北师大版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.1正数和负数【九大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.1 正数和负数【九大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27969" 【题型1 辨别正数和负数】  PAGEREF _Toc27969 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27025" 【题型2 正数和负数的分类】  PAGEREF _Toc27025 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6986" 【题型3 判断具有相反意义的量】  PAGEREF _Toc6986 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2190" 【题型4 正负数的意义】  PAGEREF _Toc2190 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc5668" 【题型5 用正负数表示已知量】  PAGEREF _Toc5668 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5934" 【题型6 应用正负数的实际意义解决温差问题】  PAGEREF _Toc5934 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc22751" 【题型7 应用正负数的实际意义解决时差问题】  PAGEREF _Toc22751 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc16078" 【题型8 应用正负数的实际意义解决允许偏差问题】  PAGEREF _Toc16078 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc24492" 【题型9 应用正负数的实际意义解决基准量的相关计算问题】  PAGEREF _Toc24492 \h 14知识点1：正数和负数的概念大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数【题型1 辨别正数和负数】【例1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）关于负数有下列4种说法：①在某个数的前面加上符号“-”得到的数；②不大于0的数；③除去正数的其他数；④在正数的前面加上符号“-”得到的数.其中正确的是 (填序号).【变式1-1】（23-24七年级上·山西晋中·阶段练习）中国古代数学成就辉煌，数学著作众多，其中的一部记录了“引入负数及正负数的加减运算法则”，这是世界上至今发现的最早记载．这部数学著作是（    ）A．  《九章算术》 B．  《周髀算经》C．  《算法统宗》 D．  《几何原本》【变式1-2】（23-24七年级·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ）A．在小学学过的数前面添上“–”，就是负数B．–5°C比–6°C高1°CC．比0小的数都是负数D．比0大的数都是正数【变式1-3】（23-24七年级上·内蒙古通辽·期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“+”号的数才是正数；（4）0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2 正数和负数的分类】【例2】（2024·四川凉山·中考真题）下列各数中：5，−57，−3，0，−25.8，+2，负数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）在−3,+2.6,0,−5，38，−625，15%，+3.1中，正数有 个，负数有 个．【变式2-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在−3.5，+9，0，−34，526中，正数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-3】（23-24七年级上·湖南永州·开学考试）以下各数：−π，0.6，−100，20112012，0，−257，368中，正数有 ；负数有 ．知识点2：具有相反意义的量一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型3 判断具有相反意义的量】【例3】（23-24七年级上·河北邢台·期末）在下列选项中、具有相反意义的量是（    ）A．收入20元与支出30元B．上升了6米和后退了7米C．向东走3千米与向南走4千米D．足球比赛胜5场与平2场【变式3-1】（2024·河北唐山·七年级期末）下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ）A．1和2 B．−1和−2 C．−1和2 D．−1和0【变式3-2】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）思考下面各对量：①气温下降2°C与气温为−2°C；②小南向东走25m与小南向西走25m；③收入2000元与亏损2000元；④胜三局与负六局.其中具有相反意义的量有 ．（填序号）【变式3-3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列选项中，不是具有相反意义的量的是（    ）A．气温升高3度与下降5度 B．盈利100元与支出100元C．伸长1cm与缩短8mm D．胜3局与负2局【题型4 正负数的意义】【例4】（2024·江苏扬州·一模）《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示 ．【变式4-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（    ）A．亏损−2万元 B．盈余2万元 C．亏损2万元 D．不盈余不亏损【变式4-2】（2024·辽宁大连·二模）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，92号汽油的价格也随之变化．