北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题1.4运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】学案(学生版+解析)

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专题1.4 运用勾股定理解决最短路径问题【八大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27805" 【题型1 正方体中的最短路径】  PAGEREF _Toc27805 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc26913" 【题型2 长方体中的最短路径】  PAGEREF _Toc26913 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16589" 【题型3 圆柱中的最短路径】  PAGEREF _Toc16589 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21523" 【题型4 圆锥中的最短路径】  PAGEREF _Toc21523 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1430" 【题型5 台阶中的最短路径】  PAGEREF _Toc1430 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc16508" 【题型6 由垂线段最短求最短路径】  PAGEREF _Toc16508 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11563" 【题型7 由将军饮马求最短路径】  PAGEREF _Toc11563 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11240" 【题型8 不规则图形中求最短路径】  PAGEREF _Toc11240 \h 9【题型1 正方体中的最短路径】【例1】（23-24八年级·江西抚州·阶段练习）如图，在棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成9个小正方形，每个小正方形的边长都为1cm．若一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B点最少要花多长时间？  【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（    ）A．12 B．13 C．14 D．17【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）dm．A．15 B．9 C．313 D．510【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．【题型2 长方体中的最短路径】【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）  A．3+213cm B．97cm C．85cm D．109cm 【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 cm．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）  A．1029cm B．1037cm C．50cm D．45cm【题型3 圆柱中的最短路径】【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC=6，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（    ）A．4 B．4π C．8 D．10【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高BC=3cm，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．【题型4 圆锥中的最短路径】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.（1）扇形的圆心角θ为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）v  A．30 cm B．303 cm C．60 cm D．20π cm【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　）A． B．2 C．3 D．4【题型5 台阶中的最短路径】【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ）A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ）A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，34 m和14 m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ）A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 ．【题型6 由垂线段最短求最短路径】【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为6km、8km，A，B两村的距离为10km，那么这条水泥路的最短距离为多少？【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）如图A，B，C为三个村庄，A，B两村沿河而建且相距17千米，A，C相距52千米，B，C相距13千米，C村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（    ）万元A．6 B．1522 C．4.5 D．7.5【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=______，S△EBC=______，S四边形AECD=______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．知识运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求出AP的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+16−x2+81的最小值05，∴图1中的路径最短，∴这只蚂蚁至少要爬行的时间为5÷2=2.5s．    【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用，“化曲面为平面”是解决“怎么爬行最近”这类问题的关键．【变式1-1】（23-24八年级·四川乐山·期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为BC的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（    ）A．12 B．13 C．14 D．17【答案】B【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键．【详解】解：如图，蚂蚁沿路线AM爬行路程最短，∵BC=2，M为BC的中点，∴MD=3,AD=2，∴AM=32+22=13．故选：A．【变式1-2】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图，有一棱长为3dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为（    ）dm．A．15 B．9 C．313 D．510【答案】C【分析】此题考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”解题的关键．【详解】如图，将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线，展开后由勾股定理得：AD2=AM2+DM2，∴AD2=92+62=117，即有：AD=313cm，故选：D．【变式1-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．【答案】45cm．【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；【详解】解：如图，有两种展开方法：方法一∶PA=(5+3)2+(3+1)2=45cm，方法二∶PA=(5+3+1)2+32=310cm．故需要爬行的最短距离是45cm．故答案为：45cm．【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【题型2 长方体中的最短路径】【例2】（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期末）如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）  A．3+213cm B．97cm C．85cm D．109cm 【答案】C【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．本题考查平面展开路径问题、勾股定理，本题关键知道蚂蚁爬行的路线不同，求出的值就不同，有三种情况，可求出值找到最短路线．【详解】解：AB就是蚂蚁爬的最短路线．  但有三种情况：当：AD=3，DB=4+6=10．AB=32+102=109cm．当AD=4，DB=6+3=9．AB=97cm．当AD=6，DB=3+4=7AB=85cm．∵109>97>85∴第三种情况最短．故选：D．