还剩30页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题1.1探索勾股定理【十大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
- 北师大版2024-2025学年九年级数学上册突破提升专题1.1菱形的性质与判定【十大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
- 北师大版2024-2025学年九年级数学上册突破提升专题1.2矩形的性质与判定【十大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
- 北师大版2024-2025学年九年级数学上册突破提升专题1.3正方形的性质与判定【十二大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
- 北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题1.4运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
数学九年级上册2 矩形的性质与判定学案
展开
这是一份数学九年级上册2 矩形的性质与判定学案，共33页。学案主要包含了北师大版，题型2 勾股数，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26241" 【题型1 由三边长度判断直角三角形】 PAGEREF _Tc26241 \h 1
\l "_Tc20024" 【题型2 勾股数】 PAGEREF _Tc20024 \h 3
\l "_Tc15229" 【题型3 格点中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc15229 \h 6
\l "_Tc32609" 【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】 PAGEREF _Tc32609 \h 10
\l "_Tc26060" 【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】 PAGEREF _Tc26060 \h 13
\l "_Tc23738" 【题型6 确定直角三角形的个数】 PAGEREF _Tc23738 \h 17
\l "_Tc30735" 【题型7 勾股定理的逆定理的应用】 PAGEREF _Tc30735 \h 20
\l "_Tc27041" 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】 PAGEREF _Tc27041 \h 23
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由三边长度判断直角三角形】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．6，8，10
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【变式1-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）已知三角形的三边长a，b，c满足关系式a−7+|b−24|+(c−25)2=0，请判断此三角形的形状．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且b+c=2a，c−b=12a，则△ABC是：（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
知识点2：勾股数
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整数。
【题型2 勾股数】
【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．13，14 ，15C．6，8，10D．1，2，5
【变式2-1】（23-24八年级·河北保定·期中）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）
A．14B．16C．35D．37
【变式2-3】（23-24八年级·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
①b=_；
②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【题型3 格点中判断直角三角形】
【例3】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由．
【变式3-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P，则∠APD=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】
【例4】（23-24八年级·广西桂林·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，则∠BAD的度数为 °．
【变式4-1】（23-24八年级·江苏南京·专题练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，则点A到直线PC的距离是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）已知△ABC ,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=3，PB=4，PC=5
(1)证明△APC≌△AQB
(2)求三角形PBQ的面积
【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
【变式5-1】（22-23八年级·湖北孝感·阶段练习）设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边c上的高为h，试判断以c+ℎ，a+b，h为边长的三角形的形状，并证明．
【变式5-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【变式5-3】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【题型6 确定直角三角形的个数】
【例6】（23-24八年级·河北唐山·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
【变式6-3】（23-24八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410，则∠DBA= ．
【变式8-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，BD=4,CD=3．
(1)△BCD是哪种类型的三角形，请给出证明；
(2)求出线段AC的长．
【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B=90º，AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米．
（1）求AC的长．
（2）判断△ACD的形状，并证明．
（3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
专题1.2 一定是直角三角形吗【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27098" 【题型1 由三边长度判断直角三角形】 PAGEREF _Tc27098 \h 1
\l "_Tc18397" 【题型2 勾股数】 PAGEREF _Tc18397 \h 3
\l "_Tc29631" 【题型3 格点中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc29631 \h 6
\l "_Tc22082" 【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】 PAGEREF _Tc22082 \h 10
\l "_Tc5234" 【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】 PAGEREF _Tc5234 \h 13
\l "_Tc8237" 【题型6 确定直角三角形的个数】 PAGEREF _Tc8237 \h 17
\l "_Tc971" 【题型7 勾股定理的逆定理的应用】 PAGEREF _Tc971 \h 20
\l "_Tc30576" 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】 PAGEREF _Tc30576 \h 23
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由三边长度判断直角三角形】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可．
【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、2+2<5，不能构成三角形，不符合题意；
D、62+82=100=102，能构成直角三角形，符合题意；
故选D．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【答案】直角
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，
设三边分别为8x，15x，17x，
