北师大版2024-2025学年九年级数学上册突破提升专题1.4菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练(40题)学案(学生版+解析)

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专题1.4 菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练（40题）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！【题型1 菱形中的折叠问题】1．（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠C=45°，将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，若DM=1，那么菱形ABCD的面积为（    ）A．4+32 B．82−2 C．62 D．82．（23-24九年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片ABCD中，AB=2，∠B=30°，点E在BC边上(不与B、C重合)，将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF、EF、DF．以下选项中正确的是（    ）A．AE=EF B．∠BFD=100°C．当FE平分∠AFB时，FD=22 D．以上都不对3．（23-24·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E,F是边AB,CD上的点．将该菱形纸片沿EF折叠得到图2，BC的对应边B'C'恰好落在直线AD上．已知∠B=60°,AB=6，则四边形AEFC'的周长为（    ）A．24 B．21 C．15 D．124．（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形ABCD中，E为边AB上的一点，将菱形沿DE折叠后，点A恰好落在边BC上的F处．若EF垂直对角线BD，则∠A= 度．5．（23-24九年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，将菱形折叠，使点B落在BC的延长线上的点B'处，折痕为AE，AB'交CD于点F，则FB'的长为 ．6．（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形ABCD,AB=7,E为边AD上一点，将△ABE沿边BE折叠，恰好边AB与BD所在直线重合，A点落到BD延长线上F点，过点F作BC的垂线，垂足为G，若CG=4，则DF= ．7．（23-24九年级·浙江·阶段练习）综合与探究【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．【操作判断】如图1，将▱ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：BC=CD．【类比探究】如图2，在▱ABCD的一边AD上取一点E，沿着BE折叠△ABE，点A的对称点A'恰好落在对角线BD上，若点A'与点C，E共线，DE=1，求A'C的长．【问题解决】如图3，在▱ABCD的一边AD上取一点E，沿着BE折叠△ABE，点A的对称点A'恰好落在CD的中点处，若DE=1，求AE的长．8．（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于E点(1)尺规作图，画出折痕EF；(2)判断四边形AFCE是什么特殊四边形？并证明；(3)求折痕EF的长度？9．（23-24·吉林松原·三模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线CA上一点，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．  (1)若AB=a，直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2)若点E与点C重合，连接BF，如图②，判断四边形DBFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠CDE的度数．10．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A的对应点A'落在边CD上的点F处，得到折痕DE，点E在边AB上，将纸片还原，连结EF，若AD=4，则四边形AEFD的周长为______．【探究】如图②，点E、G分别是平行四边形纸片ABCD的边AB、CD上的点，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，点A'恰好落在边CD上的点F处，将纸片还原，连结AG、EF．（1）求证：四边形AEFG为菱形；（2）若AB=6，AD=4，∠B=120°，CF=1，则△ADG的面积为______．【题型2 矩形中的折叠问题】1．（23-24九年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．若BM与EF交点为G，MN=2，则GN=（   ）A．1 B．2 C．22 D．32．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到△BFE，若∠FDE=90°，则CE的长为（      ）．A．53 B．25 C．15 D．453．（23-24九年级·湖南长沙·期末）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是（    ）A．185 B．175 C．72 D．34．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=9，将矩形ABCD沿EF折叠，使A点与C点重合，则折痕EF的长度为 ．  5．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A'的延长线过点C．若BFCG=45，则ABBC的值为 ．6．（23-24九年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：  第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ABEF．然后将纸片展平∶第二步：连结 DE ，将 △DEC 沿 DE 折叠，得到 △DGE ，延长 EG 交边 AD 于点 H ，如图②．