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初中数学北师大版（2024）七年级下册3 简单的轴对称图形课后测评
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这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册3 简单的轴对称图形课后测评，共29页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16094" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc16094 \h 1
\l "_Tc27756" 【题型2 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27756 \h 2
\l "_Tc17598" 【题型3 尺规作垂直平分线】 PAGEREF _Tc17598 \h 3
\l "_Tc10951" 【题型4 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc10951 \h 5
\l "_Tc13796" 【题型5 利用等腰三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc13796 \h 6
\l "_Tc32335" 【题型6 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc32335 \h 7
\l "_Tc17269" 【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc17269 \h 8
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】
【例1】（2022春·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCD
C．AB=BDD．△BEC≌△DEC
【变式1-1】（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【变式1-2】（2022秋·山东泰安·七年级校考期末）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于________．
【变式1-3】（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 利用角平分线的性质求解】
【例2】（2022秋·天津河东·八年级校考期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
【变式2-1】（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？
【变式2-2】（2022秋·河南周口·八年级校考期中）如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为_______．
【变式2-3】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【题型3 尺规作垂直平分线】
【例3】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）如图△ABC．
(1)尺规作图BC 边上的中线AD；
(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD与ΔABD的周长之差；
(3)直接写出ΔABC与ΔACD的面积之间的大小关系．
【变式3-1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知线段AB和点E且线段AB和线段EF关于直线CD对称，点A的对称点是点E．
（Ⅰ）用尺规作图画出直线CD；
（Ⅱ）画出点F．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）按下列要求作图．
（1）尺规作图：如图1，已知直线及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．
（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．
【变式3-3】（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使得S△ABD=S△BCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】（2022春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知线段a及∠α．用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α（保留作图痕迹，不写作法）；
【变式4-1】（2022春·山西·七年级统考期末）如图，AD//BC，BE平分∠ABC．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BE于点F；
（2）在（1）的条件下，ΔABF按角分类时，它是什么三角形，请说明理由．
【变式4-2】（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．
【变式4-3】（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，作∠ABC的角平分线交AC于点E，且AD、BE交于点O（保留作图痕迹）
（2）连接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值．
【题型5 利用等腰三角形的性质求解】
【例5】（2022秋·山东德州·八年级统考期中）已知∠AOB=45°，其内部有一点P，它关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校考期末）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
【变式5-2】（2022春·全国·八年级期中）如图，在等边△ABC中AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为 ___________．
【变式5-3】（2022春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
(1)若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
(2)若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】（2022秋·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条．
【变式6-1】（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为ℎ，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年级统考期中）(1)已知角a和线段c如图所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰长AB =" c," 要求仅用直尺和圆规作图,并保留作图痕迹. （不写作法）
(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面积.
【变式6-3】（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校联考期中）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】
【例7】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【变式7-1】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
【变式7-2】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
专题5.2 简单的轴对称图形【七大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16094" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc16094 \h 1
\l "_Tc27756" 【题型2 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27756 \h 4
\l "_Tc17598" 【题型3 尺规作垂直平分线】 PAGEREF _Tc17598 \h 7
\l "_Tc10951" 【题型4 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc10951 \h 11
\l "_Tc13796" 【题型5 利用等腰三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc13796 \h 15
\l "_Tc32335" 【题型6 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc32335 \h 17
\l "_Tc17269" 【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc17269 \h 22
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】
【例1】（2022春·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCD
C．AB=BDD．△BEC≌△DEC
【答案】A
【详解】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，故A成立，
∴AC平分∠BCD，BE=DE．故B成立，
∴∠BCE=∠DCE．
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
∵BE=DE，BC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．故D成立，
没有可证明AB=BD的条件，故C不一定成立，
【变式1-1】（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【答案】D
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．
【详解】解：在△ABC中，∵∠B=55°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=95°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=65°，
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·山东泰安·七年级校考期末）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于________．
【答案】8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得：EA=EB，GA=GC，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：由AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，
∴EA=EB，GA=GC，
则△AGE的周长
=EA+GA+EG=EB+GC+EG
=BC=8，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1-3】（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.
