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北师大版七年级数学下册举一反三系列5.1轴对称【八大题型】同步学案(学生版+解析)
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这是一份北师大版七年级数学下册举一反三系列5.1轴对称【八大题型】同步学案(学生版+解析)，共22页。
专题5.1 轴对称【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc17185" 【题型1 轴对称的相关概念】 PAGEREF _Toc17185 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29244" 【题型2 轴对称图形的相关概念】 PAGEREF _Toc29244 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6724" 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】 PAGEREF _Toc6724 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6418" 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】 PAGEREF _Toc6418 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc13095" 【题型5 轴对称的操作应用】 PAGEREF _Toc13095 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28629" 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】 PAGEREF _Toc28629 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc28083" 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】 PAGEREF _Toc28083 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc6739" 【题型8 轴对称的实际应用】 PAGEREF _Toc6739 \h 8【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 4 个．【变式1-1】（2022秋•丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ．（填写序号）【变式1-2】（2022秋•香洲区期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 个．【变式1-3】（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 种补法．【变式2-1】（2022秋•来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（2022春•贵阳期末）如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 个．【变式2-3】（2022•南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋•仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】（2022秋•平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图①）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式3-2】（2022秋•嘉陵区期末）如图，它的对称轴有 条．【变式3-3】（2022•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春•二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）A．70625 B．70952 C．70925 D．52607【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（ ）A． B． C． D．【变式4-2】（2022春•李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．【变式4-3】（2022春•成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了 分钟．【题型5 轴对称的操作应用】【例5】2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【变式5-1】（2022春•锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）A． B． C． D．【变式5-2】（2022•诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A． B． C． D．【变式5-3】（2022•丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）A． B． C． D．【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）．AHHAAHHAAHHA…（1）仔细观察其中的变化规律．回答下列问题； ①第100个字母是什么？②图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【变式6-1】（2022秋•连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． 【变式6-2】（2022秋•海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形 ．【变式6-3】（2022•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）A．2000个 B．1000个 C．200个 D．100个【题型7 与轴对称相关的开放性问题】【例7】（2022秋•沧州期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【变式7-1】（2022春•衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形．【变式7-2】（2022春•炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．【变式7-3】（2022春•盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形．【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022•浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）A．① B．② C．⑤ D．⑥【变式8-1】（2022•汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【变式8-2】（20202春•兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次． 专题5.1 轴对称【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc17185" 【题型1 轴对称的相关概念】 PAGEREF _Toc17185 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29244" 【题型2 轴对称图形的相关概念】 PAGEREF _Toc29244 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6724" 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】 PAGEREF _Toc6724 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc6418" 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】 PAGEREF _Toc6418 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13095" 【题型5 轴对称的操作应用】 PAGEREF _Toc13095 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc28629" 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】 PAGEREF _Toc28629 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28083" 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】 PAGEREF _Toc28083 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc6739" 【题型8 轴对称的实际应用】 PAGEREF _Toc6739 \h 13【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 4 个．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4．【变式1-1】（2022秋•丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ② ．（填写序号）【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第②个图形为轴对称图形．故答案为：②．【变式1-2】（2022秋•香洲区期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 5 个．【分析】解答此题首先找到对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故答案为：5．【变式1-3】（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．所以与△ABC成轴对称的格点三角形最多有6个．故选：D．【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 4 种补法．【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图所示：故共有4种补法．故答案为：4．【变式2-1】（2022秋•来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：B、H是轴对称图形，共2个．【变式2-2】（2022春•贵阳期末）如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 4 个．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．【变式2-3】（2022•南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种，【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋•仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、有5条对称轴，不符合题意；B、C不是轴对称图形，不符合题意；D、有6条对称轴，符合题意．故选：D．【变式3-1】（2022秋•平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图①）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：如图所示：其对称轴有2条．【变式3-2】（2022秋•嘉陵区期末）如图，它的对称轴有 2 条．【分析】根据轴对称图形的概念作出对称轴即可得解．【解答】解：如图，共有2条对称轴．故答案为：2．【变式3-3】（2022•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．