而8x2+15x2=289x2=17x2，
∴三角形构成直角三角形，
故答案为：直角
【变式1-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）已知三角形的三边长a，b，c满足关系式a−7+|b−24|+(c−25)2=0，请判断此三角形的形状．
【答案】此三角形是直角三角形
【分析】本题考查非负数的性质、勾股定理的逆定理，根据算术平方根、绝对值、平方数的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理可判断出此三角形是直角三角形．
【详解】解：∵ a−7+|b−24|+(c−25)2=0，
∴ a−7=0，b−24=0，c−25=0，
∴ a=7，b=24，c=25，
∵ 72+242=252，
∴ a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且b+c=2a，c−b=12a，则△ABC是：（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．
【详解】解：∵b+c=2a①，c−b=12a②，
由①+②得c=54a，
由①−②得b=34a
∴a2+b2=a2+34a2=2516a2=54a2=c2，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，又a≠b≠c，
∴选项A符合题意，
故选：A．
知识点2：勾股数
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整数。
【题型2 勾股数】
【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．13，14 ，15C．6，8，10D．1，2，5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键．
根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可．
【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82=102，是勾股数，符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级·河北保定·期中）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了勾股数的定义，分 x为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
【详解】解：当x为直角边时，x=152−82=161，不是正整数，不符合题意，
当x为斜边时，x=152+82=17，是正整数，符合题意，
综上，若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17，
故答案为：17．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）
A．14B．16C．35D．37
【答案】C
【分析】依题意，设斜边为x，则股为x−2，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为x−2，
∴122+x−22=x2，
解得：x=37，
∴股为x−2=37−2=35，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
【变式2-3】（23-24八年级·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
①b=_；
②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）a=6,b=8,c=10；探究2（1）12(49−1),12(49+1)；（2）12(n2−1)，12(n2+1)；（3）①80，②(m2)2−1，弦(m2)2+1
【分析】探究1：（1）根据勾股定理a2+b2=c2，令k＝2即可求解（答案不唯一）；
（2）根据完全平方公式求出a2+b2、c2根据勾股定理逆定理即可求证；
（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；
探究2：（1）根据规律即求解；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝12(n2−1)，弦＝12(n2+1)；
（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．
【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：
(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n2+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+1
∴(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1，
∴(2n+1)2+(2n2+2n）2=(2n2+2n+1）2，
满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）∵a2+b2=[12(m2−n2)]2+(mn)2=14m4−12m2n2+14n2+m2n2＝14m4+12m2n2+14n2 =[12(m2+n2)]2=c2
∴满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
当m=4,n=2时，a=12(m2−n2)=6,b=mn=8,c=12(m2+n2)=10，
∴6,8,10构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为7，
则股24=12(49−1)，
弦25=12(49+1)，
（2）如果勾用n(n≥3，且n为奇数）表示时，
则股=12(n2−1)，
弦=12(n2+1)
（3）①b＝80．
②根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，
则另一条直角边b=(m2)2−1
弦c=(m2)2+1
【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足a2+b2=c2的三个正整数均为勾股数是解题的关键．
【题型3 格点中判断直角三角形】
【例3】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
【答案】(1)画图见解析；（画出三个中的一个即可）
(2)图1和图2中两直角△ABC面积都是2.5，图3中直角△ABC面积是5．
【分析】（1）根据网格特点及勾股定理逆定理画图即可；
（2）根据（1）中所作的图形，利用割补法求出三角形面积即可；
本题考查了利用网格和勾股定理逆定理画直角三角形，利用割补法三角形面积，利用网格正确画出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所求，△ABC即为所求；（画出三个中的一个即可）
（2）解：当所画的直角三角形是图1时，S△ABC=2×3−12×2×1−12×1×3−12×1×2=2.5；
当所画的直角三角形是图2时，S△ABC=3×2−12×2×1−12×1×2−12×3×1=2.5；
当所画的直角三角形是图3时，S△ABC=4×4−12×2×1−12×2×4−12×4×3=5．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数．
【答案】∠BAC=90°．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求得AB2,AC2,BC2，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：AB2=22+12=5
AC2=42+22=20
BC2=52=25
∵AB2+AC2=20+5=25=BC2
∴△ABC是直角三角形
∴∠BAC=90°
【变式3-2】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)17.5
(2)BC⊥CD，理由见解析
【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据四边形ABCD的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD的面积为：
7×5−12×4×2−12×1×7−12×4×3−12×1×2−1×3
=35−4−3.5−6−1−3
=17.5；
（2）解：BC⊥CD，
理由：如图，连接BD，
∵BC2=42+22=20，CD2=22+12=5，BD2=32+42=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
即BC⊥CD．
【变式3-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P，则∠APD=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【答案】C
【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形△BEF，根据勾股定理BF2+EF2=BF2，求出∠B=45°．
【详解】解：如图，过点B作BF∥CD，
∴∠B=∠APD，
∵AB过格点E，
连接EF，
∵BE=EF=22+12=5，
∴BE2+EF2=BF2，
∴∠BEF=90°，
∴∠B=45°，
∴∠APD=45°，
故选：D．
