，∠ABE=∠CDE=90°，∴△ABE≌△CDE(SAS)，∴∠2=∠DCE，∴∠2+∠3=∠DCE+∠3=∠DCB，在正方形HCFB中，BC是对角线，∴∠DCB=45°，∴∠2+∠3=45°，【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．10．（3分）（2022秋·浙江·八年级期末）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B．【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．【答案】4．【分析】根据三角形的定义即可得到结论．【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．12．（3分）（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图所示，延长△ABC的中线AD到点E，使DE=AD，连接BE，EC，那么在四边形ABEC中共有___对全等的三角形．【答案】4##四【分析】由边角边可判定△ADB≌△EDC，△BDE≌△CDA，进而得AB＝CE，BE＝AC，再由边边边可判定△ABE≌△ECA，△ABC≌△ECB．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ADB与△EDC中，AD=ED∠ADB=∠EDCCD=BD ，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB＝EC，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝CA，在△ABC和△ECB中，AB=ECBC=CBAC=EB ，∴△ABC≌△ECB（SSS），在△ABE和△ECA中，AB=ECAE=EABE=AC ，∴△ABE≌△ECA（SSS），∴在四边形ABEC中共有4对全等的三角形．故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了全等三角形的性质．13．（3分）（2022春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．【答案】7【详解】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为714．（3分）（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _______ cm2【答案】1【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．【详解】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×4=2cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×4=2cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2=1cm2．故答案为：1．【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．15．（3分）（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，AD、BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD=BD=4．且△ACD的面积为6，则AF的长度为______．【答案】1【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．【详解】解：∵AD，BE是△ABC的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠CAD，在△ACD和△BFD中，∠CAD=∠DBFBD=AD∠BDF=∠ADC，∴△ACD≌△BFD(ASA)，∴DF=DC，∵△ACD的面积为6，∴ 12×CD×4=6，∴CD=3，∴DF=3，∴AF=AD−DF=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．（3分）（2022·山西阳泉·八年级统考期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．【答案】8【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果．【详解】解：延长BD、AC交于点E，∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，∴在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADE=90° ∴△ABD≌△AED（ASA），∴AB＝AE，BD＝DE，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，∵△ABC的面积为16cm2，∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x，∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝12S△ABE−S△EDC=12(16+2x)−x=8 故答案为8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键.三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．(2)作AC边上的中线BE．(3)求△ABE的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据要求作出高即可．（2）根据要求作出AC边上的中线即可．（3）由三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）如图所示AD即为所求．（2）如图所示BE即为所求．（3）∵BC=4，AD=4，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8,∵ BE为AC边上中线，∴S△ABE=12S△ABC=12×8=4，即S△ABE面积为4．【点睛】本题主要考查三角形高和中线的做法，以及三角形面积，熟练理解三角形面积的求法是解决本题的关键．18．（6分）（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）AE=3；（2）∠AED=80°．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得BE=BC=3，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得∠DBE=∠C=55°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵△ABC≅△DEB,BC=3，∴BE=BC=3，∵AB=6，∴AE=AB−BE=6−3=3；（2）∵△ABC≅△DEB，∴∠DBE=∠C=55°，∵∠D=25°，∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．19．（8分）（2022春·浙江·九年级期末）在5×6的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE与△ABC全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD，且∠BAD为锐角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，△ADE即为所求．（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．20．（8分）（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．【答案】证明见解析【分析】在AB上截取AF=AC，连接EF，通过证明△ACE≌△AFE和△BEF≌ΔBED，然后根据全等三角形的性质分析求证．【详解】证明：在AB上截取AF=AC，连接EF．∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD．∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，在△ACE和△AFE中AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△ACE≌△AFE，∴∠C=∠AFE,CE=EF，∵∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°，∴∠EFB=∠D，在△BEF和△BED中∠EFB=∠D∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌ΔBED，∴EF=ED，∴CE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．21．（8分）（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）在△ABC中，BC=8，AB=1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为11，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)18【分析】（1）根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，代入数值计算，再根据AC是整数，即可得到AC的长；（2）由BD是△ABC的中线，可得AD=CD，再根据△ABD与△BCD之间有公共边这个关系，即可得到周长．(1)由题意得，BC－AB＜AC＜BC+AB所以7＜AC＜9∵AC是整数，∴AC=8(2)∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD∵△ABD的周长为11，∴AB+AD+BD=11，∵AB=1，∴AD+BD=10∴△BCD的周长=BC+AD+CD=8+10=18【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系、三角形中线的性质，熟练应用上述知识点是解题的关键．22．（8分）（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.（1）若∠A=40∘，∠B=76∘，求∠DCE的度数；（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2）12 (β－α)；（3）∠HGE＝12 (β－α)．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=64°，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=32°，根据余角的定义得到∠DCE=90°-∠DEC=184°，于是得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=12（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）作出平移图，因为GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝12 (β－α)，进而得到∠HGE＝12 (β－α)【详解】解：（1）∵ ∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12×64°＝32°，∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12 (180°－α－β)＝90°－12α－12β，∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－12α－12β=90°＋12α－12β，∵CE是AB边上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°－∠DEC＝90°－(90°＋12α－12β)＝12β－12α＝12 (β－α)；（3）如图，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）知∠DCE＝12 (β－α)，所以∠HGE＝∠DCE ＝12 (β－α)，即∠HGE与α，β的数量关系为∠HGE＝12 (β－α)．【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．23．（8分）（2022秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、