根据以上操作，若 AB=8，AD=12 则 DH 的长是 ．7．（23-24九年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C与A重合．  (1)连接CF，试问四边形AECF是否是特殊的四边形？请说明理由．(2)若AB=5cm，AD=10cm，求四边形AECF的周长与面积．8．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠．使点B落在CD边上的B'处，点A落在A'处，连接BB'，若CB'=1(1)求BF的长；(2)证明∠BB'A'=∠BB'C；(3)如图2，P为A'B'中点，连接BP．求BP的长．9．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点P在边CD上，且不与点C、D重合，直线AP与BC的延长线交于点E．(1)如图①，当点P是CD的中点时，猜想△ADP与△ECP的关系为__________，证明你的结论；(2)如图②，将△ADP沿直线AP折叠得到△AD'P，点D'落在矩形ABCD的内部，延长PD'交直线AB于点F．①猜想AF与PF的数量关系为__________，在（1）条件下可求AF=__________；②连接D'C，△PCD'周长的最小值为__________．10．（23-24九年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法：第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．(1)请问图中∠1，∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．(2)在第（1）题图中，延长BN交AD于点G，延长MN交BC于点H，连接GH，判断四边形BMGH的形状并证明．(3)在第（2）题图中，过G点作GK⊥BC于点K，得出一个以DG为宽的黄金矩形GKCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为5−12）．若已知AB=4，求BC的长．【题型3 正方形中的折叠问题】1．（23-24九年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕MN，把纸片展平，再沿BE折叠使点A落在折痕MN上的A'处，则∠EBC等于（    ）A．45° B．60° C．65° D．75°2．（23-24九年级·安徽滁州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB,CD上，将正方形沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q，点G为EF中点，连接GQ，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为（   ）A．3 B．2+5 C．4 D．253．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②GF=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4．其中结论正确的选项是（    ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④4．（23-24九年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=5，则AG的长为 ．5．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片ABCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落到AD边上点P处，折痕为DE，再将纸片沿过点E的直线折叠，使点B与点Q重合，折痕为EF，如图2，已知△DEP的面积与△EFQ的面积之和为165，AF=85，则AD的长为 ．6．（23-24九年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边的中点，点F是边AD上不与点A、D重合的一个动点，将∠A沿直线EF折叠，使点A落在点A'处．当△A'BC为等腰三角形时，AF的长为 ．7．（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在正方形纸片ABCD中，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．(1)试判断AE与BF的数量关系并证明你的结论；(2)若AD=12，DE=5，则GE的长为________．8．（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）操作与探究：数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．操作一：对折正方形纸片ABCD，使BC与AD重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AB上选一点M，沿DM折叠，使点A落在正方形内部点N处，连接MN,DN．(1)操作发现：根据以上操作，当点N落在折痕EF上时，如图1所示，此时∠MDN=______°；(2)迁移探究：当点N落在对角线BD上时，如图2所示，连接AC，与DM,BD分别交于点P,O，试判断线段MN与OP的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用：如图3，连接BN,CN，若正方形的边长为4，且S△BNC=4，连接EN，则SΔEMN=______．9．（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC上的点，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点B的对应点B'恰好落在边CD上，A'B'交AD于点N，作BM⊥A'B'于点M，交EF于点H，连接B'H．(1)求证：BM∥FB'．(2)问四边形BFB'H是什么特殊四边形？请说明理由．(3)①若B，M，D三点在一条直线上，求证：DN=2AN．②若N为AD的中点，求DB':B'C的值．10．（23-24九年级·河南新乡·期末）【问题情境】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．点F是射线BC上的一点，将矩形ABCD沿直线AF折叠，点B的对应点为点E．