如果每升92号汽油的价格上涨0.2元，记作+0.2元，那么−0.1元表示每升92号汽油的价格（    ）A．上涨0.1元 B．上涨0.3元 C．下降0.1元 D．下降0.3元【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）若用−30%表示某产品的出口额比上一年减少30%，则+70%表示该产品的出口额比上一年（   ）A．增加40% B．增加70% C．减少70% D．减少40%【题型5 用正负数表示已知量】【例5】（23-24七年级上·四川乐山·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，一艘潜水艇向上浮50米记为+50米，则向下潜15米记为 米．【变式5-1】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）小明转动转盘，如果用−2圈表示逆时针方向转了2圈，那么沿顺时针方向转了4圈记作（　　）A．+2圈 B．+4圈 C．−4圈 D．−2圈【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思就是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分．如果室内温度为零上8℃，记为+8℃，那么室外温度为零下2℃，记为（    ）A．−2℃ B．+2℃ C．−8℃ D．+8℃【变式5-3】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为+5，则电梯下行3层楼应记为（　　）A．−2 B．+2 C．+3 D．−3【题型6 应用正负数的实际意义解决温差问题】【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，成功对接空间站．据悉，在超过200摄氏度的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环境温度会始终控制在22°C±4°C，为航天员营造舒适的温度环境．可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ．【变式6-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）我市某天的最高气温为8℃，最低气温为零下2℃，则计算温差列式正确的是（    ）A．+8−+2 B．+8−−2 C．+8+−2 D．−8−−2【变式6-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某地12月28日的天气预报，下列关于温度的信息正确的是（    ）A．当日温差为19°C B．当日温差为10°CC．最低气温为零下10°C D．最低气温为零下19°C【变式6-3】（23-24七年级上·全国·课后作业）泗阳10月3日早上的温度是12℃，中午上升了6℃ ，下午A．36.2°C⩽m⩽36.5°CB．36.5°C⩽m⩽36.8°CC．36.2°C⩽m⩽36.8°CD．36.2°C0，是正数；−57<0，是负数；−3<0，是负数；0既不是正数，也不是负数；−25.8<0，是负数；+2>0，是正数；∴负数有−57，−3，−25.8，共3个．故选：D．【变式2-1】（23-24七年级上·陕西西安·期中）在−3,+2.6,0,−5，38，−625，15%，+3.1中，正数有 个，负数有 个．【答案】 4 3【分析】大于0的数是正数，小于0的数是负数，据此进行判断即可．本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：+2.6，38，15%，+3.1是正数，共4个；−3,−5,−625是负数，共3个；故答案为：4；3．【变式2-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在−3.5，+9，0，−34，526中，正数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了正负数的概念，正确熟练掌握基本知识是解决本题的关键．根据正负数的定义即可对本题作出判断．【详解】解：在“−3.5，+9，0，−34，526”中，正数有+9，526，∴有2个，故选：A．【变式2-3】（23-24七年级上·湖南永州·开学考试）以下各数：−π，0.6，−100，20112012，0，−257，368中，正数有 ；负数有 ．【答案】 0.6，20112012，368 −π，−100，−257【分析】根据正数和负数的定义，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：正数有： 0.6，20112012，368；负数有：−π，−100，−257；故答案为：0.6，20112012，368；−π，−100，，−257．【点睛】本题主要考查了正数和负数的定义，解题的关键是掌握大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．知识点2：具有相反意义的量一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示．【题型3 判断具有相反意义的量】【例3】（23-24七年级上·河北邢台·期末）在下列选项中、具有相反意义的量是（    ）A．收入20元与支出30元B．上升了6米和后退了7米C．向东走3千米与向南走4千米D．足球比赛胜5场与平2场【答案】A【分析】本题主要考查了相反意义的量，正数和负数，解题的关键是熟练掌握正数和负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：A、收入20元与支出30元是一对相反意义的量，故本选项符合题意；B、上升了6米和后退了7米不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意；C、向东走3千米与向南走4千米不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意；D、足球比赛胜5场与平2场不是一对相反意义的量，故本选项不符合题意．故选：A．【变式3-1】（2024·河北唐山·七年级期末）下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ）A．