第4章 三角形章末题型过关卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·湖南·七年级校考期末）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短2．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）要求画△ABC的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．3．（3分）（2022秋·安徽·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，则∠D等于（ ）A．30° B．50° C．60° D．100°4．（3分）（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，8，15 D．3，4，65．（3分）（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．（3分）（2022秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）7．（3分）（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A'有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）（2022春·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（ ）A．49° B．59° C．41° D．51°9．（3分）（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°10．（3分）（2022秋·浙江·八年级期末）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．12．（3分）（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图所示，延长△ABC的中线AD到点E，使DE=AD，连接BE，EC，那么在四边形ABEC中共有___对全等的三角形．13．（3分）（2022春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．14．（3分）（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _______ cm215．（3分）（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，AD、BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD=BD=4．且△ACD的面积为6，则AF的长度为______．16．（3分）（2022·山西阳泉·八年级统考期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．(2)作AC边上的中线BE．(3)求△ABE的面积．18．（6分）（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．19．（8分）（2022春·浙江·九年级期末）在5×6的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE与△ABC全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD，且∠BAD为锐角． 第4章 三角形章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022春·湖南·七年级校考期末）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【答案】D【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．2．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）要求画△ABC的边AB上的高．下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形高的定义判断即可；【详解】A中AD是边BC上面的高，故不符合题意；B中不符合三角形高的作图，故不符合题意；C中CD是AB边上的高，故符合题意；D中BD是AC边上的高，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了三角形高的画法，准确分析是解题的关键．3．（3分）（2022秋·安徽·八年级统考期末）如图，若△ABC≌△DEF，则∠D等于（ ）A．30° B．50° C．60° D．100°【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求出∠A=∠D．【详解】∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠D=50°，【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．（3分）（2022秋·广东广州·八年级校考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，8，15 D．3，4，6【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，得，A、3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B、5+6=11，不能够组成三角形，不符合题意；C、5+8＜15，不能组成三角形，不符合题意；D、3+4＞6，能够组成三角形，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．5．（3分）（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD，∴△AOB≌△CODSAS．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．6．（3分）（2022秋·四川遂宁·八年级统考期末）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（ ）A．（1）和（3） B．（3）和（4）C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案．【详解】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；B．带第（3）和（4）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．7．（3分）（2022秋·四川广安·八年级统考期末）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A'有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．【详解】解：如图：以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点A'、A1'；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点A2'，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．【点睛】本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．8．（3分）（2022春·重庆·七年级四川外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（ ）A．49° B．59° C．41° D．51°【答案】A【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.【详解】在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠CBE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.9．（3分）（2022秋·黑龙江双鸭山·八年级统考期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠2+∠3的度数为（ ）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】如图所示（见详解），证明△ABE≌△CDE(SAS)可得，∠2+∠3=∠DCE+∠3=∠DCB，在正方形HCFB中，BC是对角线，由此即可求解．【详解】解：如图所示，∵AB=CD=2，BE=DE=1，∠ABE=∠CDE=90°，∴△ABE≌△CDE(SAS)，∴∠2=∠DCE，∴∠2+∠3=∠DCE+∠3=∠DCB，在正方形HCFB中，BC是对角线，∴∠DCB=45°，∴∠2+∠3=45°，【点睛】本题主要考查格点三角形的知识，掌握格点三角形中顶点与边的关系，证明三角形全等，根据全等三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．10．（3分）（2022秋·浙江·八年级期末）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B．【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．【答案】4．【分析】根据三角形的定义即可得到结论．【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．故答案为：4．【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．12．（3分）（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图所示，延长△ABC的中线AD到点E，使DE=AD，连接BE，EC，那么在四边形ABEC中共有___对全等的三角形．【答案】4##四【分析】由边角边可判定△ADB≌△EDC，△BDE≌△CDA，进而得AB＝CE，BE＝AC，再由边边边可判定△ABE≌△ECA，△ABC≌△ECB．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ADB与△EDC中，AD=ED∠ADB=∠EDCCD=BD ，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴AB＝EC，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADCDE=AD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝CA，在△ABC和△ECB中，AB=ECBC=CBAC=EB ，∴△ABC≌△ECB（SSS），在△ABE和△ECA中，AB=ECAE=EABE=AC ，∴△ABE≌△ECA（SSS），∴在四边形ABEC中共有4对全等的三角形．故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了全等三角形的性质．13．