【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；
（3）根据（2）的方法解答．
【详解】（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC=DA，EC=EB，
∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，
∴DA+DE+EB=4，
即AB的长为4；
（2）∵∠ACB=100°，
∴∠A+∠B=80°，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，
∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DCE=100°-80°=20°；
（3）∵∠ACB=α，
∴∠A+∠B=180°-α，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，
∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=180°-α，
∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，
故答案为：2α-180°．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 利用角平分线的性质求解】
【例2】（2022秋·天津河东·八年级校考期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，
∵在RtΔPAO和RtΔPBO中PA=PBOP=OP，
∴RtΔOPA≌RtΔOPB，
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
∴PO平分∠APB，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵PA=PB，OA=OB，
∴OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故D错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明RtΔOPA≌RtΔOPB，是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？
【答案】2:3:4
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB:BC:AC=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．
【变式2-2】（2022秋·河南周口·八年级校考期中）如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为_______．
【答案】18；
【分析】过点P作MN⊥AD，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】过点P作MN⊥AD
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E
∴AP⊥BP，PN⊥BC
∴PM=PE=9，PE=PN=9
∴MN=9+9=18
故答案为18．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
【变式2-3】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【答案】5
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE=DC=2，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=2，
∵△ABD的面积为5，
∴12AB⋅DE=5，
∴AB=5，
∴AB的长为5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型3 尺规作垂直平分线】
【例3】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）如图△ABC．
(1)尺规作图BC 边上的中线AD；
(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD与ΔABD的周长之差；
(3)直接写出ΔABC与ΔACD的面积之间的大小关系．
【答案】(1)见详解；
(2)3
(3)SΔABC=2SΔACD
【分析】（1）先作BC的垂直平分线找到D点，连接AD即可；
（2）根据中线得到BD=CD，直接用两周长作差即可得到答案；
（3）根据中线性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意分别以A，B为圆心大于12BC 为半径画圆弧交于两侧各一点，连接两点交BC于一点即为中点D，连接AD如图所示，
（2）解：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD=CD，
CΔACD−CΔABD=AC+AD+CD−AB−AD−BD=AC−AB ，
∵AB=5，AC=8，
∴CΔACD−CΔABD=8−5=3
（3）解：由题意可得，
∵AD是BC 边上的中线，
∴SΔABC=2SΔACD ．
【点睛】本题考查三角形中线作法及三角形中线的性质，三角形中线分得线段相等及面积相等的两个三角形．
【变式3-1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知线段AB和点E且线段AB和线段EF关于直线CD对称，点A的对称点是点E．
（Ⅰ）用尺规作图画出直线CD；
（Ⅱ）画出点F．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（II）详见解析.
【分析】（Ⅰ）连接AE，作出AE的垂直平分线即可；
（Ⅱ）作出B点关于直线的对称点F即可．
【详解】解：
（Ⅰ）如图所示：连接AE，作出AE的垂直平分线CD，
直线CD即为所求；
（Ⅱ）如图所示：过B点作关于直线CD的垂线BO并延长，并在延长线上截取BO=FO，则点F即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图与轴对称变换，根据已知正确找出图形变化特点是解题关键．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）按下列要求作图．
（1）尺规作图：如图1，已知直线及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．
（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．
【答案】见解析
【分析】(1)连接AB，线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，作AB的中垂线与直线l的交点就是点P；
(2)第一个三角形为等腰直角三角形，腰长就是五个小正方形的边长；直角边分别为3和4的直角三角形的斜边作为第二个等腰三角形的腰长.