【解答】解：其对称轴共有4条，【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春•二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）A．70625 B．70952 C．70925 D．52607【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|70625，【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称的性质判断即可．【解答】解：镜子里的影像与原来的图形成轴对称，【变式4-2】（2022春•李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51 ．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．故答案为：12：51．【变式4-3】（2022春•成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了 48 分钟．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据对面镜子里的挂钟是7点过5分，∴根据镜面对称得出：分针指在5上与11对称，时针指在7上与5对称，∴故实际时间是4：55，∴小明在外边待了：55﹣7＝48分钟．故答案为：48．【题型5 轴对称的操作应用】【例5】2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【分析】动手操作可得结论．【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．【变式5-1】（2022春•锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．【解答】解：由题意可得，展开后的图形呈轴对称，【变式5-2】（2022•诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】动手操作可得结论．【解答】解：重新展开后得到的图形是：【变式5-3】（2022•丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）A． B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【解答】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）．AHHAAHHAAHHA…（1）仔细观察其中的变化规律．回答下列问题； ①第100个字母是什么？②图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【分析】（1）①仔细观察可得四个字母一个循环，从而可得第100个字母；②每个循环有2个A，求出循环数，即可得出A出现的次数；（2）根据轴对称的性质可得至少4个字母可构成一次轴对称，再由循环数为4，可得字母个数为4n（n≥1）时，能构成轴对称．【解答】解：（1）通过观察可得：4个字母一个循环，则第100个字母是25个循环刚结束，即第100个字母是A；②20144=503…2，则A出现503×2+1＝1007；（2）仔细观察可得：至少取4个字母能构成一次轴对称，字母个数为4n（n≥1）时，能构成轴对称．【变式6-1】（2022秋•连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． 【分析】观察图形规律，可得空白处应该为字母E和它的轴对称图形，作出图形即可．【解答】解：如图所示：．【变式6-2】（2022秋•海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形 正反写的4和6 ．【分析】根据图中所给的数字，从对称性来分析：分别是正反写的4和正反写的6．【解答】解：图形为正反写的4和正反写的6．【变式6-3】（2022•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）A．2000个 B．1000个 C．200个 D．100个【分析】分情况讨论：若以8开头，第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，得出有多少种情况．同样求出以9开头的数量．【解答】解：根据题意：若以8开头，则第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．同样，以9开头的也是有100种情况，所以共有200个．【题型7 与轴对称相关的开放性问题】【例7】（2022秋•沧州期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【分析】根据轴对称图形的概念，平移和旋转即可作出图形．【解答】解：拼法如下：【变式7-1】（2022春•衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念、结合实际解答．【解答】解：【变式7-2】（2022春•炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：答案不唯一，（1）（2）【变式7-3】（2022春•盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022•浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）A．① B．② C．⑤ D．⑥【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．【解答】解：如图，求最后落入①球洞；【变式8-1】（2022•汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是1号袋，【变式8-2】（20202春•兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断．【解答】解：根据图形可得总共反射了7次．【变式8-3】（2022秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
专题5.1 轴对称【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc17185" 【题型1 轴对称的相关概念】 PAGEREF _Toc17185 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29244" 【题型2 轴对称图形的相关概念】 PAGEREF _Toc29244 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6724" 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】 PAGEREF _Toc6724 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6418" 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】 PAGEREF _Toc6418 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc13095" 【题型5 轴对称的操作应用】 PAGEREF _Toc13095 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28629" 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】 PAGEREF _Toc28629 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc28083" 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】 PAGEREF _Toc28083 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc6739" 【题型8 轴对称的实际应用】 PAGEREF _Toc6739 \h 8【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 4 个．【变式1-1】（2022秋•丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ．（填写序号）【变式1-2】（2022秋•香洲区期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 个．【变式1-3】（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 种补法．【变式2-1】（2022秋•来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（2022春•贵阳期末）如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 个．【变式2-3】（2022•南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋•仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（ ）A． B． C． D．【变式3-1】（2022秋•平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图①）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式3-2】（2022秋•嘉陵区期末）如图，它的对称轴有 条．【变式3-3】（2022•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春•二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）A．70625 B．70952 C．70925 D．52607【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（ ）A． B． C． D．【变式4-2】（2022春•李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．【变式4-3】（2022春•成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了 分钟．【题型5 轴对称的操作应用】【例5】2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【变式5-1】（2022春•锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）A． B． C． D．【变式5-2】（2022•诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A． B． C． D．【变式5-3】（2022•丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）A． B． C． D．【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）．AHHAAHHAAHHA…（1）仔细观察其中的变化规律．回答下列问题； ①第100个字母是什么？②图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【变式6-1】（2022秋•连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． 【变式6-2】（2022秋•海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形 ．【变式6-3】（2022•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）A．2000个 B．1000个 C．200个 D．100个【题型7 与轴对称相关的开放性问题】【例7】（2022秋•沧州期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【变式7-1】（2022春•衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形．【变式7-2】（2022春•炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．【变式7-3】（2022春•盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形．