苏科版八年级数学下册专题13.10期末复习之解答压轴题专项训练同步学案(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题13.10期末复习之解答压轴题专项训练同步学案(学生版+解析)，共85页。

考点1
中心对称图形—平行四边形解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期末）如图，已知正方形ABCD，将它绕点A逆时针旋转α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．
(1)求证：AH平分∠BHE；
(2)当A、E、C在同一条直线上时，
①求证：A、B、F共线；
②求BH长．
(3)当D、B、F在同一直线上时直接写出∠FAB的度数．
2．（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）如图1，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作▱EBFH．
(1)证明：平行四边形EBFH是菱形；
(2)如图2，若∠ABC=60°，连接HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
(3)如图3，若∠ABC=90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB=10，AD=6，M是EF的中点，求CMCF的值．
3．（2022春·江苏·八年级期末）【问题背景】在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当∠CQE=50°时，∠AQB= ______．②若点E恰好在线段QD上，则BQ的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边AD上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕PQ；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．请根据题意，补全图③并证明四边形PBFE是菱形；
③在②的条件下，当AE=3时，菱形PBFE的边长为___________，BQ的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若DQ⊥PQ，连接DE．当△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形时，求BQ的长．
4．（2022春·江苏徐州·八年级统考期末）已知菱形ABCD与菱形CEFG，∠B+∠G=180°，连接AF、DM、EM，点M是AF的中点．
(1)如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM、EM的位置关系______；
(2)如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)将图1中的菱形CEFG绕点C旋转，当两个菱形的对角线AC、CF在一条直线上时，请画出示意图，判断到点D、M、C、E距离相等的点共有______个．
5．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
在正方形ABCD中，点E是射线AB上一个动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，连接BF．
(1)如图1．点E在线段AB上．
①已知AE=1，求点F到直线AB的距离；
②直接写出：∠FBN= °；
③连接DF，点M为DF的中点，若正方形ABCD的边长为18，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为 ；
(2)当点E在点B的右侧，且点P在DA的延长线上时，存在某一位置使四边形CPEF为菱形．
①请在图2中画出示意图：
②若正方形的边长为6，求出此时DP的长．
6．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）如图1所示，平行四边形ABCD是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若AB=1.3km，AC=2km，BD=2.6km，你能判断△AOB的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O，B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时AC⊥BD，AC=6km，BD=3km，BM=ON，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图1，直线y=35x+4与x轴交于点P，与y轴交于点Q，点M在线段PQ上，以MQ为对角线作正方形MNQK，点K刚好落在线段OP上．
(1)求正方形MNQK的边长；
(2)如图2，将正方形MNQK沿着x轴负方向平移得到正方形ABCD，当边AB刚好经过点M时，求平移的距离；
(3)若点E在坐标轴上，点F在直线PQ上，是否存在以点M、K、E、F为顶点且以MK为边的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°．
考点2
分式解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏·八年级期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值．
2．（2022春·江苏·八年级期末）已知：M=x+22，N=4xx+2．
(1)当x>0时，判断M−N与0的关系，并说明理由；
(2)设y=16xM2+N2时，若x是正整数，求y的正整数值．
3．（2022春·江苏·八年级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式M=xx+1，N=1x+1，M+N=x+1x+1=1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k=1．
(1)已知分式A=x−7x−2，B=x2+6x+9x2+x−6，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C=3x−4x−2，D=Gx2−4，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式P=3x−5x−3，Q=mx−33−x，且P+Q=t，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
4．（2022春·江苏·八年级期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，若x无限增大，则1x无限接近于0；当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：2x+1x−2=2x−4+4+1x−2=2(x−2)+5x−2=2(x−2)x−2+5x−2=2+5x−2;
根据上述材料完成下列问题：
(1)当x>0时，随着x的增大，2+1x的值 (增大或减小)；当x<0时，随着x的增大，3x+1x的值 （增大或减小）；
(2)当x>−3时，随着x的增大，2x+8x+3的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当05．（2022春·江苏·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①x−1x+1；②a−2ba2−b2；③x+yx2−y2，其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
(2)若a为整数，且−x−1x2+ax+4为“和谐分式”，写出满足条件的a的值为 ；
(3)在化简4a2ab2−b3−ab÷b4时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式=4a2ab2−b3−ab⋅4b=4a2ab2−b3−4ab2=4a2b2−4a(ab2−b3)(ab2−b3)b2，
小娟：原式=4a2ab2−b3−ab⋅4b=4a2b2(a−b)−4ab2=4a2−4a(a−b)b2(a−b)，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
6．（2022秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率=利润成本×100%）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
7．（2022春·江苏·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
8．（2022春·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校考期末）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
9．（2022·江苏南京·八年级统考期末）在计算x+3x+2+2−xx2−4的过程中，三位同学给出了不同的方法：
甲同学的解法：原式=(x+3)(x−2)x2−4−x−2x2−4=x2+x−6−x−2x2−4=x2−8x2−4；
乙同学的解法：原式=x+3x+2−x−2(x+2)(x−2)=x+3x+2−1x+2=x+3−1x+2=1；
丙同学的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．
（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
考点3
反比例函数解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）如图1，已知反比例函数y=kxk≠0的图像与一次函数y=x−1的图像相交于A2,a，Bb,−2两点．
(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数y=kx的图像上有P，Q两点，点P的横坐标为mm>2，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接AP，AQ，BP，BQ．是否存在这样的m使得△ABQ的面积与△ABP的面积相等，若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．
2．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，P在反比例函数y=16x的图象上，AP、BP分别是△OAB的两条外角平分线．
(1)求点P的坐标；
(2)如图2，看OA=OB，则：
①∠P的度数为________；
②求出此时直线AB的函数关系式；
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+n，且03．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数y=kxx>0的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
(1)求AFEC的值；
(2)若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
5．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知A−1,0，B0,−2，平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y=kx(k为常数，k≠0)上经过C、D两点．
(1)求k的值；
(2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图像于点M，交反比例函数y=−32xx<0的图像于点N，当FM=FN时，求G点坐标；
(3)点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1=kx(k>0)的图像与正比例函数y2=mx(m>0)的图像交于点A、点C，与正比例函数y3=nx(n>0)的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t(0(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作AE⊥x轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数y2=mx(m≠0)．
(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断△ABO的形状，并说明理由；
③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．
(2)当k=2，m=4，过点P(s，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．
8．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，直线y=x+b与双曲线y=kx（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A(2，4)，且与x轴，y轴分别交于B，C两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点P在坐标轴上，且△BCP的面积等于8，求P点的坐标；
(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．
9．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）平面直角坐标系中，直线y=2x+2交双曲线y=kx(x>0)于点M，点M的纵坐标是4．
①求k的值；
②如图 1，正方形ABCD的顶点C、D在双曲线y=kxx>0上，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，求点D的坐标；
（2）平面直角坐标系中，如图 2，C点在x轴正半轴上，四边形ABCO为直角梯形，AB∥CO，∠OCB=90°，OC=CB，D为CB边的中点，∠AOC=∠OAD，反比例函数的y=mxx>0图像经过点A，且S△OAD=60，求m的值．
10．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线y=kx的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
考点4
二次根式解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）我们称长与宽之比为2:1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为2，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现______；
(3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为326，则m＝______．
2．（2022春·江苏·八年级期末）我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为ab（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ；
A．a+mb+m>ab B．a+mb+m=ab C．a+mb+m②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为Sx，周长为2x+Sx，当矩形为正方形时，周长为4S，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ；
A．2x+Sx≥4S B．2x+Sx=4S C．2x+Sx≤4S
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：x=x2，Sx=Sx2）
3．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）已知m,n是两个连续的正整数，m4．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期末）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简12−1．
解：将分子、分母同乘以2+1得：12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1．
类比应用：
（1）化简：123−11= ；
（2）化简：12+1+13+2+⋯+19+8= ．
拓展延伸：
宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
（1）当a、b、m、n为正整数时，若a+3b=(3m+n)2，请用含有m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）填空：13−43=( - 3)2；
（3）若a+65=(m+5n)2，且a、m、n为正整数，求a的值.