【详解】解：（1）如图所示：
点P就是所求的点；
（2）如图所示：
△ABC和△DBC是满足条件的三角形．
【变式3-3】（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使得S△ABD=S△BCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据S△ABD=S△BCD，可以得到D点为AC的中点，则作AC的垂直平分线与AC的交点即为D点．
【详解】解：如图，点D为所求作的点．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，熟知三角形的中线可将三角形面积等分是解题的关键．
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】（2022春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知线段a及∠α．用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α（保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析
【分析】先作∠α的平分线得到12∠α，作射线BM，在射线BM上截取BC=a，在BC上方作∠NBM=∠α，∠TCB=12∠α，射线CT交BN于点A，即可作出△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角、作线段，属于中考常考题型，熟练掌握五种基本作图是解答的关键．
【变式4-1】（2022春·山西·七年级统考期末）如图，AD//BC，BE平分∠ABC．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BE于点F；
（2）在（1）的条件下，ΔABF按角分类时，它是什么三角形，请说明理由．
【答案】（1）图见解析；（2）直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠AFB=90°即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示，AF即为所求
（2）ΔABF按角分类时，它是直角三角形．
理由如下：
∵BE，AF分别为∠ABC和∠BAD的平分线，
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD．
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°．
∴∠ABE+∠BAF=90°．
在ΔABF中，∠AFB=180°−∠ABF+∠BAF=90°．
∴ΔABF是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及平行线的性质和角平分线的性质，关键是灵活运用它们的性质解决问题．
【变式4-2】（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．
【答案】答案见解析
【分析】先连接CD，根据线段垂直平分线的性质作出线段CD的垂直平分线MN，再作出∠AOB的平分线OF，MN与OF相交于P点，则点P即为所求点．
【详解】点P为线段CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，则点P到点C、D的距离相等，到AO、BO的距离也相等，
作图如下：
【点睛】此题考查角平分线性质与线段垂直平分线的性质作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，作∠ABC的角平分线交AC于点E，且AD、BE交于点O（保留作图痕迹）
（2）连接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值．
【答案】（1）见解析；（2）3：2：4
【分析】（1）依据题干要求作出图形即可；
（2）根据角平分线的性质可得△ABO中AB边上的高和△ACO中AC边上的高以及△BCO中BC边上的高相等，从而得到S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值等于AB：AC：BC．
【详解】解：（1）如图，即为所作图形；
（2）∵AO平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴OC平分∠ACB，
∴点O到AB、BC和AC的距离相等，
即△ABO中AB边上的高和△ACO中AC边上的高以及△BCO中BC边上的高相等，
∵AB=6，BC=4，AC=8，
∴S△ABO:S△ACO:S△BCO=AB：AC：BC=6：4：8=3：2：4．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质得到三角形的高相等．
【题型5 利用等腰三角形的性质求解】
【例5】（2022秋·山东德州·八年级统考期中）已知∠AOB=45°，其内部有一点P，它关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可得OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，继而可得OM=OP=ON, ∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，根据等腰直角三角形的判定即可求解．
【详解】∵点P关于OA、OB的对称点分别是M、N，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴OM=OP=ON,
∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
∴△MON是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
【变式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校考期末）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
【答案】15或18厘米
【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可.
【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，
∴第三边可能为4cm或7cm，
即三边为4、4、7或4、7、7，
求得周长分别为15cm,18cm,
故填15或18.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点.
【变式5-2】（2022春·全国·八年级期中）如图，在等边△ABC中AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为 ___________．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质可得AC=BC=AB=2，根据BD是AC边上的高线，可得AD=CD，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=2，
∵BD是AC边上的高线，
∴D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC，
∵CE=CD，
∴CE=12AC=1，
∴BE=BC+CE=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．
【变式5-3】（2022春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
(1)若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
(2)若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
【答案】(1)15°
(2)12
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=12×180°−50°=65°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15°；
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴DB+DC=DA+DC=AC，
∵AB=AC=7，BC=5，
∴△CBD周长为12．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】（2022秋·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条．
【答案】4
【分析】分别以B、C为圆心，以AB、AC为半径画弧，作AB、AC的垂直平分线，即可得到答案.
【详解】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角的性质.正确作图是解决本题的关键.
【变式6-1】（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为ℎ，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB＝a，△ABC的高为h；首先画一条射线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．
【详解】如图所示，
作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年级统考期中）(1)已知角a和线段c如图所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰长AB =" c," 要求仅用直尺和圆规作图,并保留作图痕迹. （不写作法）
(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面积.