【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022•浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）A．① B．② C．⑤ D．⑥【变式8-1】（2022•汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【变式8-2】（20202春•兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次． 专题5.1 轴对称【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc17185" 【题型1 轴对称的相关概念】 PAGEREF _Toc17185 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29244" 【题型2 轴对称图形的相关概念】 PAGEREF _Toc29244 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6724" 【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】 PAGEREF _Toc6724 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc6418" 【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】 PAGEREF _Toc6418 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13095" 【题型5 轴对称的操作应用】 PAGEREF _Toc13095 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc28629" 【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】 PAGEREF _Toc28629 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28083" 【题型7 与轴对称相关的开放性问题】 PAGEREF _Toc28083 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc6739" 【题型8 轴对称的实际应用】 PAGEREF _Toc6739 \h 13【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 4 个．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4．【变式1-1】（2022秋•丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是 ② ．（填写序号）【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第②个图形为轴对称图形．故答案为：②．【变式1-2】（2022秋•香洲区期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 5 个．【分析】解答此题首先找到对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故答案为：5．【变式1-3】（2022秋•江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．所以与△ABC成轴对称的格点三角形最多有6个．故选：D．【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 4 种补法．【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．【解答】解：如图所示：故共有4种补法．故答案为：4．【变式2-1】（2022秋•来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：B、H是轴对称图形，共2个．【变式2-2】（2022春•贵阳期末）如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 4 个．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故答案为：4．【变式2-3】（2022•南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种，【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋•仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、有5条对称轴，不符合题意；B、C不是轴对称图形，不符合题意；D、有6条对称轴，符合题意．故选：D．【变式3-1】（2022秋•平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图①）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：如图所示：其对称轴有2条．【变式3-2】（2022秋•嘉陵区期末）如图，它的对称轴有 2 条．【分析】根据轴对称图形的概念作出对称轴即可得解．【解答】解：如图，共有2条对称轴．故答案为：2．【变式3-3】（2022•梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（ ）A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可．【解答】解：其对称轴共有4条，【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春•二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）A．70625 B．70952 C．70925 D．52607【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|70625，【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称的性质判断即可．【解答】解：镜子里的影像与原来的图形成轴对称，【变式4-2】（2022春•李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51 ．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．故答案为：12：51．【变式4-3】（2022春•成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了 48 分钟．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据对面镜子里的挂钟是7点过5分，∴根据镜面对称得出：分针指在5上与11对称，时针指在7上与5对称，∴故实际时间是4：55，∴小明在外边待了：55﹣7＝48分钟．故答案为：48．【题型5 轴对称的操作应用】【例5】2022•六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形【分析】动手操作可得结论．【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．【变式5-1】（2022春•锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】根据轴对称的知识可以解答本题．【解答】解：由题意可得，展开后的图形呈轴对称，【变式5-2】（2022•诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）A． B． C． D．【分析】动手操作可得结论．【解答】解：重新展开后得到的图形是：【变式5-3】（2022•丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（ ）A． B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【解答】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）．AHHAAHHAAHHA…（1）仔细观察其中的变化规律．回答下列问题； ①第100个字母是什么？②图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【分析】（1）①仔细观察可得四个字母一个循环，从而可得第100个字母；②每个循环有2个A，求出循环数，即可得出A出现的次数；（2）根据轴对称的性质可得至少4个字母可构成一次轴对称，再由循环数为4，可得字母个数为4n（n≥1）时，能构成轴对称．【解答】解：（1）通过观察可得：4个字母一个循环，则第100个字母是25个循环刚结束，即第100个字母是A；②20144=503…2，则A出现503×2+1＝1007；（2）仔细观察可得：至少取4个字母能构成一次轴对称，字母个数为4n（n≥1）时，能构成轴对称．【变式6-1】（2022秋•连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． 【分析】观察图形规律，可得空白处应该为字母E和它的轴对称图形，作出图形即可．【解答】解：如图所示：．【变式6-2】（2022秋•海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形 正反写的4和6 ．【分析】根据图中所给的数字，从对称性来分析：分别是正反写的4和正反写的6．【解答】解：图形为正反写的4和正反写的6．【变式6-3】（2022•日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（ ）A．2000个 B．1000个 C．200个 D．100个【分析】分情况讨论：若以8开头，第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，得出有多少种情况．同样求出以9开头的数量．【解答】解：根据题意：若以8开头，则第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有10×10＝100种情况．同样，以9开头的也是有100种情况，所以共有200个．【题型7 与轴对称相关的开放性问题】【例7】（2022秋•沧州期中）用四块如图①所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图②、图③中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【分析】根据轴对称图形的概念，平移和旋转即可作出图形．【解答】解：拼法如下：【变式7-1】（2022春•衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念、结合实际解答．【解答】解：【变式7-2】（2022春•炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．【解答】解：答案不唯一，（1）（2）【变式7-3】（2022春•盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022•浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（ ）A．① B．② C．⑤ D．⑥【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．【解答】解：如图，求最后落入①球洞；【变式8-1】（2022•汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（ ）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是1号袋，【变式8-2】（20202春•兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（ ）次．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断．【解答】解：根据图形可得总共反射了7次．【变式8-3】（2022秋•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
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