7．（2022春·江苏·八年级期末）像(5+2)(5﹣2)＝1、a•a＝a(a≥0)、(b+1)(b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，5与5，2 +1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：233；
(2)计算：12−3+13−2；
(3)比较2018−2017与2017−2016的大小，并说明理由．
8．（2022春·江苏·八年级期末）观察下列等式：
①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2；③14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3；……
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：123+22
（2）计算： 11+2+12+3+13+4+……+199+100
9．（2022春·江苏·八年级期末）定义fx=13x2+2x+1+3x2−1+3x2−2x+1，求f(1)+f(3)…+f(2k−1)+…+f(999)的值.x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
1x
…
−0.25
−0.3·
−0.5
−1
无意义
1
0.5
0.3·
0.25
…
专题13.10 期末复习之解答压轴题专项训练
【苏科版】
考点1
中心对称图形—平行四边形解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考期末）如图，已知正方形ABCD，将它绕点A逆时针旋转α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．
(1)求证：AH平分∠BHE；
(2)当A、E、C在同一条直线上时，
①求证：A、B、F共线；
②求BH长．
(3)当D、B、F在同一直线上时直接写出∠FAB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)15°
【分析】（1）根据题意可得AB=AE，∠B=∠AEH=90°，通过证明Rt△ABH≌Rt△AEHHL可得到∠BHA=∠EHA，从而即可得证；
（2）①根据题意可得∠HEA=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，从而可得到∠FHB=45°，∠BFH=45°，根据三角形内角和定理可得∠FBH=90°，由∠FBH+∠ABH=180°即可得证；②连接AH，同（1）可证明Rt△ABH≌Rt△AEHHL得到BH=EH，设BH=x，则HE=BH=x，CH=2−x，由HE2+CE2=CH2，x2+22−22=2−x2，解方程即可得到答案；
（3）连接AC、CE、CF，通过证明△FAB≌△CAESAS和△ABF≌△FECSAS，可以得到△ACF为等边三角形，从而即可得到∠FAB=∠CAF−∠CAB=60°−45°=15°．
【详解】（1）证明：连接AH，
根据题意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
AB=AEAH=AH，
∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL，
∴∠BHA=∠EHA，
∴ AH平分∠BHE；
（2）解：根据题意画出图如图所示：
①证明：根据题意可得：
∠HEA=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠FHB=∠CHE=90°−∠BCA=90°−45°=45°，∠AFE=90°−∠BAC=90°−45°=45°，
∵∠BFH+∠FHB+∠FBH=180°，
∴∠FBH=90°，
∵∠FBH+∠ABH=180°，
∴A、B、F三点共线；
②连接AH，
根据题意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
AB=AEAH=AH，
∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL，
∴BH=EH，
∵AB=2，
∴AC=22，CE=AC−AE=22−2，
设BH=x，则HE=BH=x，CH=2−x，
∵HE2+CE2=CH2，
∴x2+22−22=2−x2，
解得：x=22−2，
∴BH=22−2；
（3）解：根据题意画出图如图所示：
连接AC、CE、CF，
由题意可得：AC=AF，AB=AE=EF，∠ABD=45°，
∴∠ABF=180°−∠ABD=180°−45°=135°，
∵∠FAB+∠BAE=45°，∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠FAB=∠CAE，
在△FAB和△CAE中，
AF=AC∠FAB=∠CAEAB=AE，
∴△FAB≌△CAESAS，
∴∠AEC=∠ABF=135°，CE=BF，
∵∠AEC+∠FEC+∠AEF=360°，∠AEF=90°，
∴∠FEC=135°，
在△ABF和△FEC中，
AB=BC∠ABF=∠FECBF=EC，
∴△ABF≌△FECSAS，
∴FC=AF=AC，
∴△ACF为等边三角形，
∴∠CAF=60°，
∴∠FAB=∠CAF−∠CAB=60°−45°=15°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
2．（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）如图1，在▱ABCD中，∠ADC的平分线交AB于点E，交CB的延长线于F，以BE、BF为邻边作▱EBFH．
(1)证明：平行四边形EBFH是菱形；
(2)如图2，若∠ABC=60°，连接HA、HB、HC、AC，求证：△ACH是等边三角形．
(3)如图3，若∠ABC=90°．
①直接写出四边形EBHF的形状；
②已知AB=10，AD=6，M是EF的中点，求CMCF的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①菱形EBFH为正方形；②CMCF=75．
【分析】（1）证明∠HEF=∠HFE，则EH=FH，即可求解；
（2）证明四边形DCFG为菱形，则△DGC、△CGF均为等边三角形；证明△CAG≌△CHFSAS，则CA=CH，再证明∠ACH=60°，即可求解；
（3）①∠ABC=90°，则平行四边形ABCD为矩形，菱形EBFH为正方形；
②MN=2=BN，CN=BC+NB，则CM=CN2+MN2，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠CDE=∠ADE，
∵CD∥AB，AB∥HF，
∴∠CDE=∠AED=∠HFE，
∵AD∥BC，
∴∠EDA=∠FEH，
∴∠HEF=∠HFE，
∴EH=FH，
∴▱EBFH为菱形；
（2）证明：延长DA交FH的延长线于点G，连接CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，故CD∥AB，AD∥BC，
而四边形EBFH为菱形，故EB∥HF，
∴DG∥CF，CD∥FG，
∴四边形DCFG为平行四边形，
∵DE是∠ADC的角平分线，
∵∠CDF=∠GDF，
∴CD∥GF，
∴∠CDF=∠GFD=∠GDF，
∴DG=GF，
∴平行四边形DCFG为菱形，
∵∠ABC=60°，
∴△DGC、△CGF均为等边三角形，
∴∠CGD=∠CGF=60°，CG=CF，
同理可得：四边形AEHG为平行四边形，故AG=EH=HF，
在△CAG和△CHF中，CG=CF，AG=HF，∠CGD=∠CGF=60°，
∴△CAG≌△CHFSAS，
∴CA=CH，∠ACG=∠HCF，
∵∠ACH=∠ACG+∠GCH=∠GCH+∠HCF=60°，
∴△ACH是等边三角形；
（3）解：①∠ABC=90°，则平行四边形ABCD为矩形，
∴菱形EBFH为正方形；
②由（1）知△ADE为等腰直角三角形，故AE=AD=6，则BE=10−6=4，
连接BH，过点M作MN⊥BF于点N，
∵M是EF的中点，故点M时正方形EBFH对角线的交点，
则MN=12EB=12×4=2=BN，
则CN=BC+NB=6+2=8，CF=BC+BF=6+4=10
∴CM=CN2+MN2=82+22=217．
∴CMCF=2710=75．
【点睛】本题是几何综合题，考查了勾股定理、等边三角形、三角形全等、平行四边形和特殊四边形的判定与性质等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．
3．（2022春·江苏·八年级期末）【问题背景】在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
（1）如图①，折痕的端点P与点A重合．
①当∠CQE=50°时，∠AQB= ______．②若点E恰好在线段QD上，则BQ的长为_______．
【深入思考】
（2）点E恰好落在边AD上．
①请在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕PQ；（不写作法，保留作图痕迹）
②如图③，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．请根据题意，补全图③并证明四边形PBFE是菱形；
③在②的条件下，当AE=3时，菱形PBFE的边长为___________，BQ的长为_______．
【拓展提升】
（3）如图④，若DQ⊥PQ，连接DE．当△DEQ是以DQ为腰的等腰三角形时，求BQ的长．
【答案】（1）①65°；②2；（2）①见解析；②见解析；③154；152；（3）BQ的长为345或203．
【分析】（1）①根据折叠的性质直接计算即可；
②根据折叠可知，AB=AE=6，∠ABQ=∠AEQ=90°，BQ=QE，根据勾股定理求出DE=AD2−AE2=102−62=8，根据勾股定理得出8+QE2=62+10−QE2，求出结果即可；
（2）①连接BE，作BE的垂直平分线交AB于点P，交BC于点Q，则PQ即为所求；
②先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；
③根据勾股定理列出方程求解即可；
（3）分两种情况：当DQ=EQ时，当DE=DQ时，过点D作DF⊥EQ于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可．
【详解】解：（1）①根据折叠可知，∠AQB=∠AQE，
∵∠CQE=50°，
∴∠AQB=12180°−50°=65°；
故答案为：65°；
②根据折叠可知，AB=AE=6，∠ABQ=∠AEQ=90°，BQ=QE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，DC=AB=6，
∴DE=AD2−AE2=102−62=8，
在Rt△CDQ中，根据勾股定理得：QC2+CD2=QD2，
即8+QE2=62+10−QE2，
解得：QE=2，
∴BQ=QE=2；
故答案为：2；
（3）①连接BE，作BE的垂直平分线交AB于点P，交BC于点Q，则PQ即为所求；如图所示：
②∵EF∥AB，
∴∠BPF=∠EFP，
由折叠可知，PB=PE，∠BPF=∠EPF，
∴∠EFP=∠EPF，
∴PE=EF，
∴PB=EF，
∴四边形PBFE为平行四边形，
∵PE=EF，
∴四边形PBFE为菱形；
③由折叠可知，PB=PE，
∵AB=6，
∴AP=6−PE，
在Rt△APE中，PE2=AP2+AE2，
即PE2=6−PE2+32，
解得：PE=154，
∴菱形PBFE的边长为154；
由折叠可知，EQ=BQ，
∵AE=3，
∴BG=3，
在Rt△EGQ中，EQ2=EG2+GQ2，
即BQ2=62+BQ−32，
解得：BQ=152；
故答案为：154；152；
（3）由折叠可知，BQ=EQ，设BQ=m，则EQ=m，CQ=10−m，
当DQ=EQ时，在Rt△CDQ中，62+10−m2=m2，
解得：m=345，
∴此时BQ=345；
当DE=DQ时，过点D作DF⊥EQ于点F，如图所示：
∴FQ=12EQ=12m，
由折叠可知，∠PQB=∠PQE，
∵DQ⊥PQ，
∴∠PQB+∠CQD=90°=∠PQE+∠FQD，
∴∠CQD=∠FQD，
∴△CDQ≌△FDQAAS，
∴CQ=FQ，
∴10−m=12m，
解得：m=203，
∴此时BQ=203；
综上分析可知，BQ的长为345或203．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论．
4．（2022春·江苏徐州·八年级统考期末）已知菱形ABCD与菱形CEFG，∠B+∠G=180°，连接AF、DM、EM，点M是AF的中点．
(1)如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM、EM的位置关系______；
(2)如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)将图1中的菱形CEFG绕点C旋转，当两个菱形的对角线AC、CF在一条直线上时，请画出示意图，判断到点D、M、C、E距离相等的点共有______个．
【答案】(1)DM⊥EM
(2)仍然成立，证明见解析
(3)2
【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△AMH≌△FMEASA，得AH=EF，MH=ME，从而得DH=DE，即可由等腰三角形“三线合一”得出结论；