【答案】（1）
；
（2）2．
【详解】试题分析：（1）可先作出2∠α的补角，即为等腰三角形的顶角，进而作出腰，在腰的同侧作出顶角，在顶角的另一边截取腰长，连接BC即可；
（2）易得此三角形为等腰直角三角形，腰长为2，利用面积公式可得三角形的面积．
考点：作图—复杂作图；三角形的面积；特殊角的三角函数值．
点评：得到顶角及度数是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校联考期中）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后AB=AC=a，连接AB、CB即可．
【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高为h，
∴△ABC为等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；
（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC为等腰三角形，
∵直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
∴△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】
【例7】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，
②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，
③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，
综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点P的个数．
【详解】解：如图：
∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=180°−70°−40°=70°，
当∠CAP=∠CPA=35°时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP=∠APB=55°时，△BAP为等腰三角形；
当∠ABP=∠BAP=70°时，△BAP为等腰三角形；
当P与C重合时，△APB为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当∠ACP=∠CAP=70°时，△CAP为等腰三角形；
当∠PAC=∠APC=55°时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP=∠BPA=35°时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有8个．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定．
【变式7-2】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
【答案】A
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16094" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc16094 \h 1
\l "_Tc27756" 【题型2 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27756 \h 2
\l "_Tc17598" 【题型3 尺规作垂直平分线】 PAGEREF _Tc17598 \h 3
\l "_Tc10951" 【题型4 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc10951 \h 5
\l "_Tc13796" 【题型5 利用等腰三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc13796 \h 6
\l "_Tc32335" 【题型6 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc32335 \h 7
\l "_Tc17269" 【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc17269 \h 8
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】
【例1】（2022春·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCD
C．AB=BDD．△BEC≌△DEC
【变式1-1】（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【变式1-2】（2022秋·山东泰安·七年级校考期末）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于________．
【变式1-3】（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 利用角平分线的性质求解】
【例2】（2022秋·天津河东·八年级校考期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
【变式2-1】（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？
【变式2-2】（2022秋·河南周口·八年级校考期中）如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为_______．
【变式2-3】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【题型3 尺规作垂直平分线】
【例3】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）如图△ABC．
(1)尺规作图BC 边上的中线AD；
(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD与ΔABD的周长之差；
(3)直接写出ΔABC与ΔACD的面积之间的大小关系．
【变式3-1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知线段AB和点E且线段AB和线段EF关于直线CD对称，点A的对称点是点E．
（Ⅰ）用尺规作图画出直线CD；
（Ⅱ）画出点F．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）按下列要求作图．
（1）尺规作图：如图1，已知直线及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．
（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．
【变式3-3】（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使得S△ABD=S△BCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】（2022春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知线段a及∠α．用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α（保留作图痕迹，不写作法）；
【变式4-1】（2022春·山西·七年级统考期末）如图，AD//BC，BE平分∠ABC．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BE于点F；
（2）在（1）的条件下，ΔABF按角分类时，它是什么三角形，请说明理由．
【变式4-2】（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．
【变式4-3】（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，作∠ABC的角平分线交AC于点E，且AD、BE交于点O（保留作图痕迹）
（2）连接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值．
【题型5 利用等腰三角形的性质求解】
【例5】（2022秋·山东德州·八年级统考期中）已知∠AOB=45°，其内部有一点P，它关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校考期末）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
【变式5-2】（2022春·全国·八年级期中）如图，在等边△ABC中AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为 ___________．
【变式5-3】（2022春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
(1)若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
(2)若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】（2022秋·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条．
【变式6-1】（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为ℎ，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【变式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年级统考期中）(1)已知角a和线段c如图所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰长AB =" c," 要求仅用直尺和圆规作图,并保留作图痕迹. （不写作法）
(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面积.
【变式6-3】（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校联考期中）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】
【例7】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【变式7-1】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
【变式7-2】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
专题5.2 简单的轴对称图形【七大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16094" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc16094 \h 1
\l "_Tc27756" 【题型2 利用角平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27756 \h 4
\l "_Tc17598" 【题型3 尺规作垂直平分线】 PAGEREF _Tc17598 \h 7
\l "_Tc10951" 【题型4 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc10951 \h 11
\l "_Tc13796" 【题型5 利用等腰三角形的性质求解】 PAGEREF _Tc13796 \h 15
\l "_Tc32335" 【题型6 尺规作等腰三角形】 PAGEREF _Tc32335 \h 17
\l "_Tc17269" 【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 PAGEREF _Tc17269 \h 22
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求解】
【例1】（2022春·山东淄博·七年级统考期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=ADB．AC平分∠BCD
C．AB=BDD．△BEC≌△DEC
【答案】A
【详解】解：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，故A成立，
∴AC平分∠BCD，BE=DE．故B成立，
∴∠BCE=∠DCE．
在Rt△BCE和Rt△DCE中，
∵BE=DE，BC=DC，
∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．故D成立，
没有可证明AB=BD的条件，故C不一定成立，
【变式1-1】（2022秋·江苏南通·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【答案】D
【分析】根据内角和定理求得∠BAC=95°，由中垂线性质知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，从而得出答案．
【详解】解：在△ABC中，∵∠B=55°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=95°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=65°，
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质以及等边对等角是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·山东泰安·七年级校考期末）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于________．
【答案】8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得：EA=EB，GA=GC，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：由AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，
∴EA=EB，GA=GC，
则△AGE的周长
=EA+GA+EG=EB+GC+EG
=BC=8，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1-3】（2022秋·湖北荆门·八年级校考期中）如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________.