【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】
【例4】（23-24八年级·广西桂林·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，则∠BAD的度数为 °．
【答案】135
【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得∠BAC=∠BCA=45°，再根据勾股定理可得AC2=18，然后根据勾股定理逆定理可知∠CAD=90°，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴ ∠BAC=∠BCA=12×(180°−90°)=45°，AC2=AB2+BC2=32+32=18，
∵ AD=7，CD=5，
∴AD2=7，CD2=25，
∴AD2+AC2=CD2，
即∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°．
故答案为：135
【变式4-1】（23-24八年级·江苏南京·专题练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，则点A到直线PC的距离是 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明△APC为直角三角形，得AP⊥PC，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案．
【详解】解：∵PA=4，PC=3，AC=5，
∴PA2+PC2=AC2，
∴△APC为直角三角形，即∠APC=90°，
∴AP⊥PC，
∴点A到直线PC的距离是是线段AP的长，
即点A到直线PC的距离是是4．
故答案为：4．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）已知△ABC ,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 ．
【答案】6013
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当BP⊥AC时，线段BP最短，勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，等积法求出BP的长即可．
【详解】解：∵AB=5,BC=12,AC=13，52+122=132，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∵垂线段最短，
∴当BP⊥AC时，线段BP最短，
∴12AC⋅BP=12AB⋅BC，
∴13BP=12×5，
∴BP=6013；
故答案为：6013．
【变式4-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=3，PB=4，PC=5
(1)证明△APC≌△AQB
(2)求三角形PBQ的面积
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先由等边三角形的性质得到AC=AB，∠BAC=60°，再由旋转的性质得到AP=AQ，∠PAQ=60°，据此证明∠PAC=∠QAB，再利用SAS即可证明△APC≌△AQB；
（2）先证明△PAQ是等边三角形，得到PQ=PA=3，再利用勾股定理的逆定理证明∠BPQ=90°，据此利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=60°，
由旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，即∠PAC=∠QAB，
∴△APC≌△AQBSAS；
（2）解：由旋转的性质可得AP=AQ=3，∠PAQ=60°，CP=BQ=5，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ=PA=3，
∵PB=4，
∴PB2+PQ2=32+42=25=52=BQ2，
∴△BPQ是直角三角形，且∠BPQ=90°，
∴S△BPQ=12PB⋅PQ=12×3×4=6．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
【答案】见解析
【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF．
∴BE=CE=2，CF=1，DF=3，
由勾股定理得，
AE2=AB2+BE2=42+22=20，
EF2=CE2+CF2=22+12=5，
AF2=AD2+DF2=42+32=25，
又∵AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解决此题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北孝感·阶段练习）设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边c上的高为h，试判断以c+ℎ，a+b，h为边长的三角形的形状，并证明．
【答案】三角形是直角三角形．
【分析】先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．
【详解】解：根据题意可知：
由勾股定理得a2+b2=c2，由面积得ab=cℎ，
∵(c+ℎ)2=c2+2cℎ+ℎ2=a2+b2+2ab+ℎ2，
(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴(a+b)2+ℎ2=(c+ℎ)2，
∴三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形．
【变式5-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【答案】(1)AD⊥AB，理由见解析
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，
（1）由勾股定理逆定理求出∠DAB=90°，则可得出结论；
（2）在AB边上量一小段AE=8cm，在AD边上量一小段AF=6cm，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
【详解】（1）解：垂直，理由为：
在△ADB中，因为AD=60cm，AB=80cm，BD=100cm，
所以AB2+AD2=100cm，
∴ AB2+AD2=BD2，
所以∠DAB=90°，
所以AD⊥AB．
（2）解：在AB边上量一小段AE=8cm，
在AD边上量一小段AF=6cm，AE2+AF2=82+62=100=102，
这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
【变式5-3】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【答案】(1)∠A=45°
(2)证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键．
（1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB−AD=c−a，DE=BE=12c−a，AE=12a+c，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=BC，AC>AB，
∴a=c，b>c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2=b2，
∴c2+a2=b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
（2）解：如图：以在AB上找一点D使得AD=CD，再作CE⊥BD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，
∵∠B=2∠A，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∴DB=AB−AD=c−a，
∵CE⊥AB
∴DE=BE=12c−a，
∴AE=AD+DE=a+12c−a=12c+a，
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=b2−12c+a2，
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=a2−12c−a2，
∴b2−12c+a2=a2−12c−a2，
∴b2=ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
【题型6 确定直角三角形的个数】
【例6】（23-24八年级·河北唐山·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2cm；
【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解．
【详解】解：如图所示，点B的坐标不可能是(4,2)，
A.点(−4,2)时，∠KAO=90°，此项不符合题意；
B.点(0,4)时，∠MOA=90°，此项不符合题意；
C.点(4,2)时，如图，△OAB不是直角三角，符合题意；
D.点(−2,2)时，由勾股定理求得AL=22,OL=22,故AO2=AL2+OL2，即∠ALO=90°,此项不符合题意；
故选：D．
【变式6-3】（23-24八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】（0，0），（233，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
∴(23)2+22+m2+22=(m+23)2，