1和2 B．−1和−2 C．−1和2 D．−1和0【答案】C【分析】此题主要考查了正负数的意义，主要是对相反意义的量的考查，比较简单．解题关键是掌握正负数的意义，根据具有相反意义的量的定义判定即可．【详解】解：A、1和2都是正数，不具有相反意义的量，不符合题意；B、−1和−2都是负数，不具有相反意义的量，不符合题意；C、−1和2，具有相反意义的量，不符合题意；D、−1和0，0是整数和负数的分界，不具有相反意义的量，不符合题意；故选：D．【变式3-2】（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）思考下面各对量：①气温下降2°C与气温为−2°C；②小南向东走25m与小南向西走25m；③收入2000元与亏损2000元；④胜三局与负六局.其中具有相反意义的量有 ．（填序号）【答案】②④/④②【分析】明确具有相反意义的量，对选项逐一分析，排除错误选项．【详解】解：①气温下降与气温上升意义相反，而气温下降2°C与气温为−2°C不具有相反意义，故不符合题意；②小南向东走25m与小南向西走25m具有相反意义，故符合题意；③收入与支出，盈利与亏损是相反意义的量，而收入2000元与亏损2000元不具有相反意义，故不符合题意；④胜三局与负六局具有相反意义，故符合题意．故答案为：②④．【点睛】本题考查了正数和负数，明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关键．【变式3-3】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列选项中，不是具有相反意义的量的是（    ）A．气温升高3度与下降5度 B．盈利100元与支出100元C．伸长1cm与缩短8mm D．胜3局与负2局【答案】B【分析】本题主要考查一对具有相反意义的量．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，从而确定一对具有相反意义的量．【详解】解：A． 气温升高3度与下降5度，升高和下降是两个意义相反的量，故本选项不符合题意；B． 盈利100元与支出100元，盈利与支出不具有相反意义，盈利对亏损，支出对收入，故本选项符合题意；C． 伸长1cm与缩短8mm，伸长和缩短是两个意义相反的量，故本选项不符合题意；D． 胜3局与负2局，胜与负是两个意义相反的量，故本选项不符合题意；故选：A．【题型4 正负数的意义】【例4】（2024·江苏扬州·一模）《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示 ．【答案】运出30吨粮食【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．【详解】解：∵ 粮库把运进30吨粮食记为“+30”，根据正数和负数是一组具有相反意义的量．∴ “−30”表示粮库运出30吨粮食，故答案为：粮库运出30吨粮食．【变式4-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示（    ）A．亏损−2万元 B．盈余2万元 C．亏损2万元 D．不盈余不亏损【答案】C【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．【详解】解：∵与盈余意义相反的量是亏损，∴盈余2万元记作+2万元，，则−2万元表示亏损2万元，故选：D．【点睛】此题考查了运用正负数的概念和正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识.【变式4-2】（2024·辽宁大连·二模）随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，92号汽油的价格也随之变化．如果每升92号汽油的价格上涨0.2元，记作+0.2元，那么−0.1元表示每升92号汽油的价格（    ）A．上涨0.1元 B．上涨0.3元 C．下降0.1元 D．下降0.3元【答案】C【分析】本题考查了正数和负数，根据上涨记为正数，得到下降记为负数是解题的关键．由上涨记为正数，可得下降记为负数，进而可得出−0.1元表示每升92号汽油的价格下降0.1元．【详解】解：∵每升92号汽油的价格上涨0.2元，记作+0.2元，∴−0.1元表示每升92号汽油的价格下降0.1元．故选：D．【变式4-3】（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）若用−30%表示某产品的出口额比上一年减少30%，则+70%表示该产品的出口额比上一年（   ）A．增加40% B．增加70% C．减少70% D．减少40%【答案】B【分析】本题考查相反意义的量，利用相反意义的量的定义判断即可．【详解】解：根据相反意义的量的定义可知，+70%表示该产品的出口额比上一年增加70%，故选：A．【题型5 用正负数表示已知量】【例5】（23-24七年级上·四川乐山·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，一艘潜水艇向上浮50米记为+50米，则向下潜15米记为 米．【答案】−15【分析】本题考查了正数和负数，根据相反意义的量正确地确定符号的正负是解题的关键．根据正负数的意义，直接写出答案即可．【详解】解：因为潜水艇向下潜50m记为+50m，所以向上浮15m记为−15m，故答案为：−15．【变式5-1】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）小明转动转盘，如果用−2圈表示逆时针方向转了2圈，那么沿顺时针方向转了4圈记作（　　）A．+2圈 B．+4圈 C．−4圈 D．−2圈【答案】B【分析】本题考查了正负数的意义，正负数表示具有相反意义的量，据此即可解答．【详解】解：∵−2圈表示逆时针方向转了2圈，∴沿顺时针方向转了4圈记作+4圈．故答案为：B【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思就是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分．如果室内温度为零上8℃，记为+8℃，那么室外温度为零下2℃，记为（    ）A．−2℃ B．+2℃ C．−8℃ D．+8℃【答案】A【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：∵室内温度为零上8℃，记为+8℃，∴室外温度为零下2℃，记为−2℃．