【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可；
（3）根据（2）的方法解答．
【详解】（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC=DA，EC=EB，
∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，
∴DA+DE+EB=4，
即AB的长为4；
（2）∵∠ACB=100°，
∴∠A+∠B=80°，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，
∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DCE=100°-80°=20°；
（3）∵∠ACB=α，
∴∠A+∠B=180°-α，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，
∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=180°-α，
∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，
故答案为：2α-180°．
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 利用角平分线的性质求解】
【例2】（2022秋·天津河东·八年级校考期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴PA=PB，
∵在RtΔPAO和RtΔPBO中PA=PBOP=OP，
∴RtΔOPA≌RtΔOPB，
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，
∴PO平分∠APB，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵PA=PB，OA=OB，
∴OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故D错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明RtΔOPA≌RtΔOPB，是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋·四川自贡·八年级校考期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？
【答案】2:3:4
【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB:BC:AC=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．
【变式2-2】（2022秋·河南周口·八年级校考期中）如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=9，则两平行线AD与BC间的距离为_______．
【答案】18；
【分析】过点P作MN⊥AD，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】过点P作MN⊥AD
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E
∴AP⊥BP，PN⊥BC
∴PM=PE=9，PE=PN=9
∴MN=9+9=18
故答案为18．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
【变式2-3】（2022秋·北京·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=2，若△ABD的面积为5，求AB的长．
【答案】5
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE=DC=2，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=2，
∵△ABD的面积为5，
∴12AB⋅DE=5，
∴AB=5，
∴AB的长为5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【题型3 尺规作垂直平分线】
【例3】（2022秋·广西南宁·八年级统考期中）如图△ABC．
(1)尺规作图BC 边上的中线AD；
(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD与ΔABD的周长之差；
(3)直接写出ΔABC与ΔACD的面积之间的大小关系．
【答案】(1)见详解；
(2)3
(3)SΔABC=2SΔACD
【分析】（1）先作BC的垂直平分线找到D点，连接AD即可；
（2）根据中线得到BD=CD，直接用两周长作差即可得到答案；
（3）根据中线性质即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意分别以A，B为圆心大于12BC 为半径画圆弧交于两侧各一点，连接两点交BC于一点即为中点D，连接AD如图所示，
（2）解：∵AD是BC 边上的中线，
∴BD=CD，
CΔACD−CΔABD=AC+AD+CD−AB−AD−BD=AC−AB ，
∵AB=5，AC=8，
∴CΔACD−CΔABD=8−5=3
（3）解：由题意可得，
∵AD是BC 边上的中线，
∴SΔABC=2SΔACD ．
【点睛】本题考查三角形中线作法及三角形中线的性质，三角形中线分得线段相等及面积相等的两个三角形．
【变式3-1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市第九中学校考期中）如图，已知线段AB和点E且线段AB和线段EF关于直线CD对称，点A的对称点是点E．
（Ⅰ）用尺规作图画出直线CD；
（Ⅱ）画出点F．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（II）详见解析.
【分析】（Ⅰ）连接AE，作出AE的垂直平分线即可；
（Ⅱ）作出B点关于直线的对称点F即可．
【详解】解：
（Ⅰ）如图所示：连接AE，作出AE的垂直平分线CD，
直线CD即为所求；
（Ⅱ）如图所示：过B点作关于直线CD的垂线BO并延长，并在延长线上截取BO=FO，则点F即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图与轴对称变换，根据已知正确找出图形变化特点是解题关键．
【变式3-2】（2022春·广东深圳·七年级校考期末）按下列要求作图．
（1）尺规作图：如图1，已知直线及其两侧两点A、B，在直线l上求一点P，使A、B到P距离相等．
（2）在5×5的方格图2中画出两个不全等的腰长为5的等腰三角形，使它的三个顶点都在格点上．
【答案】见解析
【分析】(1)连接AB，线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，作AB的中垂线与直线l的交点就是点P；
(2)第一个三角形为等腰直角三角形，腰长就是五个小正方形的边长；直角边分别为3和4的直角三角形的斜边作为第二个等腰三角形的腰长.