解得，m＝233，
∴点P的坐标为（233，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（233，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
【题型7 勾股定理的逆定理的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB=250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN=120m，到喷泉B的距离BM=150m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．
【答案】(1)350 m
(2)150m
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，
（1）在Rt△MNB中，根据勾股定理求得BN的长，进而求得AN的长，在Rt△AMN中，勾股定理求得AM的长即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，可得BM⊥AC，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△MNB中，BN=BM2−MN2=1502−1202=90(m)，
∴AN=AB−BN=250−90=160(m)，
在Rt△AMN中，AM=AN2+MN2=1602+1202=200(m)，
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长：200+150=350(m)；
（2）解：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，1502+2002=2502，
∴AB2=BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC．
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m．
【变式7-1】（23-24八年级·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，这块沙田的面积是 平方丈
【答案】84
【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意，画出示意图如下：
∵ AB=24丈，BC=7丈，AC=25丈，
∴ AB2+BC2=242+72=625，AC=252=625，
∴ AB2+BC2=AC2，
∴ △ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴ S△ABC=12AB·BC=12×24×7=84（平方丈）,
故答案为：84．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）某日早晨9:00甲渔船以12海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，10:00乙渔船以10海里/时的速度离开港口O沿某一方向航行．上午11:00两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ．
【答案】东南方向或西北方向
【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则OA=12×11−9=24(海里)，OB=10×11−10=10(海里)，AB=26海里，由勾股定理的逆定理，判定出∠AOB=90°，再由OA表示东北方向，即可得出OB表示的方向．
【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，
由题意，得OA=12×11−9=24 (海里)，OB=10×11−10=10 (海里)，AB=26海里，
∵OA2+OB2=242+102=262=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
∵OA表示东北方向，
∴OB表示东南方向或西北方向．如图，
故答案为：东南方向或西北方向．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图．其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接，即∠ABD=90°，根据安全标准需满足BC⊥CD．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量BD，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断．
【答案】需要测量AB，AD，BC和CD的长，见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出BD的长，由BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即可作判断．
【详解】解：判断该车是否符合安全标准，需要测量AB，AD，BC和CD的长，
判断如下：
在Rt△ABD中，BD2=AD2−AB2，可计算BD的长，
在△BCD中，根据BC2+CD2=BD2，
可判断△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410，则∠DBA= ．
【答案】45°/45度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=22，AC=22，
∴∠ABC=45°，BC=AB2+AC2=4，
∵BD=12，DC=410，
∴ BD2+BC2=144+16=160=DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，
∴∠DBA=∠DBC−∠ABC=45°，
故答案为：45°．
【变式8-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，
（2）判断△ACD的形状，并证明．
（3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
【答案】（1）AC=10米；（2）△ACD是直角三角形，证明见详解；（3）需要投入43200元．
【分析】（1）根据题意及勾股定理可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可根据勾股定理逆定理进行求证即可；
（3）先求出四边形ABCD的面积，然后进行列式求解即可．
【详解】解：（1）∵∠B=90º，AB=6米，BC=8米，
∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+82=10米，
即AC的长为10米；
（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
由（1）得AC=10米，
∵CD=24米，AD=26米，
∴AC2+CD2=102+242=676,AD2=262=676，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（3）由（1）（2）及题意得：
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=24+120=144（平方米），
∴300×144=43200（元）；
答：需投入43200元．
【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
【答案】45
【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，连接PP'，利用旋转的性质得到∠PBP'=90°，BP=BP'=52，AP=CP'=26，由等腰直角三角形性质可得∠BPP'=∠BP'P=45°，利用勾股定理得到PP'2，进而得到PC2+PP'2=CP'2，由勾股定理逆定理可知，∠CPP'=90°，最后根据∠BPC=∠CPP'−∠BPP'，即可求得∠BPC．
【详解】解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，连接PP'，
∴△ABP≌△CBP'，
∵ PA=26，PB=52，
∴∠PBP'=90°，BP=BP'=52，AP=CP'=26，
∴∠BPP'=∠BP'P=45°，
∴PP'2=BP2+BP'2=10，
∵ PC=24，
∴PC2+PP'2=676，CP'2=262=676，
∴ PC2+PP'2=CP'2，
∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠BPC=∠CPP'−∠BPP'=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc26241" 【题型1 由三边长度判断直角三角形】 PAGEREF _Tc26241 \h 1
\l "_Tc20024" 【题型2 勾股数】 PAGEREF _Tc20024 \h 3
\l "_Tc15229" 【题型3 格点中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc15229 \h 6
\l "_Tc32609" 【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】 PAGEREF _Tc32609 \h 10
\l "_Tc26060" 【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】 PAGEREF _Tc26060 \h 13