（2）延长EM，交DA延长线于H，仿（1）同理可得出结论；
（3）画出图形，由图直接得出结论．
【详解】（1）解：延长EM交AD于H，如图1，
∵菱形ABCD
∴AD=CD，AD∥BC，AD∥BC，
∴∠B+∠BCD=180°，
∵菱形CEFG，
∴EF=CE，CG∥EF，CE∥GF，
∴∠G+∠GCE=180°，
∵∠B+∠G=180°，
∴∠BCE+∠GCE=180°，
∴B、C、E三点共线，
∴AD∥EF，
∴∠MAH=∠MFE，
∵点M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△AMH与△FME中，
∠MAH=∠MFEAM=FM∠AMH=∠FME，
∴△AMH≌△FMEASA
∴AH=EF，MH=ME，
∴AH=CE，
∴AD−AH=CD−CE，即DH=DE，
∴DM⊥EM．
（2）解：仍然成立，
如图，延长EM，交DA延长线于H，
在菱形ABCD与菱形CEFG中，AD∥BC，GC∥EF，AD=DC，CE=EF
∵点G在BC上，
∴EF∥CG∥AD，
∴∠MAH=∠MFE，∠H=∠MEF
∵M是AF中点，
∴AM=FM，
∴△AMH≌△FME(AAS)，
∴AH=EF，HM=EM，
∵CE=EF，
∴AH=CE
∵AD=CD，
∴AD+AH=CD+CE，即DH=DE，
∵HM=EM，
∴DM⊥EM；
（3）解：当CF在AC延长线上时，如图１，
则DE的中点N1到点D、M、C、E距离相等；
当CF在线段AC上时，如图2，
则DE的中点N2到点D、M、C、E距离相等；
∴点D、M、C、E距离相等的点共有2个．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形性质，等腰三角形“三线合一”性质，熟练掌握这些性质用运用是解题的关键．
5．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
在正方形ABCD中，点E是射线AB上一个动点，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，连接BF．
(1)如图1．点E在线段AB上．
①已知AE=1，求点F到直线AB的距离；
②直接写出：∠FBN= °；
③连接DF，点M为DF的中点，若正方形ABCD的边长为18，直接写出：在点E从点A运动到点B的过程中，点M所经过的路径长为 ；
(2)当点E在点B的右侧，且点P在DA的延长线上时，存在某一位置使四边形CPEF为菱形．
①请在图2中画出示意图：
②若正方形的边长为6，求出此时DP的长．
【答案】(1)①1；②45°；③3；
(2)①图见详解；②12；
【分析】（1）①过F作FH⊥AN，易得△ADE≌△HEF即可得到答案；②由①可得BH=AE=HF，即可得到答案；③连接AC、BD交于一点根据正方形的对角线互相垂直平分且相等即可得到是中点，延长DC至H使DC=CH，根据三角形中位线可得点M的移动轨迹为线段MC，结合勾股定理即可得到答案；
（2）①根据菱形性质可得，AE垂直平分DP即可找到点P，连接PC，以P为圆心PC长为半径画圆交AN于E，再分别以E，C为圆心PC长为半径画圆交于一点即为F点，即可得到答案；
②根据①的作图直接求解即可得到答案；
【详解】（1）① 解：过F作FH⊥AN，
∵四边形ABCD是正方形，DE绕点E顺时针旋转90°到EF，FH⊥AN，
∴∠A=∠FHE=90°，∠ADE+∠DEA=90°，∠HEF+∠DEA=90°，DE=FE，
∴∠ADE=∠HEF，
在△ADE与△HEF中，
∠ADE=∠HEF∠A=∠FHEDE=FE，
∴△ADE≌△HEF(AAS)，
∴FH=AE=1；
② ∵△ADE≌△HEF，
∴∠EH=AD=AB，
∵FH=AE=1，
∴BH=AE=HF，
∵FH⊥AN，
∴∠FBN=45°；
③ 连接AC、BD交于一点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
即交点为M点，DM=BM，
延长DC至H使DC=CH，连接BH，
∵DM=BM，DC=CH，
∴CM∥BH，CM=12BH，
∴点M的移动轨迹为线段MC，
根据勾股定理可得，CM=12×(18)2+(18)2=3，
故答案为3；
（2）解：∵四边形CPEF为菱形，
∴PE=PC=FC=FE=DE，
∴AE垂直平分DP，以A为圆心AD为半径找到点P，连接PC，以P为圆心PC长为半径画圆交AN于E，再分别以E，C为圆心PC长为半径画圆交于一点即为F点，如图所示；
②由①得，
AD=AP，
∵正方形的边长为6，
∴DP=2×6=12；
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的性质与判定，解题的关键是根据题意作出辅助线找到相应点．
6．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）如图1所示，平行四边形ABCD是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若AB=1.3km，AC=2km，BD=2.6km，你能判断△AOB的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在OD上，且BM=ON（点M与点O，B不重合），并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时AC⊥BD，AC=6km，BD=3km，BM=ON，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
【答案】(1)△AOB是等腰三角形，理由见解析
(2)0.6km2
(3)617+6万元
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出OA，OB，进而可得AB=OB≠OA，则△AOB是等腰三角形；
（2）根据已知条件可得S△COM=S△AOM，从而S△AON+S△COM的值转化为求SΔAMN=14S▱ABCD的值即可；
（3）如图所示，过点M作MP∥AN，过点A作AP∥MN交MP于P，则四边形APMN是平行四边形，AN=PM，AP=MN，同理可得OB=12BD=1.5km，求出AP=MN=1.5km，进而推出当C、M、P三点共线时，PM+CM最小，即AN+MN+CM最小，最小值为PC+1.5，由勾股定理得PC=3172km，则AN+MN+CM最小=3172+1.5km，据此求解即可．
【详解】（1）解：△AOB是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=1.3km，AC=2km，BD=2.6km，
∴OA=12AC=1km，OB=12BD=1.3km，
∴AB=OB≠OA，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）解：连接AM、CN，如图：
∵在△ACM中，OA=OC，
∴S△COM=S△AOM，
∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN，
∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=12BD，
∴MN=MO+ON=OB=12BD，
∴S△AMN=12S△ABD=14S▱ABCD，
过点B作BE⊥OA于点E，
∴AE=OE=12OA=0.5km，
∴BE=AB2−AE2=1.2km，
∴S△AOB=12OA⋅BE=12×1.2×1=0.6km2，
∴S▱ABCD=4SΔAOB=4×0.6=2.4km2；
∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.6km2．
∴种植马鞭草区域的面积为0.6km2．
（3）解：如图所示，过点M作MP∥AN，过点A作AP∥MN交MP于P，则四边形APMN是平行四边形，
∴AN=PM，AP=MN，
同理可得OB=12BD=1.5km，
∵BM=ON，
∴BM+OM=ON+OM，
∴MN=OB=1.5km，
∴AP=MN=1.5km，
∴AN+MN+CM=PM+CM+1.5，
∴当C、M、P三点共线时，PM+CM最小，即AN+MN+CM最小，最小值为PC+1.5，
在Rt△APC中，由勾股定理得PC=AC2+AP2=3172km，
∴AN+MN+CM最小=3172+1.5km，
∴修建这三条绿道投入资金的最小值为3172+1.5×4=617+6万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．
7．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图1，直线y=35x+4与x轴交于点P，与y轴交于点Q，点M在线段PQ上，以MQ为对角线作正方形MNQK，点K刚好落在线段OP上．
(1)求正方形MNQK的边长；
(2)如图2，将正方形MNQK沿着x轴负方向平移得到正方形ABCD，当边AB刚好经过点M时，求平移的距离；
(3)若点E在坐标轴上，点F在直线PQ上，是否存在以点M、K、E、F为顶点且以MK为边的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)正方形MNQK的边长为17；
(2)174
(3)存在，E−373,0或E0，375或E30,35
【分析】（1）过点M，作MT⊥x轴于点T，证明△TMK≌△QKO AAS，根据直线与y轴交点，得出Q0,4，设MT=KO=a，则TK=4+a，得出M−4−a,a，代入直线解析式得出a=1，则M−5,1，勾股定理得出MQ，进而根据勾股定理即可求解；
（2）过点NS⊥y轴与点S，证明△NSQ≌△QKOAAS，得出N−4,5，由（1）可知M−5,1，则MT=1，设直线AN的解析式为y=kx+b，待定系数法求解析式得出y=4x+21，进而得出A−214,0，即可求解；
（3）如图所示，分别作EF∥NQ,EF∥MK，有以下三种情况，①当E在x轴的负半轴时，②当MF为对角线时，则E在E1E2上，③同理可得当E3在KE3上时，分别画出图形，根据一次函数平移求得解析式进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点M，作MT⊥x轴于点T，
∵四边形MNQK是正方形，
∴MK=QK,∠MKQ=90°，
∵∠TMK=∠KOQ=90°，
∴∠MKT+∠TMK=90°,∠MKT+∠QKO=90°,
∴∠TMK=∠QKO，
∴△TMK≌△QKO AAS，
∴MT=KO,TK=OQ，
∵直线y=35x+4与y轴交于点Q,
令x=0，则y=4，
∴Q0,4，
设MT=KO=a，则TK=4+a，
∴M−4−a,a，代入y=35x+4，
得a=35−4−a+4，
解得：a=1，
∴M−5,1，
∴MQ=−52+4−12=34，
∴MK=22×34=17，
即正方形MNQK的边长为17；
（2）解：如图所示，
过点NS⊥y轴与点S，
∵∠NSQ=∠QOK=90°,∠NQK=90°，
∴∠NQS=90°−∠KQO=∠QKO，
又∵NQ=KQ，
∴△NSQ≌△QOKAAS，
∴QS=OK=MT=1，
∴NS=OQ=4，SO=SQ+QO=1+4=5，
∴N−4,5；
由（1）可知M−5,1，则MT=1，
设直线AN的解析式为y=kx+b，
∴−5k+b=1−4k+b=5，
解得：k=4b=21，
∴y=4x+21，
当y=0时，x=−214 ，
即点A−214,0，
∴OA=214，
∵OK=1，
∴AK=214−1=174，
即平移距离为174，
（3）∵M、F在y=35x+4上，当以MK为边的四边形是平行四边形
如图所示，分别作EF∥NQ,EF∥MK，有以下三种情况，
①当E在x轴的负半轴时，则EK为对角线，
∴P为平行四边形KMEF的对角线的交点，
∴EP=PK，
由y=35x+4，当y=0时，x=−203，
∴P−203,0，
∴PK=203−1=173，
∴E−203−173,0，即E−373,0
②当MF为对角线时，则E在E1E2上，
设过点E−373,0平行于PQ的直线为y=35x+b，
则35×−373+b=0
解得：b=375
∴直线E1E2的解析式为y=35x+375，
即E0，375
③同理可得当E3在KE3上时，
∵K−1,0，设经过K点且平行与PQ的直线为y=35x+c，
∴c=35
即E30,35，
综上所述，E−373,0或E0，375或E30,35．
【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，一次函数的平移，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
(2)在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
(3)在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN=45°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用网格特征连接AP，BP并延长，即可作以点P为对称中心的平行四边形ABEF；
（2）取格点E，连接AE交BC于点M，即可作四边形ABCD的边BC上的高AM；
（3）取格点E，P，Q，连接AE，PQ，ED，PQ与ED交于点F，连接AF并延长交CD于点N即可．
【详解】（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
（2）如图②中，高AM即为所求；