【猜想证明】（1）当点E落在边AD上时，四边形ABFE的形状为 ．（2）当AE平分∠BAD时，连接DE，求S△ADE．【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，是否存在点F，使点F，E，D三点共线．若存在，请直接写出BF    的长；若不存在，请说明理由．【题型4 坐标系中的折叠问题】1．（23-24九年级·辽宁盘锦·期中）如图，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴正半轴上，顶点B、C在第一象限，OA=2，∠AOC=60°，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面内的B'和C'处，且∠C'DB'=60°，某正比例函数图象经过B'，则这个正比例函数的解析式为（　　）A．y=−32x B．y=−33x C．y=−12x D．y=﹣x2．（23-24九年级·河南开封·期末）如图在平面直角坐标系中，矩形OACB的边OB在x轴上，OA在y轴上，顶点C的坐标是−3,4，将矩形沿对角线AB进行翻折，点C落在点P的位置，BP交y轴于点Q，则点Q的坐标是（　　）A．0,15 B．0,258 C．0,78 D．0,453．（23-24·河南安阳·二模）将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接OP，将△OCP折叠，得到△OC'P．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点B'落在直线PC'上，折痕交AB于点E．已知点B（4，3），当四边形PB'EB是正方形时，点E的坐标为（    ）  7．（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是8,14． 点D，E分别在OC，CB边上，且CE:EB=5:3，将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处(1)F点的坐标是________，D点的坐标是________．(2)若点P在第二象限，且四边形PEFD是矩形，则P点的坐标是________(3)若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．8．（23-24九年级·广东广州·期末）长方形纸片OABC中，AB=10cm，BC=8cm，把这张长方形纸片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC边上的点F处．(1)点E的坐标是______，点F的坐标是______；(2)在AB上找一点P，使EP+PF最小，求点P坐标．9．（23-24九年级·江苏无锡·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，正方形AOBC边长为2，点C的坐标为2,2．(1)如图1，动点D在OB边上，将△BCD沿直线DC折叠，点B落在点B'处，连接DB'并延长，交AO于点E．①当B'D=OD时，点D的坐标是______；②若点E是线段OA的中点，求此时点D与点B'的坐标；(2)如图2，动点D，G分别在边OB，AC上，将四边形DBCG沿直线DG折叠，使点B的对应点B'始终落在边OA上（点B'不与点O，A重合），点C落在点C'处，B'C'交AC于点E．设OB'=t，四边形AB'DG的面积为S，直接写出S与t的关系式．10．（23-24·黑龙江佳木斯·三模）平面直角坐标系内如图放矩形OABC已知点B8,6，D0,4．将矩形OABC沿EF折叠，使点A与点D重合．折痕交BC于点E，交OA于点F．(1)求点F的坐标；(2)若动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿射线AB方向运动，当点P运动到点O时停止运动，点Q也同时停止运动．设△PQF的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，R是射线CB上的一点，点M为平面内一点，是否存在点M，使以P，Q，R，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．专题1.4 菱形、矩形、正方形中的四大折叠问题专项训练（40题）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！【题型1 菱形中的折叠问题】1．（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图，菱形纸片ABCD中，∠C=45°，将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，若DM=1，那么菱形ABCD的面积为（    ）A．4+32 B．82−2 C．62 D．8【答案】A【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为2+2，过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=90°，进一步求出AH=DH=22AD=2+1，即可求出菱形的面积．【详解】解：∵菱形纸片ABCD中，∠C=45°，∴∠A=∠C=45°，∵将纸片沿着直线MN折叠，使点A与点B重合，∴∠A=∠ABM=45°，∴∠AMB=90°，AM=BM，设菱形的边长为x，则AD=AB=x，AM=BM=AD−DM=x−1，∴AB=AM2+BM2=2x−1，∴x=2x−1，解得x=2+2，即菱形的边长为2+2，过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=90°，∴∠ADH=∠A=45°，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AH=DH=22AD=2+1，∴菱形ABCD的面积为AB⋅DH=2+22+1=4+32．故选：A．2．（23-24九年级·江苏淮安·期末）如图，在一张菱形纸片ABCD中，AB=2，∠B=30°，点E在BC边上(不与B、C重合)，将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF、EF、DF．以下选项中正确的是（    ）A．AE=EF B．∠BFD=100°C．当FE平分∠AFB时，FD=22 D．