\l "_Tc23738" 【题型6 确定直角三角形的个数】 PAGEREF _Tc23738 \h 17
\l "_Tc30735" 【题型7 勾股定理的逆定理的应用】 PAGEREF _Tc30735 \h 20
\l "_Tc27041" 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】 PAGEREF _Tc27041 \h 23
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由三边长度判断直角三角形】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．6，8，10
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【变式1-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）已知三角形的三边长a，b，c满足关系式a−7+|b−24|+(c−25)2=0，请判断此三角形的形状．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且b+c=2a，c−b=12a，则△ABC是：（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
知识点2：勾股数
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整数。
【题型2 勾股数】
【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．13，14 ，15C．6，8，10D．1，2，5
【变式2-1】（23-24八年级·河北保定·期中）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）
A．14B．16C．35D．37
【变式2-3】（23-24八年级·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
①b=_；
②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【题型3 格点中判断直角三角形】
【例3】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由．
【变式3-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P，则∠APD=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】
【例4】（23-24八年级·广西桂林·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，则∠BAD的度数为 °．
【变式4-1】（23-24八年级·江苏南京·专题练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，则点A到直线PC的距离是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）已知△ABC ,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=3，PB=4，PC=5
(1)证明△APC≌△AQB
(2)求三角形PBQ的面积
【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
【变式5-1】（22-23八年级·湖北孝感·阶段练习）设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边c上的高为h，试判断以c+ℎ，a+b，h为边长的三角形的形状，并证明．
【变式5-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【变式5-3】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【题型6 确定直角三角形的个数】
【例6】（23-24八年级·河北唐山·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
【变式6-3】（23-24八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410，则∠DBA= ．
【变式8-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，BD=4,CD=3．
(1)△BCD是哪种类型的三角形，请给出证明；
(2)求出线段AC的长．
【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B=90º，AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米．
（1）求AC的长．
（2）判断△ACD的形状，并证明．
（3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
专题1.2 一定是直角三角形吗【八大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27098" 【题型1 由三边长度判断直角三角形】 PAGEREF _Tc27098 \h 1
\l "_Tc18397" 【题型2 勾股数】 PAGEREF _Tc18397 \h 3
\l "_Tc29631" 【题型3 格点中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc29631 \h 6
\l "_Tc22082" 【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】 PAGEREF _Tc22082 \h 10
\l "_Tc5234" 【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】 PAGEREF _Tc5234 \h 13
\l "_Tc8237" 【题型6 确定直角三角形的个数】 PAGEREF _Tc8237 \h 17
\l "_Tc971" 【题型7 勾股定理的逆定理的应用】 PAGEREF _Tc971 \h 20
\l "_Tc30576" 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】 PAGEREF _Tc30576 \h 23
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由三边长度判断直角三角形】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．6，8，10
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可．
【详解】解：A、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、2+2<5，不能构成三角形，不符合题意；
D、62+82=100=102，能构成直角三角形，符合题意；
故选D．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【答案】直角
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，
设三边分别为8x，15x，17x，
而8x2+15x2=289x2=17x2，
∴三角形构成直角三角形，
故答案为：直角
【变式1-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）已知三角形的三边长a，b，c满足关系式a−7+|b−24|+(c−25)2=0，请判断此三角形的形状．
【答案】此三角形是直角三角形
【分析】本题考查非负数的性质、勾股定理的逆定理，根据算术平方根、绝对值、平方数的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理可判断出此三角形是直角三角形．
【详解】解：∵ a−7+|b−24|+(c−25)2=0，
∴ a−7=0，b−24=0，c−25=0，
∴ a=7，b=24，c=25，
∵ 72+242=252，
∴ a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且b+c=2a，c−b=12a，则△ABC是：（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可．
【详解】解：∵b+c=2a①，c−b=12a②，
由①+②得c=54a，
由①−②得b=34a
∴a2+b2=a2+34a2=2516a2=54a2=c2，即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，又a≠b≠c，
∴选项A符合题意，
故选：A．
知识点2：勾股数
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整数。
【题型2 勾股数】
【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．13，14 ，15C．6，8，10D．1，2，5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解决本题的关键．
根据勾股数的定义：三边是正整数且两小边的平方和等于第三边的平方，进行求解即可．
【详解】A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82=102，是勾股数，符合题意；