（3分）（2022春·上海徐汇·七年级上海市民办华育中学校考期末）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个．【答案】7【详解】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为714．（3分）（2022秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _______ cm2【答案】1【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形进行计算即可．【详解】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD，S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×4=2cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×4=2cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2=1cm2．故答案为：1．【点睛】本题考查求三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．15．（3分）（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，AD、BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD=BD=4．且△ACD的面积为6，则AF的长度为______．【答案】1【分析】利用ASA证明△ACD≌△BFD，得DF=DC，再根据三角形面积可得CD的长，从而可得答案．【详解】解：∵AD，BE是△ABC的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠BFD=∠AFE，∴∠DBF=∠CAD，在△ACD和△BFD中，∠CAD=∠DBFBD=AD∠BDF=∠ADC，∴△ACD≌△BFD(ASA)，∴DF=DC，∵△ACD的面积为6，∴ 12×CD×4=6，∴CD=3，∴DF=3，∴AF=AD−DF=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．（3分）（2022·山西阳泉·八年级统考期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2．【答案】8【分析】延长BD、AC交于点E，由题意证得△ABD≌△AED（ASA），证得AB＝AE，BD＝DE，即可证得S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，利用S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝12+2S△EDC即可求得结果．【详解】解：延长BD、AC交于点E，∵AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，∴在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADE=90° ∴△ABD≌△AED（ASA），∴AB＝AE，BD＝DE，∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC，设S△EDC＝x，∵△ABC的面积为16cm2，∴S△ABE＝S△ABC+S△BCD＝16+2S△EDC＝16+2x，∴S△ADC＝S△ADE﹣S△EDC＝12S△ABE−S△EDC=12(16+2x)−x=8 故答案为8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形面积的求法，根据图形的特点，补全成特殊的图形是解题的关键.三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，(1)在△ABC中，作BC边上的高AD．(2)作AC边上的中线BE．(3)求△ABE的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）根据要求作出高即可．（2）根据要求作出AC边上的中线即可．（3）由三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）如图所示AD即为所求．（2）如图所示BE即为所求．（3）∵BC=4，AD=4，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×4=8,∵ BE为AC边上中线，∴S△ABE=12S△ABC=12×8=4，即S△ABE面积为4．【点睛】本题主要考查三角形高和中线的做法，以及三角形面积，熟练理解三角形面积的求法是解决本题的关键．18．（6分）（2022秋·全国·八年级期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）AE=3；（2）∠AED=80°．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得BE=BC=3，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得∠DBE=∠C=55°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵△ABC≅△DEB,BC=3，∴BE=BC=3，∵AB=6，∴AE=AB−BE=6−3=3；（2）∵△ABC≅△DEB，∴∠DBE=∠C=55°，∵∠D=25°，∴∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．19．（8分）（2022春·浙江·九年级期末）在5×6的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE与△ABC全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形ABCD，且∠BAD为锐角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，△ADE即为所求．（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．20．（8分）（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：CE=DE．【答案】证明见解析【分析】在AB上截取AF=AC，连接EF，通过证明△ACE≌△AFE和△BEF≌ΔBED，然后根据全等三角形的性质分析求证．【详解】证明：在AB上截取AF=AC，连接EF．∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD．∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，在△ACE和△AFE中AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△ACE≌△AFE，∴∠C=∠AFE,CE=EF，∵∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°，∴∠EFB=∠D，在△BEF和△BED中∠EFB=∠D∠EBF=∠EBDBE=BE，∴△BEF≌ΔBED，∴EF=ED，∴CE=DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．21．（8分）（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）在△ABC中，BC=8，AB=1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为11，求△BCD的周长．【答案】(1)8(2)18【分析】（1）根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，代入数值计算，再根据AC是整数，即可得到AC的长；（2）由BD是△ABC的中线，可得AD=CD，再根据△ABD与△BCD之间有公共边这个关系，即可得到周长．(1)由题意得，BC－AB＜AC＜BC+AB所以7＜AC＜9∵AC是整数，∴AC=8(2)∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD∵△ABD的周长为11，∴AB+AD+BD=11，∵AB=1，∴AD+BD=10∴△BCD的周长=BC+AD+CD=8+10=18【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系、三角形中线的性质，熟练应用上述知识点是解题的关键．22．（8分）（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.（1）若∠A=40∘，∠B=76∘，求∠DCE的度数；（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2）12 (β－α)；（3）∠HGE＝12 (β－α)．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB=64°，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=32°，根据余角的定义得到∠DCE=90°-∠DEC=184°，于是得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠ACB=180°-α-β，根据角平分线的定义得到∠ECB=12∠ACB=12（180°-α-β），根据余角的定义得到∠BCD=90°-∠B=90°-β，于是得到结论；（3）作出平移图，因为GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝12 (β－α)，进而得到∠HGE＝12 (β－α)【详解】解：（1）∵ ∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12×64°＝32°，∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，∵CD是AB边上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12 (180°－α－β)＝90°－12α－12β，∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－12α－12β=90°＋12α－12β，∵CE是AB边上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°－∠DEC＝90°－(90°＋12α－12β)＝12β－12α＝12 (β－α)；（3）如图，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）知∠DCE＝12 (β－α)，所以∠HGE＝∠DCE ＝12 (β－α)，即∠HGE与α，β的数量关系为∠HGE＝12 (β－α)．【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．23．（8分）（2022秋·湖南张家界·八年级统考期末）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=BD+CE，证明见解析【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEA＝90°AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）DE=BD+CE，理由如下：∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE∠ADB＝∠CEAAB＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、
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