【详解】解：（1）如图所示：
点P就是所求的点；
（2）如图所示：
△ABC和△DBC是满足条件的三角形．
【变式3-3】（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使得S△ABD=S△BCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据S△ABD=S△BCD，可以得到D点为AC的中点，则作AC的垂直平分线与AC的交点即为D点．
【详解】解：如图，点D为所求作的点．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，熟知三角形的中线可将三角形面积等分是解题的关键．
【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型4 尺规作角平分线】
【例4】（2022春·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知线段a及∠α．用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α（保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析
【分析】先作∠α的平分线得到12∠α，作射线BM，在射线BM上截取BC=a，在BC上方作∠NBM=∠α，∠TCB=12∠α，射线CT交BN于点A，即可作出△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角、作线段，属于中考常考题型，熟练掌握五种基本作图是解答的关键．
【变式4-1】（2022春·山西·七年级统考期末）如图，AD//BC，BE平分∠ABC．
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BE于点F；
（2）在（1）的条件下，ΔABF按角分类时，它是什么三角形，请说明理由．
【答案】（1）图见解析；（2）直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠AFB=90°即可得到结论．
【详解】解：（1）如图所示，AF即为所求
（2）ΔABF按角分类时，它是直角三角形．
理由如下：
∵BE，AF分别为∠ABC和∠BAD的平分线，
∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=12∠BAD．
∵AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°．
∴∠ABE+∠BAF=90°．
在ΔABF中，∠AFB=180°−∠ABF+∠BAF=90°．
∴ΔABF是直角三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及平行线的性质和角平分线的性质，关键是灵活运用它们的性质解决问题．
【变式4-2】（2022秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）如图，已知C、D是两个村庄，OA、OB为两条公路，现计划修建一个客运站P，使它到两个村庄的距离相等，且到两条公路的距离也相等，你能确定P点的位置吗？请在图中用尺规找到P的位置．
【答案】答案见解析
【分析】先连接CD，根据线段垂直平分线的性质作出线段CD的垂直平分线MN，再作出∠AOB的平分线OF，MN与OF相交于P点，则点P即为所求点．
【详解】点P为线段CD的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点，则点P到点C、D的距离相等，到AO、BO的距离也相等，
作图如下：
【点睛】此题考查角平分线性质与线段垂直平分线的性质作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，作∠ABC的角平分线交AC于点E，且AD、BE交于点O（保留作图痕迹）
（2）连接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值．
【答案】（1）见解析；（2）3：2：4
【分析】（1）依据题干要求作出图形即可；
（2）根据角平分线的性质可得△ABO中AB边上的高和△ACO中AC边上的高以及△BCO中BC边上的高相等，从而得到S△ABO:S△ACO:S△BCO的比值等于AB：AC：BC．
【详解】解：（1）如图，即为所作图形；
（2）∵AO平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴OC平分∠ACB，
∴点O到AB、BC和AC的距离相等，
即△ABO中AB边上的高和△ACO中AC边上的高以及△BCO中BC边上的高相等，
∵AB=6，BC=4，AC=8，
∴S△ABO:S△ACO:S△BCO=AB：AC：BC=6：4：8=3：2：4．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质得到三角形的高相等．
【题型5 利用等腰三角形的性质求解】
【例5】（2022秋·山东德州·八年级统考期中）已知∠AOB=45°，其内部有一点P，它关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质可得OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，继而可得OM=OP=ON, ∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，根据等腰直角三角形的判定即可求解．
【详解】∵点P关于OA、OB的对称点分别是M、N，
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴OM=OP=ON,
∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
∴△MON是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
【变式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年级校考期末）一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
【答案】15或18厘米
【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可.