【变式2-1】（23-24八年级·全国·竞赛）如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点A开始经过四个侧面绕到上底面的顶点B，如果缠绕的圈数是n，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．【答案】216n2+9【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，AA'=8n米，A'B=6米，由勾股定理得，AB=AA'2+A'B2=(8n)2+62=216n2+9（米）；故答案为：216n2+9．【变式2-2】（23-24八年级·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 cm．【答案】313【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为AC的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，将长方体侧面展开得，∴蚂蚁的爬行的最短路径为AC的长，∴AB=6+3=9（cm），∴AC=AB2+BC2=92+62=313，∴蚂蚁的爬行的最短路径为313 cm，故答案：313．【变式2-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，一个长方体蛋糕盒的长、宽、商分别为40cm、30cm、20cm，点E到点D的距离为10cm．现有一只蚂蚁从点B出发，沿着长方体的表面爬行到点E处，则蚂蚁需要爬行的最短距离是（    ）  A．1029cm B．1037cm C．50cm D．45cm【答案】C【分析】考虑蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E，从正面和右侧面沿直线爬到点E，从左侧面和上面沿直线爬到点E，画出图形，利用勾股定理求出距离，进行比较即可解答．【详解】解：当蚂蚁从正面和上面沿直线爬到点E，如图所示：  此时BC=40cm，CD=20cm，则EC=ED+DC=30cm，∴BE=BC2+CE2=50cm；当蚂蚁从正面和右侧面沿直线爬到点E，如图所示：  此时AB=20cm,AD=40cm，则AE=AD+DE=50cm，∴BE=AB2+AE2=1029cm；从左侧面和上面沿直线爬到点E，如图所示：  此时AB=20cm,AD=40cm，则BD=AB+DA=60cm，∴BE=DB2+DE2=1037cm；∵50<1029<1037，∴蚂蚁需要爬行的报短距离是50cm，故选：D．【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．【题型3 圆柱中的最短路径】【例3】（23-24八年级·广西北海·期中）如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC=6，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（    ）A．4 B．4π C．8 D．10【答案】C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，先根据题意画出圆柱的侧面展开图，然后连接AS，再利用勾股定理即可得出AB的长即可得到结论．利用勾股定理求解是解题的关键．【详解】解：如图，连接AS，在圆柱的侧面展开图ABCD中，BC=6，BC⊥AB，设AB=x，∵点P移动的最短距离为5，∴AS=5，∵点S是BC的中点，∴BS=12BC=12×6=3，∴AB=AS2−BS2=52−32=4，∴圆柱的底面周长为：2AB=2×4=8．故选：D．【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．【答案】613【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，∴AB=9dm,BC=BC'=6dm，∴AC2=92+62=117，∴AC=313dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=613dm．故答案为：613．【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，圆柱底面圆的周长为6cm，CD、AB分别是上、下底面的直径，高BC=3cm，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．【答案】310【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则AB=1.5×6=9cm，BC=3cm，根据两点之间线段最短求出AC长即可解决问题．【详解】解：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×6=9cm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=92+32=310cm故答案为：310．【变式3-3】（23-24八年级·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面13处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 ．【答案】13+61/61+13【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【详解】解：如图，根据题意，AB=CD=5，AC=BD= 362=18，∵P点位于圆周顶面13处，∴BP=13×36=12，PD=BD−BP=6，∴小虫爬行的最短路程=AP+PC=52+122+62+52=13+61．故选：13+61．【题型4 圆锥中的最短路径】【例4】（23-24八年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．【答案】63cm【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是8πcm，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是120°，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．【详解】解：圆锥的底面周长是：2π×4=8π(cm)，则8π=nπ×12180n=120°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，如图所示，∴∠APB=60°，∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形，∵C是PB的中点，∴AC⊥PB，∴∠ACB=90°，∵在圆锥侧面展开图中AP=12cm，PC=6cm，∴在圆锥侧面展开图中：AC=AP2−PC2=122−62=63(cm)，∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：63cm，故答案为：63cm．【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半径r为5的圆锥.（1）扇形的圆心角θ为 ；（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .【答案】 90°/90度 202【分析】（1）由于圆锥的底面圆周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角；（2）根据两点之间线段最短，把圆锥的侧面展开成平面图形，构造直角三角形根据勾股定理即可求得．【详解】解（1）∵圆锥的底面周长=2π×5=10π，∴θπ×20180=10π，解得θ=90°；故答案为90°．（2）圆锥的侧面展开图如图所示，构造Rt△AOA'，根据两点之间线段最短得最短路程为：202+202=202．故答案为202．【点睛】本题考查了最短路径问题，根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径，在平面图形上构造直角三角形是解题的关键．【变式4-2】（23-24·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）v  A．30 cm B．303 cm C．60 cm D．20π cm【答案】B【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120°，进而即可求解．【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为20π cm，∴2πr=20π解得：r=10∵nπ×30180=20π解得：n=120∴侧面展开图的圆心角为120°如图所示，AC即为所求，过点B作BD⊥AC，∵∠ABC=120°，BA=BC，则∠BAC=30°∵AB=30，则BD=15∴AD=153，AC=2AD=303，  故选：A．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为120°解题的关键．【变式4-3】（23-24八年级·安徽·单元测试）如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（　　）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．【详解】圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是 6π，以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，设展开后的圆心角是n°，则nπ×6180=6π. 解得：n=180，即展开后∠BAC=12×180°=90°， AP=12AC=3，AB=6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，由勾股定理得： BP=AB2+AP2=62+32=35. 