故选A．【变式5-3】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为+5，则电梯下行3层楼应记为（　　）A．−2 B．+2 C．+3 D．−3【答案】D【分析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数是一组具有相反意义的量，即可得到答案．【详解】解：由题意得，电梯下行3层楼应记为−3，故选D.【题型6 应用正负数的实际意义解决温差问题】【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射成功，成功对接空间站．据悉，在超过200摄氏度的大温差、长期低温、强辐射的空间环境中，飞船舱内环境温度会始终控制在22°C±4°C，为航天员营造舒适的温度环境．可知，载人飞船座舱内的最高温度是 ．【答案】26℃【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义列式计算即可．【详解】解：22+4=26°C，即载人飞船座舱内的最高温度是26℃，故答案为：26℃．【变式6-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）我市某天的最高气温为8℃，最低气温为零下2℃，则计算温差列式正确的是（    ）A．+8−+2 B．+8−−2 C．+8+−2 D．−8−−2【答案】B【分析】最高温度表示为+8℃，最低气温表示为−2℃，用最高减最低列式即可．【详解】由题意得，计算温差可列式为+8−−2，故选B．【点睛】本题考查正负数与加减法在实际生活中的应用，掌握生活中以零上温度为正，零下温度为负，是解题的关键．【变式6-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的是某地12月28日的天气预报，下列关于温度的信息正确的是（    ）A．当日温差为19°C B．当日温差为10°CC．最低气温为零下10°C D．最低气温为零下19°C【答案】C【分析】根据图片中的信息，利用有理数的减法法则计算即可判断．【详解】解：根据图片中的信息，利用有理数的减法法则计算可得：气温温差为10−(−10)=20(°C)．故A，B两个选项错误；最低气温为零下10°C，故C选项正确，D选项错误．故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数的意义，和有理数的减法运算，能从图片中获取准确信息是解题的关键．【变式6-3】（23-24七年级上·全国·课后作业）泗阳10月3日早上的温度是12℃，中午上升了6℃ ，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了7℃，则这天的温差是 ℃．【答案】7【分析】温差为一天内最高温度与最低温度的差值，所以可以解得答案.【详解】做高温度为12℃+6℃=18℃，最低温度为18℃-7℃=11℃，则温差为18℃-11℃=7℃.【点睛】本题考查了温差的概念，熟悉掌握概念是解决本题的关键.【题型7 应用正负数的实际意义解决时差问题】【例7】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）公元1247年著名数学家秦九韶完成的著作《数书九章》是中世纪世界数学的最高成就，书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年，这个时间我们记作+1247；约公元前150年中国现存最早的数学书《算数书》成书，那么这个时间可记作 ．【答案】−150【分析】本题考查了正负数的意义．熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义进行作答即可．【详解】解：∵公元1247记作+1247，∴约公元前150可记作−150，故答案为：−150．【变式7-1】（2024七年级·全国·竞赛）北京与纽约的时差为−13时（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚），如果现在是北京时间18时，那么纽约时间是 ．【答案】5时【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的减法，根据题意列式计算即可，熟练掌握正负数的意义是解此题的关键．【详解】解：由题意得：纽约时间为18−13=5时，故答案为：5时．【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ）A．10月10日1时；10月9日10时B．10月10日1时；10月8日10时C．10月9日21时；10月9日10时D．10月9日21时；10月10日12时【答案】A【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握题意是解题的关键．由统计表得出，悉尼比北京早2小时，纽约比北京晚13小时，计算即可．【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时+2小时=10月10日1时；纽约的时间：10月9日23时−13小时=10月9日10时．故选A．【变式7-3】（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）规定45分钟为1个单位时间，并以每天上午9时记为0，9时以前的时间记为负数，9时以后的时间记为正数，例如：8:15记为−1；9:45记为+1依此类推，则上午7:30应记为 ．【答案】−2【分析】先计算出上午7:30与上午9时相差几个单位时间，再根据“9时以前的时间记为负数”即可得出答案．【详解】解：∵45分钟为1个单位时间，∴上午9时前2个单位时间为上午7:30，∵上午9时记为0，9时以前的时间记为负数，∴上午7:30应记为−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查正负数的应用，解题的关键是理解“+”和“−”的意义．【题型8 应用正负数的实际意义解决允许偏差问题】【例8】（23-24七年级上·内蒙古·阶段练习）在新冠肺炎防控期间学校每天对学生的体温进行测量，学校给每个班级发放两个测温枪，说明书上有如图的参数．小明用测温枪测量的体温是36.5℃．他的实际体温m的范（     ）A．36.2°C⩽m⩽36.5°CB．36.5°C⩽m⩽36.8°CC．36.2°C⩽m⩽36.8°CD．36.2°C