D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：D．
【变式2-1】（23-24八年级·河北保定·期中）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了勾股数的定义，分 x为直角边和斜边两种情况分类讨论，再由勾股数的定义得出答案即可，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．
【详解】解：当x为直角边时，x=152−82=161，不是正整数，不符合题意，
当x为斜边时，x=152+82=17，是正整数，符合题意，
综上，若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17，
故答案为：17．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）
A．14B．16C．35D．37
【答案】C
【分析】依题意，设斜边为x，则股为x−2，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为x−2，
∴122+x−22=x2，
解得：x=37，
∴股为x−2=37−2=35，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
【变式2-3】（23-24八年级·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
①b=_；
②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）a=6,b=8,c=10；探究2（1）12(49−1),12(49+1)；（2）12(n2−1)，12(n2+1)；（3）①80，②(m2)2−1，弦(m2)2+1
【分析】探究1：（1）根据勾股定理a2+b2=c2，令k＝2即可求解（答案不唯一）；
（2）根据完全平方公式求出a2+b2、c2根据勾股定理逆定理即可求证；
（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；
探究2：（1）根据规律即求解；
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝12(n2−1)，弦＝12(n2+1)；
（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．
【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·
（2）证明：
(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n2+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+1
∴(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1，
∴(2n+1)2+(2n2+2n）2=(2n2+2n+1）2，
满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）∵a2+b2=[12(m2−n2)]2+(mn)2=14m4−12m2n2+14n2+m2n2＝14m4+12m2n2+14n2 =[12(m2+n2)]2=c2
∴满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
当m=4,n=2时，a=12(m2−n2)=6,b=mn=8,c=12(m2+n2)=10，
∴6,8,10构成一组勾股数．(答案不唯一）
探究2：（1）依据规律可得，如果勾为7，
则股24=12(49−1)，
弦25=12(49+1)，
（2）如果勾用n(n≥3，且n为奇数）表示时，
则股=12(n2−1)，
弦=12(n2+1)
（3）①b＝80．
②根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=m(m为偶数且m≥4)，
则另一条直角边b=(m2)2−1
弦c=(m2)2+1
【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足a2+b2=c2的三个正整数均为勾股数是解题的关键．
【题型3 格点中判断直角三角形】
【例3】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
【答案】(1)画图见解析；（画出三个中的一个即可）
(2)图1和图2中两直角△ABC面积都是2.5，图3中直角△ABC面积是5．
【分析】（1）根据网格特点及勾股定理逆定理画图即可；
（2）根据（1）中所作的图形，利用割补法求出三角形面积即可；
本题考查了利用网格和勾股定理逆定理画直角三角形，利用割补法三角形面积，利用网格正确画出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所求，△ABC即为所求；（画出三个中的一个即可）
（2）解：当所画的直角三角形是图1时，S△ABC=2×3−12×2×1−12×1×3−12×1×2=2.5；
当所画的直角三角形是图2时，S△ABC=3×2−12×2×1−12×1×2−12×3×1=2.5；
当所画的直角三角形是图3时，S△ABC=4×4−12×2×1−12×2×4−12×4×3=5．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数．
【答案】∠BAC=90°．
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求得AB2,AC2,BC2，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：AB2=22+12=5
AC2=42+22=20
BC2=52=25
∵AB2+AC2=20+5=25=BC2
∴△ABC是直角三角形
∴∠BAC=90°
【变式3-2】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)17.5
(2)BC⊥CD，理由见解析
【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据四边形ABCD的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】（1）解：四边形ABCD的面积为：
7×5−12×4×2−12×1×7−12×4×3−12×1×2−1×3
=35−4−3.5−6−1−3
=17.5；
（2）解：BC⊥CD，
理由：如图，连接BD，
∵BC2=42+22=20，CD2=22+12=5，BD2=32+42=25，
∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
即BC⊥CD．
【变式3-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P，则∠APD=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【答案】C
【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形△BEF，根据勾股定理BF2+EF2=BF2，求出∠B=45°．
【详解】解：如图，过点B作BF∥CD，
∴∠B=∠APD，
∵AB过格点E，
连接EF，
∵BE=EF=22+12=5，
∴BE2+EF2=BF2，
∴∠BEF=90°，
∴∠B=45°，
∴∠APD=45°，
故选：D．
【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】
【例4】（23-24八年级·广西桂林·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，则∠BAD的度数为 °．
【答案】135
【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得∠BAC=∠BCA=45°，再根据勾股定理可得AC2=18，然后根据勾股定理逆定理可知∠CAD=90°，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=3，
∴ ∠BAC=∠BCA=12×(180°−90°)=45°，AC2=AB2+BC2=32+32=18，
∵ AD=7，CD=5，
∴AD2=7，CD2=25，
∴AD2+AC2=CD2，
即∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°．
故答案为：135
【变式4-1】（23-24八年级·江苏南京·专题练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，则点A到直线PC的距离是 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明△APC为直角三角形，得AP⊥PC，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案．
【详解】解：∵PA=4，PC=3，AC=5，
∴PA2+PC2=AC2，
∴△APC为直角三角形，即∠APC=90°，
∴AP⊥PC，
∴点A到直线PC的距离是是线段AP的长，
即点A到直线PC的距离是是4．
故答案为：4．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）已知△ABC ,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 ．