【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，
∴第三边可能为4cm或7cm，
即三边为4、4、7或4、7、7，
求得周长分别为15cm,18cm,
故填15或18.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点.
【变式5-2】（2022春·全国·八年级期中）如图，在等边△ABC中AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为 ___________．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质可得AC=BC=AB=2，根据BD是AC边上的高线，可得AD=CD，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=2，
∵BD是AC边上的高线，
∴D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC，
∵CE=CD，
∴CE=12AC=1，
∴BE=BC+CE=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=12AC是正确解答本题的关键．
【变式5-3】（2022春·全国·八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
(1)若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
(2)若AB＝7，BC的长为5，求△CBD的周长．
【答案】(1)15°
(2)12
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=∠C=12×180°−50°=65°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=15°；
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴DB+DC=DA+DC=AC，
∵AB=AC=7，BC=5，
∴△CBD周长为12．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【题型6 尺规作等腰三角形】
【例6】（2022秋·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条．
【答案】4
【分析】分别以B、C为圆心，以AB、AC为半径画弧，作AB、AC的垂直平分线，即可得到答案.
【详解】解：如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角的性质.正确作图是解决本题的关键.
【变式6-1】（2022秋·广东广州·八年级统考期末）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为ℎ，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB＝a，△ABC的高为h；首先画一条射线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．
【详解】如图所示，
作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【变式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年级统考期中）(1)已知角a和线段c如图所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰长AB =" c," 要求仅用直尺和圆规作图,并保留作图痕迹. （不写作法）
(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面积.
【答案】（1）
；
（2）2．
【详解】试题分析：（1）可先作出2∠α的补角，即为等腰三角形的顶角，进而作出腰，在腰的同侧作出顶角，在顶角的另一边截取腰长，连接BC即可；
（2）易得此三角形为等腰直角三角形，腰长为2，利用面积公式可得三角形的面积．
考点：作图—复杂作图；三角形的面积；特殊角的三角函数值．
点评：得到顶角及度数是解决本题的关键．
【变式6-3】（2022秋·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校联考期中）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形ABC(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)．
(1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h；
(2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h．
【答案】(1)作图及理由见解析；
(2)作图及理由见解析．
【分析】（1）首先作线段BC=a，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接AB、CA即可．
（2）首先作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，再直线DE上取线段FC=h，然后AB=AC=a，连接AB、CB即可．
【详解】（1）解：
作法：1. 作线段BC=a，（如图1）
2.作线段BC的垂直平分线MN，最足为O，
3.在直线MN上取线段OA=h，
4.连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵线段BC的垂直平分线是MN，OA=h，
∴ AB=AC，△ABC的高为h，
∴△ABC为等腰三角形，
∵ BC=a，
∴△ABC是底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形；
（2）解：
作法：1. 作直线GH垂直于直线DE，垂足为F，（如图2）
2. 在直线DE上取线段FC=h，
3.以点C为圆心，a的长为半径画弧，交直线GH于点A，
4. 以点A为圆心，a的长为半径画弧，交射线AF于点B，
5.连接BC、AC，
△ABC为所求作的三角形；
理由：∵ AB=AC=a，
∴△ABC为等腰三角形，
∵直线GH垂直于直线DE，垂足为F，FC=h，
∴△ABC是腰长为a，腰上的高为h的等腰三角形；
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质．
【题型7 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】
【例7】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当BA=BC时，当AB=AC时，当CA=CB时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，
②当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，
③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，
综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式7-1】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．点P为直线CB上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点P的个数．
【详解】解：如图：
∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=180°−70°−40°=70°，
当∠CAP=∠CPA=35°时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP=∠APB=55°时，△BAP为等腰三角形；
当∠ABP=∠BAP=70°时，△BAP为等腰三角形；
当P与C重合时，△APB为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当∠ACP=∠CAP=70°时，△CAP为等腰三角形；
当∠PAC=∠APC=55°时，△CAP为等腰三角形；
当∠BAP=∠BPA=35°时，△BAP为等腰三角形；
综上，满足条件的点P的位置有8个．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定．
【变式7-2】（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个B．4个C．5个D．7个
【答案】A
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【详解】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，此时PA＝PB，共2个点符合条件；
②是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，此时AB＝AP，共2个点符合条件；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴符合条件的一共有：2＋2＋3−2＝5个点，
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