故选C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【题型5 台阶中的最短路径】【例5】（23-24八年级·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ）A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm【答案】C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出AB的长即可得出结论．【详解】解：如图所示，30+10+30+10=80cm，AB=602+802=100cm．故选C．【变式5-1】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（   ）A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm【答案】C【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，∵它的每一级的长宽高分别为24dm,3dm,3dm,∴MN=242+3×62=30dm即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，故选：D．【变式5-2】（23-24八年级·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4m，34 m和14 m，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ）A．3.5m B．4.5m C．5m D．5.5m【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算AB的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：如下图，将台阶展开为矩形，线段AB恰好是直角三角形的斜边，则AC=4m，BC=34+14×3=3m，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=42+32=5m，所以蚂蚁所走的最短路线长度为5m．故选：D．【变式5-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是20cm、长是50cm、宽是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是 ．【答案】130cm【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．【详解】解：将台阶展开成平面图形：在Rt△ABC中，AC=50cm，BC=120cm，AB=AC2+BC2=502+1202=130cm，其爬行的最短长度AB=130cm，故答案为：130cm．【题型6 由垂线段最短求最短路径】【例6】（12-13八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D，E分别是AB、AC的中点，在CD上找一点P，连接AP、EP，当AP+EP最小时，这个最小值是 ．【答案】25【分析】连接BE，BP，根据等腰三角形的性质可得CD垂直平分AB，从而得到AP=BP，进而得到BE就是PA+PE的最小值，再由勾股定理求出BE，即可求解．【详解】解：如图，连接BE，BP，∵AC=BC=4，点是的中点，∴CD垂直平分AB，∴AP=BP，∴AP+PE=BP+PE≥BE，∴BE就是PA+PE的最小值，∵Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，∴CE=2，∴BE=20=25，∴PA+PE的最小值是25．故答案为：25．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识是解题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为6km、8km，A，B两村的距离为10km，那么这条水泥路的最短距离为多少？【答案】这条水泥路的最短距离为4.8km【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，根据垂线段最短确定这条水泥路的最短距离是解本题的关键；过点C作CD⊥AB，根据垂线段最短可知这条水泥路的最短距离为CD的长度，利用勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，然后利用面积相等即可求解．【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D点，则这条水泥路的最短距离为CD的长度，，在△ABC中，AC=6km，BC=8km，AB=10km，则62+82=102，即：AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC∴CD=AC×BCAB=6×810=4.8km，∴这条水泥路的最短距离为4.8km．【变式6-2】（23-24·四川宜宾·模拟预测）如图A，B，C为三个村庄，A，B两村沿河而建且相距17千米，A，C相距52千米，B，C相距13千米，C村需从河边修建一条引水渠到村庄，每千米造价1.5万元，则费用最低为（    ）万元A．6 B．1522 C．4.5 D．7.5【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理，正确理解勾股定理的含义是解题关键．过点C作CH⊥AB，设AH=x千米，则BH=17−x千米，由勾股定理可得AC2−AH2=BC2−BH2，列出方程求解，再用勾股定理求出CH即可得出答案．【详解】如图，过点C作CH⊥AB，设AH=x千米，则BH=17−x千米，∵CH2=AC2−AH2,CH2=BC2−BH2，∴AC2−AH2=BC2−BH2，∴522−x2=132−17−x2，∴x=5，∴AH=5千米，∴CH=AC2−AH2=522−52=5（千米），∴费用最低为5×1.5=7.5万元．故选：D【变式6-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．【答案】125【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在AB上取点F'，使AF'=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE=EF'+EC，推出当C、E、F'共线，且点F'与H重合时，FE+EC的值最小．【详解】解：如图所示：在AB上取点F'，使AF'=AF，∵∠FAE=∠F'AE,AE=AE,∴△FAE≌△F'AESAS,∴EF=EF'.在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴ AB=AC2+BC2=5．过点C作CH⊥AB，垂足为H．∵12AC⋅BC=12AB⋅CH，∴ CH=AC⋅BCAB=125，∵EF+CE=EF'+EC，∴当C、E、F'共线，且点F'与H重合时，EF+EC的值最小，最小值为CH的长，EF+EC的值最小为125，故答案为：125．【题型7 由将军饮马求最短路径】【例7】（23-24八年级·福建宁德·阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是 km．【答案】17【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点，连接A`B，构建直角三角形，则A`B就是最短路线；在Rt△A`DB中，∠A`DB=90°，BD=8km，A`D=AD+A`A，利用勾股定理即可求出A`B．【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A`，连接A`B交MN于点P，则A`B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．在Rt△A`DB中，由勾股定理求得A`B=A`D2+DB2=7+4+42+82=17km．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．【变式7-1】（23-24八年级·云南昭通·期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=213km，A、B两村到河的距离分别为AC=2km，BD=6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．  【答案】20000元【分析】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．【详解】解：如图，作点A关于CD的对称点A'，连接BA'交CD于O，点O即为水厂的位置．分过点A'作A'E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，  则AF=A'E，DF=AC=2km，DE=A'C=2km．∴BF=BD−FD=6−2=4km．在Rt△ABF中，AF2=AB2−BF2=2132−42=36，∴AF=6km，∴A'E=6km．在Rt△A'BE中，BE=BD+DE=8km，由勾股定理得A'B=A'E2+BE2=62+82=10km．∴w=2000×10=20000（元）．故铺设水管的总费用为20000元．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．【变式7-2】（15-16八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD=______，S△EBC=______，S四边形AECD=______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．知识运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求出AP的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x2+9+16−x2+81的最小值0