以上都不对【答案】C【分析】根据折叠的性质即可判断A选项；由折叠的性质，菱形的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识得到∠BFD=105°，即可判断B选项；证明△ABF是等边三角形，进一步得到∠DAF=∠BAD−∠BAF=90°，证明△DAF是等腰直角三角形，由勾股定理求出FD=AD2+AF2=22，即可判断C选项，即可得到答案．【详解】解：A.∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，∴BE=EF，只有AE=BE时，AE=EF才成立，故选项不正确；B.由折叠得：AF=AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BAD=180°−∠B=180°−30°=150°，∴AB=AF=AD，∴∠AFB=180°−∠BAF2，∠AFD=180°−∠FAD2，∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=180°−12∠BAF+∠FAD=180°−12∠BAD=105°，故选项不正确； C．如图2，由折叠得：FA=AB，∠BAE=∠FAE，  ∵FE平分∠AFB，∴∠BFE=∠AFE，∴AE、EF分别平分∠BAF、∠AFB，∵三角形三条内角平分线交于一点，∴BE平分∠ABF，∵∠ABC=30°，∴∠ABF=2∠ABF=60°，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF=∠BAF=∠AFB=60°，∴∠DAF=∠BAD−∠BAF=90°，∵AD=AB=AF=2，∴△DAF是等腰直角三角形，∴FD=AD2+AF2=22+22=22，故选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型．3．（23-24·山西太原·一模）图1是一张菱形纸片ABCD，点E,F是边AB,CD上的点．将该菱形纸片沿EF折叠得到图2，BC的对应边B'C'恰好落在直线AD上．已知∠B=60°,AB=6，则四边形AEFC'的周长为（    ）A．24 B．21 C．15 D．12【答案】C【分析】由BC的对应边B'C'恰好落在直线AD上可知BC∥EF∥AD，再证明△C'DF是等边三角形即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6，AD∥BC，∠D=∠B=60°．∵BC的对应边B'C'恰好落在直线AD上，∴EF到BC、AD的距离相等，∴BC∥EF∥AD，点E,F是边AB,CD的中点，∴四边形BCFE、四边形ADFE是平行四边形，CF=DF=AE=12×6=3，∴EF=BC=6．由折叠知CF=C'F，∴△C'DF是等边三角形，∴C'F=C'D=FD=3，∴AC'=6−3=3，∴四边形AEFC'的周长为∶6+3+3+3=15．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．4．（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在菱形ABCD中，E为边AB上的一点，将菱形沿DE折叠后，点A恰好落在边BC上的F处．若EF垂直对角线BD，则∠A= 度．【答案】72【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角．利用菱形的性质设∠BAC=∠BCA=12∠BAD=α，求得∠BFE=α，∠FED=2α，∠CFD=2α，利用平角的性质计算即可求解．【详解】解：连接AC、BD，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=CD，∠BAC=∠BCA=12∠BAD，设∠BAC=∠BCA=12∠BAD=α，∵EF垂直对角线BD，∴EF∥AC，∴∠BEF=∠BFE=∠BAC=∠BCA=α，由折叠的性质知∠EFD=∠BAD=2α，AD=FD，∴CD=FD，∴∠CFD=∠FCD=2α，∵∠BFE+∠EFD+∠CFD=180°，∴5α=180°，解得α=36°，∴∠BAD=72°，故答案为：72．5．（23-24九年级·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，将菱形折叠，使点B落在BC的延长线上的点B'处，折痕为AE，AB'交CD于点F，则FB'的长为 ．【答案】2−2【分析】由菱形ABCD，可得BC=AB=2，AB∥CD，则∠B'CF=∠B=45°，由折叠的性质可知，∠B'=∠B=45°=∠B'CF ，∠B'EA=∠BEA=90°，B'E=BE，则∠BAE=45°=∠B，∠B'FC=90°，FB'=FC，可得BE=AE，由勾股定理得，AB=BE2+AE2=2BE=2，可求BE=2，则B'E=2，B'C=2BE−BC=22−2，由勾股定理得，B'C=FB'2+FC2=2FB'=22−2，计算求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD，∴BC=AB=2，AB∥CD，∴∠B'CF=∠B=45°，由折叠的性质可知，∠B'=∠B=45°=∠B'CF ，∠B'EA=∠BEA=90°，B'E=BE，∴∠BAE=45°=∠B，∠B'FC=90°，FB'=FC，∴BE=AE，由勾股定理得，AB=BE2+AE2=2BE=2，解得，BE=2，∴B'E=2，B'C=2BE−BC=22−2，由勾股定理得，B'C=FB'2+FC2=2FB'=22−2，解得，FB'=2−2，故答案为：2−2．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．6．（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图所示菱形ABCD,AB=7,E为边AD上一点，将△ABE沿边BE折叠，恰好边AB与BD所在直线重合，A点落到BD延长线上F点，过点F作BC的垂线，垂足为G，若CG=4，则DF= ．【答案】1【分析】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用菱形的性质是解题关键．连接AC，交BF于点O，根据折叠的性质及菱形的性质得出BF=BC，∠BGF=∠BOC=90∘，再由等量代换确定∠BFG=∠BCO，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：连接AC，交BF于点O，如图所示：将△ABE沿边BE折叠，恰好边AB与BD所在直线重合，A点落到BD延长线上F点，∴BF=AB=7，∵CG=4,BC=AB=7，∴BG=3，BF=BC，∵FG⊥BC，∴∠BGF=∠BOC=90∘，∵∠BCO=90∘−∠OBC，∠BFG=90∘−∠GBF，∴∠BFG=∠BCO，∴△BGF≅△BOCASA，∴BG=BO=3，∴BD=2BO=6，∴DF=BF−BD=1，故答案为：1．