根据网格与勾股定理得出AF=EH=3,AD=AE=5,DF=AH=4
∴△ADF≌△EAH，
∴∠EAH=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAF=90°
∴∠EAH+∠FAD=90°，
∴DA⊥AE，
∴AE⊥BC，
∴AM即为所求；
（3）如图③中，点N即为所求．
如图所示，找到格点E，
DE=72+12=52，AD=AE=5，
则△DAE是等腰直角三角形，
找到格点PQ，则PQED是矩形，
∴F是DE的中点，
∴AN垂直平分DE，
即∠NAD=45°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点2
分式解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏·八年级期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=16，求1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3的值．
【答案】−710
【分析】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由a+b+c=2得到c=2−a−b，进而推出ab+3c+3=a−3b−3，同理可得bc+3a+3=b−3a−3，
ca+3b+3=c−3a−3，由此代入所求式子中并化简得到−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ a+b+c=2，
∴ a+b+c2=4，
∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，
∵ a2+b2+c2=16，
∴ ab+bc+ac=−6，
∵ a+b+c=2，
∴ c=2−a−b，
∴ 3c+3=9−3a−3b，
∴ ab+3c+3
=ab+9−3a−3b
=ab−3a−3b−9
=ab−3−3b−3
=a−3b−3，
同理可得：bc+3a+3=b−3a−3，
ca+3b+3=c−3a−3，
∴1ab+3c+3+1bc+3a+3+1ca+3b+3
=1a−3b−3+1b−3c−3+1c−3a−3
=c−3+a−3+b−3a−3b−3c−3
=c+a+b−9ab−3a−3b+9c−3
=2−9abc−3ab−3ac+9a−3bc+9b+9c−27
=−7abc−3ab+ac+bc+9a+b+c−27
=−71+18+18−27
=−710．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
2．（2022春·江苏·八年级期末）已知：M=x+22，N=4xx+2．
(1)当x>0时，判断M−N与0的关系，并说明理由；
(2)设y=16xM2+N2时，若x是正整数，求y的正整数值．
【答案】(1)当x>0时，M−N≥0
(2)若x是正整数，y的正整数值是12或15．
【分析】（1）先求出M−N的值，再根据当x>0时，(x−2)2≥0，2(x+1)>0，即可得出M−N≥0；
（2）先求出y的值，再根据x和y都是正整数，得出8x+2的取值，进一步得到x+2的取值，然后分类讨论，即可得到y的正整数值．
【详解】（1）当x>0时，M−N≥0，
理由如下：
∵M=x+22，N=4xx+2，
∴M−N=x+22−4xx+2，
=(x+2)22(x+2)−8x2(x+2)，
=(x+2)2−8x2(x+2)，
=(x−2)22(x+2)，
∵x>0，
∴(x−2)2≥0，2(x+1)>0，
∴M−N≥0
（2）∵M=x+22，N=4xx+2，
∴y=16xM2+N2，
=16x(x+22)2+(4xx+2)2，
=64x(x+2)2+16x2(x+2)2，
=16x2+64x(x+2)2，
=16(x2+4x)(x+2)2，
=16(x2+4x+4−4)(x+2)2，
=16(x+2)2−64(x+2)2，
=16−64(x+2)2，
=16−(8x+2)2，
∵x和y都是正整数，
∴8x+2是正整数，
∴x+2可取4，8，
当x+2=4时，x=2，8x+2=2，(8x+2)2=4
∴y=16−(8x+2)2=16−4=12，
当x+2=8时，x=6，8x+2=1，(8x+2)2=1
∴y=16−(8x+2)2=16−1=15，
综上所述：当x是正整数，y的正整数值是12或15．
【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出M−N的值和x的正整数值是解题的关键．
3．（2022春·江苏·八年级期末）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式M=xx+1，N=1x+1，M+N=x+1x+1=1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k=1．
(1)已知分式A=x−7x−2，B=x2+6x+9x2+x−6，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式C=3x−4x−2，D=Gx2−4，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式P=3x−5x−3，Q=mx−33−x，且P+Q=t，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”k=2；
(2)①G=−2x−4；②x=1
(3)m的值为：1或73．
【分析】（1）先计算A+B，再根据结果可得结果；
（2）①先求解C+D=3x2+2x−8+Gx−2x+2，结合新定义可得3x2+2x−8+G=3x−2x+2=3x2−12，从而可得答案；②由D=−2x−2，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得x−2=−1或x−2=−2，从而可得答案；
（3）由题意可得：t=D=−21−2=2，可得3x−5−mx+3x−3=2，整理得：1−mx=−4，由方程无解，可得1−m=0或方程有增根x=3，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵A=x−7x−2，B=x2+6x+9x2+x−6，
∴A+B=x−7x−2+x2+6x+9x2+x−6
=x−7x−2+x+32x+3x−2
=x−7x−2+x+3x−2
=2x−2x−2
=2．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”k=2；
（2）①∵C=3x−4x−2，D=Gx2−4，
∴C+D=3x−4x+2x−2x+2+Gx−2x+2
=3x2+2x−8+Gx−2x+2
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”k=3，
∴3x2+2x−8+G=3x−2x+2=3x2−12，
∴G=3x2−12−3x2−2x+8=−2x−4；
②∵D=Gx2−4=−2x+2x+2x−2=−2x−2，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴x−2=−1或x−2=−2，
∴x=1（x=0舍去）；
（3）由题意可得：t=D=−21−2=2，
∴P+Q=3x−5x−3+mx−33−x=2，
∴3x−5−mx+3x−3=2，
∴3−mx−2=2x−6，
整理得：1−mx=−4，
∵方程无解，
∴1−m=0或方程有增根x=3，
解得：m=1，
当1−m≠0，方程有增根x=3，
∴−41−m=3，
解得：m=73，
综上：m的值为：1或73．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
4．（2022春·江苏·八年级期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，若x无限增大，则1x无限接近于0；当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：2x+1x−2=2x−4+4+1x−2=2(x−2)+5x−2=2(x−2)x−2+5x−2=2+5x−2;
根据上述材料完成下列问题：
(1)当x>0时，随着x的增大，2+1x的值 (增大或减小)；当x<0时，随着x的增大，3x+1x的值 （增大或减小）；
(2)当x>−3时，随着x的增大，2x+8x+3的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当0【答案】(1)减小，减小
(2)当x>−3时，2x+8x+3无限接近于2
(3)1<3x−4x−2<2
【分析】（1）根据1x的变化情况，判断2+1x、3x+1x值得变化情况即可；
（2）根据材料由2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3即可求解；
（3）由3x−4x−2=3x−2+2x−2=3+2x−2，配合0【详解】（1）解：∵当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，
∴随着x的增大，2+1x的值随之减小；
∵当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小，
∴随着x的增大，3x+1x的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3
∵当x>−3时，2x+3的值无限接近于0，
∴当x>−3时，2x+8x+3无限接近于2；
（3）解：3x−4x−2=3x−2+2x−2=3+2x−2，
∵0∴−2∴−2<2x−2<−1，
∴3−2<3+2x−2<3−1，
即1<3+2x−2<2
∴1<3x−4x−2<2，
故答案为：1<3x−4x−2<2
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
5．（2022春·江苏·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①x−1x+1；②a−2ba2−b2；③x+yx2−y2，其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
(2)若a为整数，且−x−1x2+ax+4为“和谐分式”，写出满足条件的a的值为 ；
(3)在化简4a2ab2−b3−ab÷b4时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式=4a2ab2−b3−ab⋅4b=4a2ab2−b3−4ab2=4a2b2−4a(ab2−b3)(ab2−b3)b2，
小娟：原式=4a2ab2−b3−ab⋅4b=4a2b2(a−b)−4ab2=4a2−4a(a−b)b2(a−b)，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【答案】(1)②
(2)±4或5
(3)我欣赏小娟的做法，见解析
【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案；
（2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可．
【详解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③这个分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：将分母变成完全平方公式得：x2±4x+4，此时a=±4；
将分母变形成(x+1)(x+4)，此时a=5；
故答案为：±4或5；
（3）我欣赏小娟的做法，
原式=4a2−4a2+4abb2(a−b)
=4abb2(a−b)
=4ab(a−b)，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
（3）解：我欣赏小娟的做法，
原式=4a2−4a2+4abb2(a−b)
=4abb2(a−b)
=4ab(a−b)，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分．
6．（2022秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率=利润成本×100%）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
【答案】今年该公司产品的利润率120%．
【分析】设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据利润率计算公式列出方程，求出a和b的数量关系，进而求出产品的利润率．
【详解】解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
(1+10%)a−(1−20%)b(1−20%)b⋅100%=a−bb⋅2⋅100%,
整理得：1.1a−−2b，
解得：a=85b，
∴今年的利润率为a−bb⋅2=85b−bb⋅2=120%．
答：今年该公司产品的利润率120%．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确设出产品的出厂价和成本价，并表示今年的出厂价和成本，利用今年的利润率较去年翻一番列出方程．
7．（2022春·江苏·八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.