【答案】6013
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短得到当BP⊥AC时，线段BP最短，勾股定理逆定理求出△ABC是直角三角形，等积法求出BP的长即可．
【详解】解：∵AB=5,BC=12,AC=13，52+122=132，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∵垂线段最短，
∴当BP⊥AC时，线段BP最短，
∴12AC⋅BP=12AB⋅BC，
∴13BP=12×5，
∴BP=6013；
故答案为：6013．
【变式4-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=3，PB=4，PC=5
(1)证明△APC≌△AQB
(2)求三角形PBQ的面积
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）先由等边三角形的性质得到AC=AB，∠BAC=60°，再由旋转的性质得到AP=AQ，∠PAQ=60°，据此证明∠PAC=∠QAB，再利用SAS即可证明△APC≌△AQB；
（2）先证明△PAQ是等边三角形，得到PQ=PA=3，再利用勾股定理的逆定理证明∠BPQ=90°，据此利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=60°，
由旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴∠PAQ−∠BAP=∠BAC−∠BAP，即∠PAC=∠QAB，
∴△APC≌△AQBSAS；
（2）解：由旋转的性质可得AP=AQ=3，∠PAQ=60°，CP=BQ=5，
∴△PAQ是等边三角形，
∴PQ=PA=3，
∵PB=4，
∴PB2+PQ2=32+42=25=52=BQ2，
∴△BPQ是直角三角形，且∠BPQ=90°，
∴S△BPQ=12PB⋅PQ=12×3×4=6．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
【答案】见解析
【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵正方形ABCD的边长是4，BE=CE，DF=3CF．
∴BE=CE=2，CF=1，DF=3，
由勾股定理得，
AE2=AB2+BE2=42+22=20，
EF2=CE2+CF2=22+12=5，
AF2=AD2+DF2=42+32=25，
又∵AE2+EF2=AF2，
∴△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握其定理是解决此题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北孝感·阶段练习）设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边c上的高为h，试判断以c+ℎ，a+b，h为边长的三角形的形状，并证明．
【答案】三角形是直角三角形．
【分析】先利用勾股定理得到a，b，c，h之间的关系，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．
【详解】解：根据题意可知：
由勾股定理得a2+b2=c2，由面积得ab=cℎ，
∵(c+ℎ)2=c2+2cℎ+ℎ2=a2+b2+2ab+ℎ2，
(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴(a+b)2+ℎ2=(c+ℎ)2，
∴三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的运用．要会熟练利用勾股定理的逆定理来判定直角三角形．
【变式5-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【答案】(1)AD⊥AB，理由见解析
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，
（1）由勾股定理逆定理求出∠DAB=90°，则可得出结论；
（2）在AB边上量一小段AE=8cm，在AD边上量一小段AF=6cm，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
【详解】（1）解：垂直，理由为：
在△ADB中，因为AD=60cm，AB=80cm，BD=100cm，
所以AB2+AD2=100cm，
∴ AB2+AD2=BD2，
所以∠DAB=90°，
所以AD⊥AB．
（2）解：在AB边上量一小段AE=8cm，
在AD边上量一小段AF=6cm，AE2+AF2=82+62=100=102，
这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
【变式5-3】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【答案】(1)∠A=45°
(2)证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键．
（1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB−AD=c−a，DE=BE=12c−a，AE=12a+c，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵AB=BC，AC>AB，
∴a=c，b>c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2=b2，
∴c2+a2=b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
（2）解：如图：以在AB上找一点D使得AD=CD，再作CE⊥BD，
∴∠A=∠ACD，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A，
∵∠B=2∠A，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB=a，
∴AD=CD=a，
∴DB=AB−AD=c−a，
∵CE⊥AB
∴DE=BE=12c−a，
∴AE=AD+DE=a+12c−a=12c+a，
在Rt△ACE中，CE2=AC2−AE2=b2−12c+a2，
在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=a2−12c−a2，
∴b2−12c+a2=a2−12c−a2，
∴b2=ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
【题型6 确定直角三角形的个数】
【例6】（23-24八年级·河北唐山·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
【答案】8
【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则∠C=90°；（2）AB为直角边，AC=2cm或BC=2cm；
【详解】（1）当AB为斜边时，点C到直线AB的距离为2cm，即AB边上的高为2cm，符合要求的C点有4个，如图：
（2）当AB为直角边时，AC=2cm或BC=2cm，符合条件的点有4个，如图；
符合要求的C点有8个；
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可．
【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个，
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解．
【详解】解：如图所示，点B的坐标不可能是(4,2)，
A.点(−4,2)时，∠KAO=90°，此项不符合题意；
B.点(0,4)时，∠MOA=90°，此项不符合题意；
C.点(4,2)时，如图，△OAB不是直角三角，符合题意；
D.点(−2,2)时，由勾股定理求得AL=22,OL=22,故AO2=AL2+OL2，即∠ALO=90°,此项不符合题意；
故选：D．
【变式6-3】（23-24八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】（0，0），（233，0），（﹣2，0）
【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．
【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，
∴P、A、B三点不能构成三角形．
设点P的坐标为（m，0）．
当△PAC为直角三角形时，
①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠ACP＝90°时，如图，
∵∠ACP＝90°
∴AC2＋PC2＝AP2，
∴(23)2+22+m2+22=(m+23)2，
解得，m＝233，
∴点P的坐标为（233，0）；
当△PBC为直角三角形时，
①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；
②∠BCP＝90°时，
∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，
∴PO＝BO＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
综上所述点P的坐标为（0，0），（233，0），（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．