7．（23-24九年级·浙江·阶段练习）综合与探究【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形．【操作判断】如图1，将▱ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：BC=CD．【类比探究】如图2，在▱ABCD的一边AD上取一点E，沿着BE折叠△ABE，点A的对称点A'恰好落在对角线BD上，若点A'与点C，E共线，DE=1，求A'C的长．【问题解决】如图3，在▱ABCD的一边AD上取一点E，沿着BE折叠△ABE，点A的对称点A'恰好落在CD的中点处，若DE=1，求AE的长．【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2【分析】[操作判断]根据折叠的性质得AB=BC，结合平行四边形的性质可得四边形ABCD是菱形，即有BC=CD； [类比探究]根据平行四边形的性质得AD∥BC和AD=BC，则∠AEB=∠EBC，有折叠得∠AEB=∠A'EB，AE=A'E，由∠CEB=∠CBE结合等腰三角形的性质有CE=CB，则有CE−A'E=AD−AE，即可得A'C=DE=1；[问题解决]延长EA'交BC的延长线于点E'，由（2）得EE'=BE'，设AE=A'E=x，由平行四边形AD∥BC，AD=BC=1+x，则有∠D=∠A'CE'和∠DEA'=∠E'，进一步证明△DA'E≌△CA'E'，有A'E=A'C=x和DE=CE'=1，根据EE'=BE'列方程求解即可．【详解】解： [操作判断]∵将▱ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，∴AB=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴BC=CD． [类比探究]∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵△ABE沿着BE折叠点A的对称点A'恰好落在对角线BD上，∴∠AEB=∠A'EB，AE=A'E，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∵点A'与点C，E共线，∴CE−A'E=AD−AE，即A'C=DE=1， [问题解决]延长EA'交BC的延长线于点E'，由（2）得EE'=BE'，∵△ABE沿着BE折叠，点A的对称点A'恰好落在CD的中点处，设AE=A'E=x，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC=1+x∴∠D=∠A'CE'，∠DEA'=∠E'∵A'恰好落在CD的中点处，∴A'D=CA'，∴△DA'E≌△CA'E'， ∴A'E=A'C=x，DE=CE'=1，∵EE'=BE'，∴2x=x+2，解得x=2，∴AE=2．【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质．8．（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于E点(1)尺规作图，画出折痕EF；(2)判断四边形AFCE是什么特殊四边形？并证明；(3)求折痕EF的长度？【答案】(1)见解析(2)四边形AFCE是菱形．证明见解析(3)152cm．【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）直接作线段AC的垂直平分线即可；（2）由矩形的性质可得AD∥BC，证明△AOE≌△COFAAS，可得AE=CF，得出四边形AFCE是平行四边形．由折叠可知，AE=CE，即可得证；（3）由勾股定理得出AC=10cm，则OC=12AC=5cm，设CF=xcm，则BF=8−xcm，AF=CF=xcm，再由勾股定理求出CF=254cm，OF=CF2−OC2=152cm，即可得解．【详解】（1）解：如图，EF即为所求．（2）解：四边形AFCE是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠CFE，∠EAC=∠FCA．设AC与EF交于点O，由题意可得，AO=CO，∴△AOE≌△COFAAS，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形．由折叠可知，AE=CE，∴四边形AFCE是菱形（3）解：∵四边形AFCE是菱形，∴∠ABC=90°，∴AC=AB2+BC2=82+62=10cm，∴OC=12AC=5cm．设CF=xcm，则BF=8−xcm，AF=CF=xcm，在Rt△ABF中，由勾股定理得AF2=BF2+AB2，即x2=8−x2+62，解得x=254，∴CF=254cm．由（2）知，四边形AFCE是菱形，∴∠COF=90°，OE=OF，∴OF=CF2−OC2=2542−52=152cm，∴EF=2OF=152cm．9．（23-24·吉林松原·三模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线CA上一点，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F．  (1)若AB=a，直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；(2)若点E与点C重合，连接BF，如图②，判断四边形DBFC的形状，并说明理由；(3)若DF⊥AB，直接写出∠CDE的度数．【答案】(1)12a(2)四边形DBFC是菱形．理由见解析(3)∠CDE=15°或105°【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即得答案；（2）先证明△ACD是等边三角形，再证明四边形DBFC四边相等，即得答案；（3）分点E在线段CA上和其延长线上两种情况，根据DF⊥AB及折叠的性质，可求得∠ADE=45°，进一步可分别求得答案．