（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；
（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.
【答案】（1）153+2x；（2）详见解析；（3）12
【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.
【详解】（1）依题意，所求分式为A，即：10x3+2x+A=5，
∴A=5−10x3+2x=15+10x3+2x−10x3+2x=153+2x；
（2）∵正数x,y互为倒数
∴xy=1，即x=1y
∴2xx+y2+2yy+x2=21y1y+y2+2yy+1y2=21+y3+2y3y3+1=2(1+y3)1+y3=2
∴分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；
（3）由题意得aa+4b2+2ba2+2b=1，等式两边同乘(a+4b2)(a2+2b)
化简得： a(a2+2b)+2b(a+4b2)=(a2+2b)(a+4b2)
即：2ab+8b3=4a2b2+8b3
∴4a2b2−2ab=0，即2ab(2ab−1)=0
∴ab=12或0
∵a,b为正数
∴ab=12.
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.
8．（2022春·江苏盐城·八年级东台市三仓镇中学校考期末）某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
据上述条件解决下列问题：
①规定期限是多少天？写出解答过程；
②在不耽误工期的情况下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
【答案】规定期限20天；方案（3）最节省
【分析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．
【详解】解：设规定期限x天完成，则有：
4x+xx+5=1，
解得x=20．
经检验得出x=20是原方程的解；
答：规定期限20天．
方案（1）：20×1.5=30（万元）
方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），
方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．
所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
所以方案（3）最节省．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
9．（2022·江苏南京·八年级统考期末）在计算x+3x+2+2−xx2−4的过程中，三位同学给出了不同的方法：
甲同学的解法：原式=(x+3)(x−2)x2−4−x−2x2−4=x2+x−6−x−2x2−4=x2−8x2−4；
乙同学的解法：原式=x+3x+2−x−2(x+2)(x−2)=x+3x+2−1x+2=x+3−1x+2=1；
丙同学的解法：原式=（x+3）（x﹣2）+2﹣x=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4．
（1）请你判断一下， 同学的解法从第一步开始就是错误的， 同学的解法是完全正确的．
（2）乙同学说：“我发现无论x取何值，计算的结果都是1”．请你评价一下乙同学的话是否合理，并简要说明理由．
【答案】（1）丙，乙；（2）不合理，理由见解析.
【详解】试题分析：（1）根据分式的加减法，由分解因式和同分母的分式加减，可知甲第2步去括号时没变号；乙正确；丙第一步的计算漏掉了分母，由此可知答案；
（2）根据乙的正确化简结果可知最终结果与x值无关，但是要注意所选取的x不能使分式无意义.
试题解析：（1）丙同学的解法从第一步开始就是错误的，乙同学的解法是完全正确的；
故答案为丙，乙；
（2）不合理，
理由：∵当x≠±2时，x+3x+2+2−xx2−4=(x+3)(x−2)x2−4−x−2x2−4=x2+x−6−x+2x2−4=x2−4x2−4=1，
∴乙同学的话不合理，
考点3
反比例函数解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期末）如图1，已知反比例函数y=kxk≠0的图像与一次函数y=x−1的图像相交于A2,a，Bb,−2两点．
(1)求反比例函数的表达式及A，B两点的坐标；
(2)M是x轴上一点，N是y轴上一点，若以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点M的坐标；
(3)如图2，反比例函数y=kx的图像上有P，Q两点，点P的横坐标为mm>2，点Q的横坐标与点P的横坐标互为相反数，连接AP，AQ，BP，BQ．是否存在这样的m使得△ABQ的面积与△ABP的面积相等，若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=2x；A2,1，B−1,−2，
(2)M点坐标为3,0或−3,0
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）将A2,a，代入一次函数解析式，求出a值，再求出反比例函数的解析式，代入Bb,−2，求出B点坐标；
（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可；
（3）分别用含m的式子表示出△ABQ，△ABP的面积，再利用△ABQ的面积与△ABP的面积相等，列式计算即可．
【详解】（1）解：反比例函数y=kx(k≠0)的图像与一次函数y=x−1的图像相交于A2,a，Bb,−2两点，
将A2,a，代入y=x−1，得：a=2−1=1，
∴A2,1，
∴k=2×1=2，
∴y=2x，
将Bb,−2代入得−2b=2，
解得b=−1，
∴B−1,−2；
（2）解：设Mx,0，N0,y，
∵A2,1，B−1,−2，
∴点B是由点A先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的；
∵以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
①将点Mx,0先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到N0,y，
则：x−3=0，即：x=3，y=0−3=−3，
∴M3,0；
②将点N0,y先向左平移3个单位，再向下平移3个单位，得到Mx,0，
则：x=0−3=−3，y−3=0，即：y=3，
∴M−3,0；
综上：当M点坐标为3,0或−3,0时，以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形；
（3）如图，过点B作BE⊥x轴交AQ于点E，过点A作AF⊥x轴交BP于点F，
由题意，可知：P(m,2m),Q(−m,−2m)，
设直线AQ的解析式为y=kx+bk≠0，
将A2,1，Q(−m,−2m)代入y=kx+bk≠0，则：
1=2k+b−2m=−mk+b,解得：k=1mb=m−2m
则直线AQ的解析式为y=1mx+m−2m
当x=1时，y=1m×(−1)+m−2m=m−3m，则E(−1,m−3m)；
∵B−1,−2
∴BE=m−3m−(−2)=3m−3m，
∴S△ABQ=S△EBA+S△EBQ=12BE×(xB−xQ)+12BE×(xA−xB)
=12BE×(xA−xQ)
=12×3m−3m×(2+m)
=3m2+3m−62m；
设直线BP的解析式为y=ax+za≠0
将B−1,−2，P(m,2m) 代入y=ax+za≠0得：
−2=−a+z2m=ma+z, 解得：a=2mz=2−2mm
则直线BP的解析式为y=2mx+2−2mm
当x=2时，y=2m×2+2−2mm=6−2mm,则：F2,6−2mm，
∵A2,1，
∴AF=1−6−2mm=3m−6m，
SΔABP=SΔAFB+SΔAPF=12AF×(xA−xB)+12AF×(xP−xA)
=12AF×(xP−xB)
=12×3m−6m×(m+1)
=3m2−3m−62m；
∵S△ABQ=S△ABP，
∴3m2+3m−62m=3m2−3m−62m，
解得：m=0，
经检验原方程无解．
故不存在．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
2．（2022春·江苏盐城·八年级景山中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，P在反比例函数y=16x的图象上，AP、BP分别是△OAB的两条外角平分线．
(1)求点P的坐标；
(2)如图2，看OA=OB，则：
①∠P的度数为________；
②求出此时直线AB的函数关系式；
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+n，且0【答案】(1)P(4,4)
(2)①45°；②y=−x+8−42
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，根据角平分线性质得PC=PD，再根据反比例函数的解析求得P点坐标；
（2）①先求出∠BAD=∠ABC=135°，再由角平分线的定义求出∠PAB=∠PBA=67.5°，然后根据三角形内角和求解即可；
②过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，，设OP与AB的交点为H，由角平分线的判定与性质得PH=PD，进而求得OB,OA，得出A、B两点坐标，再用待定系数法求得AB的解析式；
（3）根据已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得MN+QN的解析式，根据解析式的特点进行解答即可．
【详解】（1）过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于E，如图1，
∵AP和BP分别是分别是△OAB的两条外角平分线，
∴PC=PE=PD，
设PC=a，则P(a,a)，
把P(a,a)代入y=16x中得，a2=16，
∴a=4，
∴P(4,4)；
（2）①∵OA=OB,∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BAD=∠ABC=135°，
∵AP和BP分别是分别是△OAB的两条外角平分线，
∴∠PAB=∠PBA=67.5°，
∠APB=180°−67.5°−67.5°=45°，
故答案为：45°；
②过P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于点D，，设OP与AB的交点为H，如图2，
由（1）知PC=PD，
∴OP平分∠AOB，
∵OA=OB，
∴OP⊥AB，
∵AP平分∠BAD，
∴.PH=PD，
由（1）知P(4,4)，
∴.PH=PD=OD=4，OP=42，
∴OH=42−4，
∴.OB=OA=2OH=8−42，
∴A(0,8−42),B(8−42,0)，
设直线AB的解析式为：y=mx+n(m≠0)，则
n=8−42(8−42)m+n=0，
解得m=−1n=8−42，
∴直线AB的解析式为：y=−x+8−42；
（3）把y=2代入y=16x中，得x=8，
∴M(8,2)，
把y=2代入y=−nx中，得x=−n2，
∴N(−n2,2)．
把x=−n2代入y=kx+n中，得y=−kn2+n，
∴Q(−n2,−kn2+n)，
∴.MN+QN=(8+n2)+|−kn2+n−2|，
当.MN+QN=8+n2−kn2+n−2=3−kn2+6时，
∵0∴当k=3时，MN+QN为定值，定值d=6．（∵k<0，不合题意，舍去）；
当.MN+QN=8+n2+kn2−n+2=k−1n2+10时，
∵0∴当k=1时，MN+QN为定值，定值d=10．（∵k<0，不合题意，舍去）；
综上，不论k为何值时，MN+NQ都不能为定值．
故不存在k的值，使得MN+QN的和始终是一个定值d，