【题型7 勾股定理的逆定理的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB=250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN=120m，到喷泉B的距离BM=150m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．
【答案】(1)350 m
(2)150m
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，
（1）在Rt△MNB中，根据勾股定理求得BN的长，进而求得AN的长，在Rt△AMN中，勾股定理求得AM的长即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABM是直角三角形，可得BM⊥AC，即可求解．
【详解】（1）解：在Rt△MNB中，BN=BM2−MN2=1502−1202=90(m)，
∴AN=AB−BN=250−90=160(m)，
在Rt△AMN中，AM=AN2+MN2=1602+1202=200(m)，
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长：200+150=350(m)；
（2）解：∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，1502+2002=2502，
∴AB2=BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC．
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m．
【变式7-1】（23-24八年级·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，这块沙田的面积是 平方丈
【答案】84
【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】解：根据题意，画出示意图如下：
∵ AB=24丈，BC=7丈，AC=25丈，
∴ AB2+BC2=242+72=625，AC=252=625，
∴ AB2+BC2=AC2，
∴ △ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴ S△ABC=12AB·BC=12×24×7=84（平方丈）,
故答案为：84．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）某日早晨9:00甲渔船以12海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，10:00乙渔船以10海里/时的速度离开港口O沿某一方向航行．上午11:00两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ．
【答案】东南方向或西北方向
【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，则OA=12×11−9=24(海里)，OB=10×11−10=10(海里)，AB=26海里，由勾股定理的逆定理，判定出∠AOB=90°，再由OA表示东北方向，即可得出OB表示的方向．
【详解】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B，
由题意，得OA=12×11−9=24 (海里)，OB=10×11−10=10 (海里)，AB=26海里，
∵OA2+OB2=242+102=262=AB2，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
∵OA表示东北方向，
∴OB表示东南方向或西北方向．如图，
故答案为：东南方向或西北方向．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图．其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接，即∠ABD=90°，根据安全标准需满足BC⊥CD．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量BD，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断．
【答案】需要测量AB，AD，BC和CD的长，见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出BD的长，由BC2+CD2=BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即可作判断．
【详解】解：判断该车是否符合安全标准，需要测量AB，AD，BC和CD的长，
判断如下：
在Rt△ABD中，BD2=AD2−AB2，可计算BD的长，
在△BCD中，根据BC2+CD2=BD2，
可判断△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410，则∠DBA= ．
【答案】45°/45度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=22，AC=22，
∴∠ABC=45°，BC=AB2+AC2=4，
∵BD=12，DC=410，
∴ BD2+BC2=144+16=160=DC2，
∴△DBC是直角三角形，∠DBC=90°，
∴∠DBA=∠DBC−∠ABC=45°，
故答案为：45°．
【变式8-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，
（2）判断△ACD的形状，并证明．
（3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
【答案】（1）AC=10米；（2）△ACD是直角三角形，证明见详解；（3）需要投入43200元．
【分析】（1）根据题意及勾股定理可直接进行求解；
（2）由（1）及题意可根据勾股定理逆定理进行求证即可；
（3）先求出四边形ABCD的面积，然后进行列式求解即可．
【详解】解：（1）∵∠B=90º，AB=6米，BC=8米，
∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+82=10米，
即AC的长为10米；
（2）△ACD是直角三角形，理由如下：
由（1）得AC=10米，
∵CD=24米，AD=26米，
∴AC2+CD2=102+242=676,AD2=262=676，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（3）由（1）（2）及题意得：
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=24+120=144（平方米），
∴300×144=43200（元）；
答：需投入43200元．
【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．
【答案】45
【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，连接PP'，利用旋转的性质得到∠PBP'=90°，BP=BP'=52，AP=CP'=26，由等腰直角三角形性质可得∠BPP'=∠BP'P=45°，利用勾股定理得到PP'2，进而得到PC2+PP'2=CP'2，由勾股定理逆定理可知，∠CPP'=90°，最后根据∠BPC=∠CPP'−∠BPP'，即可求得∠BPC．
【详解】解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△CBP'，连接PP'，
∴△ABP≌△CBP'，
∵ PA=26，PB=52，
∴∠PBP'=90°，BP=BP'=52，AP=CP'=26，
∴∠BPP'=∠BP'P=45°，
∴PP'2=BP2+BP'2=10，
∵ PC=24，
∴PC2+PP'2=676，CP'2=262=676，
∴ PC2+PP'2=CP'2，
∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠BPC=∠CPP'−∠BPP'=45°，
故答案为：45．
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，等腰三角形性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题．
相关学案
数学北师大版（2024）1 菱形的性质与判定学案： 这是一份数学北师大版（2024）<a href="/sx/tb_c99890_t4/?tag_id=42" target="_blank">1 菱形的性质与判定学案</a>，共51页。学案主要包含了北师大版，题型8 勾股树，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
初中6 应用一元二次方程学案及答案： 这是一份初中<a href="/sx/tb_c99899_t4/?tag_id=42" target="_blank">6 应用一元二次方程学案及答案</a>，共46页。学案主要包含了北师大版，题型1 数字问题，题型2 增长率问题，题型3 利润问题，题型5 传播问题，题型6 工程问题，题型7 行程问题，题型9 古文问题等内容，欢迎下载使用。
数学九年级上册1 认识一元二次方程导学案： 这是一份数学九年级上册<a href="/sx/tb_c99894_t4/?tag_id=42" target="_blank">1 认识一元二次方程导学案</a>，共24页。学案主要包含了北师大版，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