【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵CD是斜边AB上的中线，即点D是AB的中点，AB=a，∴CD=12AB=12a；（2）（2）四边形DBFC是菱形；理由如下：如图②，∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠ABC=90°−60°=30°，∴AC=12AB，∵点D是AB的中点，即BD=AD=12AB，∴AC=AD，AC=DB，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=60°，由折叠得， AC=FC，AD=DF，∴AC=CF=DF=AD，∴四边形ADFC是菱形，∴CF∥BD，CF=BD，∴四边形DBFC是平行四边形，∵CD=BD，∴四边形DBFC是菱形；（3）如图③，点E在线段CA上时，∵DF⊥AB，∴∠ADF=90°，由折叠得∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=45°，∵∠ADC=60°，∴∠CDE=60°−45°=15°；如图④，点E在线段CA的延长线上时，∵DF⊥AB，∴∠ADF=90°，由折叠得∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=45°，∵∠ADC=60°，∴∠CDE=60°+45°=105°；综上所述，∠CDE=15°或105°．  【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键．10．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，将平行四边形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A的对应点A'落在边CD上的点F处，得到折痕DE，点E在边AB上，将纸片还原，连结EF，若AD=4，则四边形AEFD的周长为______．【探究】如图②，点E、G分别是平行四边形纸片ABCD的边AB、CD上的点，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，点A'恰好落在边CD上的点F处，将纸片还原，连结AG、EF．（1）求证：四边形AEFG为菱形；（2）若AB=6，AD=4，∠B=120°，CF=1，则△ADG的面积为______．【答案】【感知】16；【探究】（1）见解析；（2）9314．【感知】由四边形ABCD是平行四边形得AB∥CD，则∠EDF=∠AED，求得AD=DF=AE=EF=4，即可得到答案；【探究】【感知】由平行四边形的性质和折叠的性质可得AE=AD，进而进而即可求解；【探究】（1）四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，∠AEG=∠A'GE，由折叠的性质得到∠AGE=∠A'GE，AG=A'G，AE=A'E，则∠AGE=∠AEG，AE=AG，AG=A'G=AE=A'E，即可得到结论；（2）过点A作AH⊥CD交CD于点H，则∠AHD=90°，进−步得到∠ADH=60°，A'D=5，求得AH、HD的长，由折叠可知，AG=A'G，△ADG≌△A'D'G，设DG=x，则AG=A'G=5−x，由勾股定理列式解得x，得到DG的长，可求得结论．【详解】【感知】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDF=∠AED，由折叠可知，∠EDF=∠ADE，AD=DF，AE=EF，∴∠ADE=∠AED，∴AE=AD，∴AD=DF=AE=EF=4，∴四边形AEFD的周长为16；故答案为：16．【探究】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠A'GE，∵将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，点A'恰好落在CD边上，∴∠AGE=∠A'GE，AG=A'G，AE=A'E，∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AG=A'G=AE=A'E，∴四边形AEFG为菱形．（2）解：过点A作AH⊥CD交CD于点H，则∠AHD=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=120°，AD=BC=4，AB=CD=6，∴∠ADH=60°，A'D=CD−A'C=5，∴DH=12AD=2，∴AH=AD2−DH2=23，由折叠可知，AG=A'G，△ADG≌△A'D'G，设DG=x，则AG=A'G=A'D−DG=5−x，由勾股定理得AH2+GH2=AG2，∴232+2+x2=5−x2，解得x=914，即DG=914，∴S△ADG=12DG×AH=12×914×23=9314，故答案为：9314．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的判定等知识，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．【题型2 矩形中的折叠问题】1．（23-24九年级·广东广州·期末）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．若BM与EF交点为G，MN=2，则GN=（   ）A．1 B．2 C．22 D．3【答案】B【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出AD∥EF，得到∠AMG=∠NGM，进而证明∠AMG=∠NMG=∠NGM，得GN=MN=2即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，由折叠可知：直线EF是线段AB的垂直平分线，∴∠BEF=∠A=90°，∴AD∥EF，∴∠AMG=∠NGM，又∵BA对折至BN，折痕为BM，∴∠AMG=∠NMG=∠NGM，∴GN=MN=2，故选：A．2．（23-24·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为射线CD上一动点，△BCE沿BE折叠，得到△BFE，若∠FDE=90°，则CE的长为（      ）．A．53 B．25 C．15 D．45【答案】A【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．设CE=x，根据矩形的性质和轴对称的性质求出AD，CD，BF，EF的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出DF和DE的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：∵∠FDE=90°∴点F在AD上，如图所示，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，设CE=x，则DE=CD−CE=3−x，∵将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，∴AF=BF2−AB2=4，∴DF=AD−AF=1，∵EF2=DE2+DF2，∴x2=(3−x)2+12．