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数图象与性质，角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质等知识，解（1）题关键是掌握角平分线的性质，解（2）题关键是求出OB,OA的长度，解（3）题关键是用k、n的代数式表示MN+NQ．
3．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜14或x＞1；③ D（34，0）E（0，3）或D（－34，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，4a），表示出△OBC的面积即可．
【详解】（1）解：①当M（1，4）时，则B14,4，C（1，1），
∴14k+b=4k+b=1 ，
解得k=−4b=5 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝54，
由图象知，当0＜x＜14或1＜x＜54时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜14或1＜x＜54；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时，14+m=14=1+n ，
∴m=34n=3 ，
∴D（34，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，14+1=m4+1=n，
∴m=54n=5，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，14=1+m4+n=1，
∴m=−34n=−3，
∴D（−34，0）E（0，﹣3），
综上：D（34，0）E（0，3）或D（−34，0）E（0，﹣3）；
（2）解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，4a），
∴B（a4,4a），C（a，1a），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×4a﹣12﹣12×（4a−1a）×a−a4﹣12
＝4﹣12−98−12
＝158，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
4．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数y=kxx>0的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．
(1)求AFEC的值；
(2)若S△EOF=227，求反比例函数关系式．
【答案】(1)AFEC=94
(2)y=163xx>0
【分析】（1）延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足为H，证明△DEA≌△AGO（AAS），得出DE=AG，AE=OG，设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a，根据勾股定理得出：AE=3a，进而得出OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a，即可得出点A3a，4a，E3a，7a，然后再证明四边形AGHF是矩形，得出FH=AG=3a，AF=GH，再根据E点在双曲线y=kxx>0上，求出k=21a2，即y=21a2x，然后再根据F点在双曲线y=21a2x上，且F点的纵坐标为4a，得出x=21a4，即OH=21a4，然后再利用线段的关系，得出AF=GH=OH−OG=94a，最后把AF=94a、CE=a代入AFEC，即可得出结果．
（2）首先根据图形，可得S△EOF=S△EOG+S梯形EGHF−S△FOH，然后根据（1）中的线段长，得出关于a的方程，解出a2=1663，然后再代入k=21a2中，即可得出k的值，最后把k的值代入y=kxx>0，即可得出反比例函数关系式．
（1）
解：如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AD=AB，CD∥AB，
∵AB∥x轴，AE⊥CD，
∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90°，
∵OA⊥AD，
∴∠DAE+∠GAO=90°，
∴∠GAO=∠D，
∵OA=OD，
∴△DEA≌△AGO（AAS），
∴DE=AG，AE=OG，
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a，
∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a，
∴A3a，4a，E3a，7a，
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴，
∴四边形AGHF是矩形，
∴FH=AG=3a，AF=GH，
∵E点在双曲线y=kxx>0上，
∴k=21a2，即y=21a2x，
∵F点在双曲线y=21a2x上，且F点的纵坐标为4a，
∴x=21a4，即OH=21a4，
∴AF=GH=OH−OG=94a，
∴AFEC=94．
（2）
∵S△EOF=S△EOG+S梯形EGHF−S△FOH，
∴由（1）得：12×3a×7a+127a+4a×9a4−12×21a4×4a=227，
解得：a2=1663，
∴k=21a2=21×1663=163，
∴y=163xx>0．
【点睛】本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点，根据点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段长度表示出相应点的坐标是解答本题的关键．
5．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图1，已知A−1,0，B0,−2，平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y=kx(k为常数，k≠0)上经过C、D两点．
(1)求k的值；
(2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)图像于点M，交反比例函数y=−32xx<0的图像于点N，当FM=FN时，求G点坐标；
(3)点P在双曲线y=kx上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
【答案】(1)4
(2)0,54
(3)0,6或0,−6或0,2
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即xM−1=1−xN，设点G（0，t），则xM=4t,xN=−32t=−32t，构造等式4t−1=1−(−32t)=1−(−32t)=1+32t，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，4m），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．
【详解】（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（-1，0），
∴ OA=1．
∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，
∴ △EDM≌△EAO，
∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数y=kx(k≠0)上，
∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，
∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2(-2+k)，
解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．
根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），
∴设直线BC的解析式为y=kx-2，
∴2=2k-2，
解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，
∴2x-2=0，
解得x=1，
∴点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，
∴H的横坐标为1，,
根据FM=FN，
∴MH=HN即xM−1=1−xN，
设点G（0，t），则xM=4t,xN=−32t=−32t，
∴4t−1=1−(−32t)=1−(−32t)=1+32t，
∴4−32t=2，
解得t=54，
故点G坐标为（0，54）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，4m），
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，
当A平移得到Q时，
∵点A（-1，0），Q（0，n），
∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，
∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，
∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+n），
∵P在反比例函数y=4x上，
∴1×（-2+n）=4，
解得n=6，
此时点Q(0，6)；
当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，
∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，
∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+|n|），
∵P在反比例函数y=4x上，
∴1×（-2+|n|）=4，
解得n=-5，n=6(舍去)，
此时点Q(0，-5)；
当A平移得到P时，
∵点A（-1，0）平移得到P（m，4m），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），
∴m=-1，
故点P（-1，-4），
即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-5），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q(0，-5)或（0，2）
综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-5）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y1=kx(k>0)的图像与正比例函数y2=mx(m>0)的图像交于点A、点C，与正比例函数y3=nx(n>0)的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t(0(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
(3)如图3，过点A作AE⊥x轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
【答案】(1)①m=2，k=8；②6
(2)1
(3)D为线段GF的中点，理由见解析
【分析】(1)①把A(2,4)分别代入入y1=kx(k＞0)和y2=mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-x+6，得出K(0,6)，再由S△AOD=S△DOK-S△AOK，即可求得答案；
(2)由题意得：A(s,ms)，D(t，nt)，k=ms2=nt2①，再根据矩形性质可得OA=OD，即s2+m2s2=t2+n2t2②，①②联立即可求得答案；
(3)由题意得：A(s,ks)，D(t,kt)，C(-s,-ks)，运用待定系数法可得直线CD的解析式为y=kstx+kt-ks，得出E(s,2kt-ks)，再由矩形性质可得：FG∥AE∥y轴，EF∥AG∥x轴，进而得出F(t,2kt-ks)，G(t,ks)，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵点A(2，4)在y1=kx上，
∴4=k2，k=8；
∵点A(2,4)在y2=mx上，
∴4=2m，m=2
②∵点D的横坐标为4，
∴当x=4时，y=84=2，
∴D(4,2)
分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K，
∵S四边形OADK=SΔOHA+S梯形AHKD，S四边形ΔOADK=SΔODA+SΔODK，SΔOHA=SΔODK
∴SΔODA=S梯形AHKD=12DK+AHOK−OH=122+44−2=6；
（2）解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数y1=kx分别交于点A，C，B，D，反比例函数y1=kx的图像关于原点中心对称，
∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OD时，四边形ABCD是矩形．
∵点A，D的横坐标分别为s，t(0∴点A的坐标为(s,ks)，点D的坐标为(t,kt)，
∴OA2=OD2，
∴s2+k2s2=t2+k2t2，
∴s2+k2s2−t2−k2t2=0，
∴s2−t2+k2s2−k2t2=0
∴s2−t2−k2s2−t2s2t2=0，
∴s2−t2=k2s2−t2s2t2
∴s2t2=k2
又∵A(s,ks)在y2=mx上，
∴ks=ms，
∴m=ks2
D(t，kt在y3=nx上，
∴kt=nt，n=kt2
∴mn=ks2⋅kt2=k2s2t2=1．
（3）解：由(2)知，As,ks，Dt,kt，则C−s,−ks
设CD的表达式为y=ax+b
kt=at+b−ks=−as+b，解得a=ktsb=ks−tts，
∴CD的表达式为y=kxts+ks−tts，
∵AE⊥x轴交CD于点E，
∴当x=s时，y=ksts+ks−tts=k2s−tts
∴E(s，k2s−tst)，
∵四边形AEFG是矩形
∴Gt,ks,Ft,k(2s−t)st
∴GD=ks−kt=kt−sts，DF=kt−k2s−tts=ksts−k2s−tts=kt−sts
∴GD=DF
∴D为线段GF的中点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知一次函数y1=kx+2(k≠0)和反比例函数y2=mx(m≠0)．
(1)如图1，若函数y1，y2的图像都经过点A(1，3)，B(-3，a)．
①求m，k，a的值；
②连接AO，BO，判断△ABO的形状，并说明理由；
③当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，直接写出c的取值范围．
(2)当k=2，m=4，过点P(s，0)(s≠0)作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t取M与N的绝对值较小的纵坐标(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点(s，t)组成的图形记为图形T．直线y=n(n≠0)与图形的交点分别为C、D，若CD的值等于3，求n的值．
【答案】(1)①m=3，k=1，a=−1；②等腰三角形，见解析；③13≤c≤1
(2)n=4−26或−2+23
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用勾股定理求得OA、OB，即可证得△ABO是等腰三角形；
③当x=-3时，求出y1=x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出c的取值范围．
（2）由题意画出函数的T的图象，再数形结合解题即可．
【详解】（1）解：①∵A（1，3）在y1＝kx+2图像上，
∴3=k+2，∴k=1
∵A（1，3）在y2=mx图像上，
∴3=m1，解得：m=3，
∵B（−3，a）在y2=3x上，
∴a=3−3=−1；
②连接AO，BO，
由①知A（1，3），B（−3，−1）
AO=32+12=10，BO=-32+-12=10
∴AO=BO
∴△ABO是等腰三角形；
③由①得：一次函数解析式为y1=x+2，
当x=−3时，y=−1，
∵当x>-3时，对于x的每一个值，函数y3=cx(c≠0)的值小于一次函数y1=kx+2的值，
∴当x=−3时，−3c≤−1，
解得：c≥13，
∴c的取值范围为13≤c≤1；
（2）解：当k＝2，m=4，过点P（s，0）作x轴的垂线，交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点N，t为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点（s，t）组成的图形记为图形T．T的图像如图所示，
∵直线y=n与图形T的交点分别C、D，
∴C（n−22， n），D（4n， n）
当点D在点C的右侧时，CD=4n−n−22
4n−n−22=3，解得n=−2+23或n=−2−23（舍去）
当点D在点C的左侧时，CD=n−22−4n
n−22−4n=3，解得n=4−26或n=4+26（舍去）
综上所述，当CD的值等于3时，n=4−26 或−2+23
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法与函数图象，数形结合思想是解题的关键．
8．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，直线y=x+b与双曲线y=kx（k为常数，k≠0）在第一象限内交于点A(2，4)，且与x轴，y轴分别交于B，C两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点P在坐标轴上，且△BCP的面积等于8，求P点的坐标；
(3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想．
【答案】(1)y=8x，y=x+2
(2)(6,0)，(−10,0)，(0,−6)或(0,10)
(3)平行四边形，理由见解析
【分析】（1）将点A(2，4)代入直线y=x+b与双曲线y=kx求出k、b的值，即可得出解析式；
（2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标；
（3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】（1）解：把A(2，4)代入双曲线y=8x（k为常数， k≠0），可得k=2×4=8，
∴双曲线的解析式为y=8x
把A(2，4)代入直线y=x+b，可得b=2，
∴直线的解析式为y=x+2；
（2）在y=x+2中，令y=0，则x=−2；令x=0，则y=2，
∴B(−2，0)，C(0，2)
①当P在x轴上时，设P点的坐标为x，0，
∵△BCP的面积等于8
∴12|x−(−2)|×2=8，解得x=6或−10，
∴P点的坐标为(6，0)或(−10，0)；
②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为(0，−6)或(0，10)
综合①②，P点的坐标为(6，0)，(−10，0)，(0，−6)或(0，10)．
（3）四边形ABED为平行四边形．
理由如下：∵A(2,4)，B(−2,0)绕原点旋转180°后对应的的坐标为(−2，−4)，(2，0)，
设旋转后的直线解析式为y=mx+n
∴−2m+n=−42m+n=0
解得m=1n=−2
∴旋转后的直线解析式为y=x−2，
∴D(2，0)
由反比例函数的对称性可知：E(−2，−4)，
即OB=OD，OA=OE，
∴四边形ABED为平行四边形．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、三角形面积、平行四边形的判断、旋转，涉及数形结合、分类讨论思想，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象性质是解题的关键．
9．（2022春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）平面直角坐标系中，直线y=2x+2交双曲线y=kx(x>0)于点M，点M的纵坐标是4．
①求k的值；
②如图 1，正方形ABCD的顶点C、D在双曲线y=kxx>0上，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，求点D的坐标；
（2）平面直角坐标系中，如图 2，C点在x轴正半轴上，四边形ABCO为直角梯形，AB∥CO，∠OCB=90°，OC=CB，D为CB边的中点，∠AOC=∠OAD，反比例函数的y=mxx>0图像经过点A，且S△OAD=60，求m的值．
【答案】（1）①4；②22,2 （2）48
【分析】（1）①由直线y=2x+2交双曲线y=kxx>0于点M，点M的纵坐标是4，可求得点M的坐标，继而求得k的值；
②首先作DM⊥x轴于点M，作CN⊥y轴于点N，易证得△AOB≌△DMA≌△BNC，易得Cb,a+b，Da+b,a，继而求得a的值，则可求得点D的坐标；
（2）首先延长BA交y轴于E，过O作OF⊥AD于F，易证得△OEA≌△OFA，Rt△OFD≌Rt△OCD，又可证得四边形OCBE为正方形，再根据S△OAD=60，从而建立方程，即可求得答案.
【详解】解：（1）①∵直线y=2x+2交双曲线y=kxx>0于点M，点M的纵坐标是4，
∴当y=4时，2x+2=4，
解得：x=1，
∴M1,4，
又∵M1,4在y=kx上，
∴k=1×4=4.
∴k的值是4.
②作DM⊥x轴于点M，作CN⊥y轴于点N，设OA=a，OB=b，
∴∠DMA=90°，∠CNB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=DA，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠CBN+∠ABO=∠OAB+∠DAM=90°，
∵∠ABO+∠OAB=∠CBN+∠BCN=∠DAM+∠ADM=90°，
∴∠CBN=∠BAO=∠ADM，
在△BCN和△ABO和△DAM中，
∠CBN=∠BAO=∠ADM∠CNB=∠BOA=∠AMDBC=AB=AD
∴△BCN≌△ABO≌△DAMAAS，
∴CN=BO=AM=b，
BN=AO=DM=a，
∴Cb,a+b，Da+b,a，
∵点C、D在双曲线y=4x上，
∴ba+b=aa+b=4，
∴a=b，
∴aa+a=4，
即2a2=4，
∵顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，
∴a=b>0，
∴a=2，
∴D22,2.
∴点D的坐标为22,2.
（2）延长BA交y轴于E，过O作OF⊥AD于F，设AF=x，OC=2n，
∴∠AFO=90°，
∵AB∥CO，∠EOC=90°，
∴∠BEO=∠EOC=90°=∠AFO，∠EAO=∠AOC，
∵∠AOC=∠OAD，
∴∠EAO=∠FAO，
在△OEA和△OFA中，
∠EAO=∠FAO∠AEO=∠AFOOA=OA，
∴△OEA≌△OFAAAS，
∴OE=OF，AE=AF，
∵∠BEO=∠EOC=∠OCB=90°，
∴四边形BEOC是矩形，
又∵OC=BC，
∴四边形BEOC是正方形，
∴OE=BE=BC=OC=2n，∠EBC=90°，
∴OF=OC=2n，
∵AF=x，
∴AE=AF=x，
∴AB=BE−AE=2n−x，
∵D为CB边的中点，
∴BD=CD=12BC=n，
在Rt△OFD和Rt△OCD中，
OF=OCOD=OD
∴Rt△OFC≌Rt△OCDHL，
∴DF=DC，
∴AD=AF+DF=x+n，
在Rt△ABD中，∠B=90°，
∴AB2+BD2=AD2，
即2n−x2+n2=x+n2，
∴x=2n3，
∵OE=2n，AE=x，
∴A2n3,2n，
∵点A在反比例函数y=mxx>0的图像上，
∴m=2n3·2n=4n23，
∵S△OAD=60，
∴12AD·OF=60，
即12x+n·2n=60，
∴n2n3+n=60，
∴n2=36，
∴m=4n23=43×36=48.
∴m的值为48.