解得x=53．故选：A．3．（23-24九年级·湖南长沙·期末）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是（    ）A．185 B．175 C．72 D．3【答案】A【分析】连接BF，交AE于O点，根据翻折的性质知EB=EF，AB=AF，∠AEB=∠AEF，AE垂直平分BF，说明AE∥CF，利用等积法求出BO的长，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：连接BF，交AE于O点，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，∴∠ABE=90°，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE，∴EB=EF，AB=AF，∠AEB=∠AEF，∴AE垂直平分BF，∴∠BOE=90°，BO=FO，∵点E为BC的中点，AB=4，BC=6，∴∴BE=CE=EF=3，∴∠EFC=∠ECF，∵∠AEB+∠AEF=∠BEF=∠ECF+∠EFC，∴∠AEB=∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC=∠BOE=90°，在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=42+32=5，∵S△ABE=12AE⋅BO=12AB⋅BE，∴BO=AB×BEAE=3×45=125，∴BF=2BO=245，在Rt△BCF中，CF=BC2−BF2=62−2452=185，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出BO的长是解题的关键．4．（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=9，将矩形ABCD沿EF折叠，使A点与C点重合，则折痕EF的长度为 ．  【答案】454【分析】连接AF，由勾股定理求出AC=15，由折叠的性质可得OA=OC=12AC=152，AC⊥EF，由垂直平分线的性质可得AF=CF，设CF=x，则AF=CF=x，BF=BC−CF=12−x，由勾股定理可得92+12−x2=x2，求出x的值即可得到CF的长，再由勾股定理求出OF的长，再证明OE=OF即可得到答案．【详解】解：连接AF，记AC,EF的交点为O，  ∵四边形ABCD是矩形，AD=12，AB=9，∴∠B=90°，BC=AD=12，AD∥BC，∴AC=AB2+BC2=92+122=15，由折叠的性质得：OA=OC=12AC=152，AC⊥EF，∴EF垂直平分AC，∴AF=CF，设CF=x，则AF=CF=x，BF=BC−CF=12−x，∵AB2+BF2=AF2，∴92+12−x2=x2，解得：x=758，∴CF=758，∴OF=CF2−OC2=7582−1522=458，∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∵AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴EF=2OF=454，故答案为：454．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，是解题的关键．5．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A'的延长线过点C．若BFCG=45，则ABBC的值为 ．【答案】2114【分析】设BF=4m，连接FG，CE，则GC=5m，由四边形ABCD是矩形，点E为AD中点，得∠A=∠B=∠D=90°，AE=DE，AB=DC， BC∥AD，所以∠GFE=∠AEF，由折叠得A'B'=AB，B'F=BF=4m，∠GEF=∠AEF，∠B'A'F=∠A=90°，所以∠GFE=∠GEF，A'B'=DC，∠CA'E=90°，则GF=GE，再证明Rt△CA'E≌Rt△CDE，得A'C=DC，∠A'EC=∠DEC，可证明∠A'EC=∠DEC，则GF=GE=GC=5m，所以AD=BC=14m，A'E=AE=7m，则A'G=A'E−GE=2m，由勾股定理得AB=DC=A'C=GC2−A'G2=21m，则得到问题的答案．【详解】解：设BF=4m，连接CE，∵BFCG=45，∴GC=5m，∵四边形ABCD是矩形，点E为AD中点，∴∠A=∠B=∠D=90°，AE=DE，AB=DC，BC∥AD，∴∠GFE=∠AEF，由折叠得A'B'=AB，B'F=BF=4m，∠GEF=∠AEF，∠B=∠A=90°，∴∠GFE=∠GEF，A'B'=DC，∠CA'E=90°，∴GF=GE，∵∠CA'E=∠D=90°，CE=CE，A'E=AE=DE，∴Rt△CA'E≌Rt△CDEHL，∴A'C=DC，∠A'EC=∠DEC，∵∠GCE=∠DEC，∴∠A'EC=∠GCE，∴GF=GE=GC=5m，∴AD=BC=BF+GF+GE=4m+5m+5m=14m，∴A'E=AE=12AD=12×14m=7m，∴A'G=A'E−GE=7m−5m=2m，AB=DC=A'C=GC2−A'G2=5m2−2m2=21m，∴ABBC=21m14m=2114，故答案为：2114．【点睛】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键．6．（23-24九年级·浙江宁波·期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：  第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ABEF．然后将纸片展平∶第二步：连结 DE ，将 △DEC 沿 DE 折叠，得到 △DGE ，延长 EG 交边 AD 于点 H ，如图②．根据以上操作，若 AB=8，AD=12 则 DH 的长是 ．【答案】10【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用BM表示ME，MF，再利用勾股定理列方程解出即可．【详解】解：由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，∴EF=AB=8，BC=AD=12，EC=FD=AD−AF=12−8=4，∵△DGE是由△DEC折叠得到的，∴GE=CE=4，在Rt△DGH中，DG2+GH2=DH2，即82+GH2=DH2①，在Rt△EFH中，FH2+EF2=EH2，即(DH−4)2+82=(4+GH)2②，联立解得：DH=10，故答案为：10．