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解题的关键通过作辅助线构造全等三角形，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
10．（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线y=kx的图象经过点A．
(1)菱形OABC的边长为 ；
(2)求双曲线的函数关系式；
(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；
②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
【答案】(1)5
(2)y=−12x
(3)①当E点坐标为（−45，15）或（4，-3）或（43，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；②点Q的坐标为（5，−125）
【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，则OC=OJ2+JC2=5；
（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）①分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；②过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，先求出AT=9，然后证明△APT≌△QRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接AC交y轴于J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ=JC，OJ=BJ，
∵点C的坐标为（4，3），
∴AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴OC=OJ2+JC2=5，
故答案为：5；
（2）解：∵AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
∴点A的坐标为（-4，3），
∵反比例函数y=kx经过点A（-4，3），
∴3=k−4，
∴k=−12，
∴反比例函数解析式为y=−12x；
（3）解：①设E点坐标为（m，−12m），
∵OJ=BJ=3，
∴OB=6，
∴B点坐标为（0，6），
∴D点坐标为（0，-5），
∴直线l为y=−6，
设P点坐标为（a，-5）
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴6+32=−6−12m2，
∴m=−45，
∴点E的坐标为（−45，15）；
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE'P'时，
∵AE'与BP'的中点坐标相同，
∴3−12m2=6−62，
∴m=4，
∴E'的坐标为（4，-3）；
同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABP″E″时，点E″的坐标为（43，-9）；
综上所述，当E点坐标为（−45，15）或（4，-3）或（43，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；
②如图所示，过点A作AT⊥PD于T，过点Q作QR⊥AT于R，
∵点A的坐标为（-4，3），直线l为y=−6，
∴AT=9，
∵∠ATP=∠QRA=∠PAQ=90°，
∴∠PAT+∠APT=90°，∠PAT+∠QAR=90°，
∴∠APT=∠QAR，
又∵AP=QA，
∴△APT≌△QRA（AAS），
∴AT=RQ=9，
∴Q点的横坐标为5，
∵Q在反比例函数y=−12x上，
∴yQ=−125，
∴点Q的坐标为（5，−125）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键．
考点4
二次根式解答期末真题压轴题
1．（2022春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期末）我们称长与宽之比为2:1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为2，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现______；
(3)①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为______；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为326，则m＝______．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k=2n或n2(n为正整数)；
(3)①46；②163；③2048
【分析】（1）根据“奇异矩形”定义，可知“奇异矩形”必须满足长是宽的2倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形，
（3）根据规律可知：2n个基本矩形拼成的奇异矩形，长为2n+1，宽为2n，则对角线为2n×3，由此规律即可解答．
【详解】（1）解：①如图3，长为22，宽为2，
长：宽=22:2=2:1；符合奇异矩形的条件；
②图4中，长为4，宽为22，
长：宽=4:22=2:1，符合奇异矩形的条件；
（2）解：根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应20、21、22、…或需要n2个基本奇异矩形．
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则k=2n或n2(n为正整数)；
（3）解：①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，
则长=8，宽=42，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，82+422=46，
故答案为：46；
②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长=162，宽=16，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理：162+1622=163，
故答案为：163；
③根据规律可知：2n个基本矩形拼成的奇异矩形，长为2n+1，宽为2n，则对角线为2n×3，
∴2n×3=326，
∴n=11，
∴211=2048．
故答案为：2048．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算、寻找规律的应用等知识点，较好的动手画图操作能力是解答本题的关键．
2．（2022春·江苏·八年级期末）我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为ab（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ；
A．a+mb+m>ab B．a+mb+m=ab C．a+mb+m②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为Sx，周长为2x+Sx，当矩形为正方形时，周长为4S，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ；
A．2x+Sx≥4S B．2x+Sx=4S C．2x+Sx≤4S
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：x=x2，Sx=Sx2）
【答案】（1）①A；②见解析；（2）①A；②见解析
【分析】（1）①根据题意直接进行选择即可；②利用作差法进行证明即可；
（2）①用数学关系式可以表示为2x+Sx≥4S；②利用完全平方式及不等式进行证明即可
【详解】（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：a+mb+m>ab，
故选：A；
②证明：a+mb+m−ab＝ba+m−ab+mbb+m＝ab+bm−ab−ambb+m＝b−ambb+m，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴b−ambb+m＞0，
∴a+mb+m＞ab成立．
（2）①A
②证明：2x+Sx＝2x2+Sx2＝2x−Sx2+2x⋅Sx
＝2x−Sx2+4x⋅Sx＝2x−Sx2+4S，
∵x−Sx2≥0，
∴2x−Sx2+4S≥4S，
∴2x+Sx≥4S成立
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
3．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期末）已知m,n是两个连续的正整数，m【答案】见解析
【分析】设m=n−1，用n将a表示出来，代入原式化简即可证明．
【详解】由题：m=n−1，a=mn=nn−1=n2−n
原式=n2−n+n−n2−n−n−1
=n2−n2−2n+1
=n2−n−12
=n−n−1=1
∴代数式a+n−a−m定值为1，是一个奇数．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，和分解因式，题目较为新颖，难度较大，用n将a表示出来是本题的关键．
4．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期末）阅读理解：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简12−1．
解：将分子、分母同乘以2+1得：12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1．
类比应用：
（1）化简：123−11= ；
（2）化简：12+1+13+2+⋯+19+8= ．
拓展延伸：
宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．
【答案】类比应用：（1）23+11；（2）2；拓展延伸：（1）5+12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）10+24
【分析】类比应用：
（1）仿照题干中的过程进行计算；
（2）仿照题干中的过程进行计算；
拓展延伸：
（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；
（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为5−12即可；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.
【详解】解：类比应用：
（1）根据题意可得：
123−11= 23+1123−1123+11=23+11；
（2）根据题意可得：
12+1+13+2+⋯+19+8
=2−12+12−1+3−23+23−2+⋯+9−89+89−8
=2−1+3−2+⋯+9−8
=9−1
=2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB=1，
则黄金矩形ABCD的长BC=15−12=25−1=5+12；
（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1÷5−12=5+12，
∴FD=EC=AD-AF=5+12−1=5−12，
∴DFEF=5−12÷1=5−12，
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=5+12，
∴AE=12+12=2，
在△AED中，
S△AED =12×AD×EF=12×AE×DG，
即AD×EF=AE×DG，则5+12×1=2×DG，
解得DG=10+24，
∴点D到线段AE的距离为10+24.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识．
5．（2022春·江苏·八年级期末）先观察下列等式，再回答问题：
①12+2+(11)2 =1+1=2；
②22+2+(12)2=2+ 12=2 12；
③32+2+(13)2=3+13=313；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）42+2+（14）2= 4+14= 414；（2）n2+2+（1n）2= n+1n=n2+1n，证明见解析．
【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为42+2+（14）2=4+14=414；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n2+2+（1n）2=n+1n=n2+1n”，再利用n2+2+（1n）2=（n+1n）2开方即可证出结论成立．
【详解】（1）∵①12+2+（11）2=1+1=2；②22+2+（12）2=2+12=212；③32+2+（13）2=3+13=313；里面的数字分别为1、2、3，
∴④42+2+（14）2= 4+14= 414．
（2）观察，发现规律：12+2+（11）2=1+1=2，22+2+（12）2=2+12=212，32+2+（13）2=3+13=313，42+2+（14）2=4+14=414，…，∴n2+2+（1n）2= n+1n=n2+1n．
证明：等式左边=n2+2n⋅1n+（1n）2=（n+1n）2=n+1n=n2+1n=右边．
故n2+2+（1n）2=n+1n=n2+1n成立．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n2+2+（1n）2=n+1n=n2+1n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
6．（2022春·江苏·八年级期末）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如：4−23=3−23+1=(3)2−2×3×1+12=(3−1)2.善于动脑的小明继续探究：
当a、b、m、n为正整数时，若a+2b=(2m+n)2，则有a+2b=(2m2+n2)+22mn，所以a=2m2+n2，b=2mn.
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n为正整数时，若a+3b=(3m+n)2，请用含有m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）填空：13−43=( - 3)2；
（3）若a+65=(m+5n)2，且a、m、n为正整数，求a的值.
【答案】（1）a=3m2+n2，b=2mn；（2）13−43=(1−23)2；（3）a=14或46.
【详解】试题分析：
（1）把等式a+3b=(3m+n)2右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；
（2）由（1）中结论可得：a=3m2+n2=13b=2mn=4 ，结合a、b、m、n都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：13−43=(1−23)2；
（3）将a+65=(m+5n)2右边展开，整理可得：a=m2+5n2，6=2mn结合a、m、n为正整数，即可先求得m、n的值，再求a的值即可.
试题解析：
（1）∵a+3b=(3m+n)2，
∴a+3b=3m2+n2+23mn，
∴a=3m2+n2，b=2mn；
（2）由（1）中结论可得：a=3m2+n2=13b=2mn=4 ，
∵a、b、m、n都为正整数，
∴m=1n=2 或m=2n=1 ，
∵当m=1，n=2时，a=3m2+n2=7≠13，而当m=2，n=1时，a=3m2+n2=13，
∴m=2，n=1，
∴13−43=(1−23)2；
（3）∵a+65=(m+5n)2=m2+5n2+2mn5，
∴a=m2+5n2，6=2mn ，
又∵a、m、n为正整数，
∴m=1，n=3， 或者m=3，n=1，
∴当m=1，n=3时，a=46；当m=3，n=1，a=14，
即a的值为：46或14.
7．（2022春·江苏·八年级期末）像(5+2)(5﹣2)＝1、a•a＝a(a≥0)、(b+1)(b﹣1)＝b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，5与5，2 +1与2﹣1，23+35与23﹣35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：233；
(2)计算：12−3+13−2；
(3)比较2018−2017与2017−2016的大小，并说明理由．
【答案】（1）239 （2）2+23+2（3）2018−2017<2017−2016
【分析】（1）由3×3=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2−3与2+3，3−2与3+2，然后分母有理化后计算即可；
（3）确定2018−2017与2017−2016的有理化因式为2018+2017与2017+2016，得到12018+2017与12017+2016，然后比较即可．
【详解】解：(1) 原式=2333⋅3=239；
（2）原式=2+3+3+2=2+2+23；
（3）根据题意，2018−2017=12018+2017，2017−2016=12017+2016，
∵2018+2017>2017+2016，
∴12018+2017<12017+2016，
即2018−2017<2017−2016．
【点睛】此题是一个阅读题，认真读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解
=3x+1−3x−12，
∴f1=322，f3=34−322，f5=36−342，…，f999=31000−39982．
∴f1+f3+⋅⋅⋅+f2k−1+⋅⋅⋅+f999=310002=5．
【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将fx简化，再代值得到f2k−1=32k−32k−22，即可解题.x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
1x
…
−0.25
−0.3·
−0.5
−1
无意义
1
0.5
0.3·
0.25
…