7．（23-24九年级·湖南郴州·期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得点C与A重合．  (1)连接CF，试问四边形AECF是否是特殊的四边形？请说明理由．(2)若AB=5cm，AD=10cm，求四边形AECF的周长与面积．【答案】(1)四边形AECF是菱形，理由见解析(2)25cm，1254cm2【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由矩形的性质得出AD∥BC，由折叠的性质可得：∠AEF=∠CEF，CE=AE，得到∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，继而得出AF=CE，即可得出四边形AECF是平行四边形，从而得证；（2）由矩形的性质得出BC=AD=10cm，∠B=90°，由折叠的性质可得：CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC−CE=10−xcm，由勾股定理计算得出CE=AE=254cm，再由菱形的周长和面积公式计算即可得出答案．【详解】（1）解：四边形AECF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，由折叠的性质可得：∠AEF=∠CEF，CE=AE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10cm，∠B=90°，由折叠的性质可得：CE=AE，设CE=AE=xcm，则BE=BC−CE=10−xcm，由勾股定理得：AB2+BE2=AE2，∴52+10−x2=x2，解得：x=254，∴CE=AE=254cm，∴四边形AECF的周长=4CE=4×254=25cm，四边形AECF的面积=AB⋅CE=5×254=1254cm2．8．（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠．使点B落在CD边上的B'处，点A落在A'处，连接BB'，若CB'=1(1)求BF的长；(2)证明∠BB'A'=∠BB'C；(3)如图2，P为A'B'中点，连接BP．求BP的长．【答案】(1)178(2)见解析(3)BP=372【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得∠C=90°，BF=B'F，设BF=B'F=x，则FC=BC−BF=4−x，根据勾股定理即可求解；（2）根据折叠性质，平行线性质可得结论；（3）过点B作BH⊥A'B'于点H，由折叠性质以及矩形性质可得∠A'B'C=∠BB'C，证明△BHB'≌△BCB'AAS，得到BH=BC=4，B'H=B'C=1，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°，由折叠可知，BF=B'F，设BF=B'F=x，则FC=BC−BF=4−x，在Rt△B'CF中，∴B'F2=FC2+B'C2，即x2=4−x2+12，解得：x=178，则BF=178；（2）证明：由折叠可知∠BB'A=∠ABB'，在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABB'=∠BB'C，∴∠BB'A=∠BB'C；（3）如图，过点B作BH⊥A'B'于点H，由矩形折叠可知，∠ABC=∠A'B'F=90°，FB=FB'，∴∠FBB'=∠FB'B，∴∠ABB'=∠A'B'B，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABB'=∠BB'C，∴∠A'B'C=∠BB'C，在△BHB'与△BCB'中，∠A'B'B=∠BB'C∠BHB'=∠BCB'=90°BB'=BB'，∴△BHB'≌△BCB'AAS，∴BH=BC=4，∴B'H=B'C=1，∴PH=32−1=12，∴BP=BH2+PH2=16−122=372．【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．9．（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点P在边CD上，且不与点C、D重合，直线AP与BC的延长线交于点E．(1)如图①，当点P是CD的中点时，猜想△ADP与△ECP的关系为__________，证明你的结论；(2)如图②，将△ADP沿直线AP折叠得到△AD'P，点D'落在矩形ABCD的内部，延长PD'交直线AB于点F．①猜想AF与PF的数量关系为__________，在（1）条件下可求AF=__________；②连接D'C，△PCD'周长的最小值为__________．【答案】(1)△ADP≌△ECP，见详解(2)①FA=FP， 134②6【分析】（1）根据矩形的性质得AD∥CB，可得∠D=∠DCE，∠D=∠DCE，利用AAS即可得出结论；（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出∠APD=∠APF，等角对等边即可得FA=FP，设FA=x，则FP=x，FD'=x−2，在Rt△AD'F中，由勾股定理得x=134，即AF=134；②可得△PCD'的周长=CP+PD'+CD'=CD+CD'=4+CD'，当点D'恰好位于对角线AC上时，CD'+AD'最小，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=5，CD'的最小值=AC−AD'=2，即可得△PCD'周长的最小值；本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠DAP=∠E，∠D=∠DCE，∵点P是DC的中点，∴BP=CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠APD=∠FAP，由折叠得∠APD=∠APF，∴∠FAP=∠APF，∴FA=FP，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∴DC=AB=4，∵点P是DC的中点，∴DP=CP=2，由折叠得AD'=AD=3，PD'=PD=2，∠D=∠AD'P=∠AD'F=90°，设FA=x，则FP=x，∴FD'=x−2，在Rt△AD'F中，AF2=D'F2+D'A2，∴x2=(x−2)2+32，解得x=134，即AF=134；②由折叠得AD'=AD=3，PD'=PD，∴△PCD'的周长=CP+PD'+CD'=CD+CD'=4+CD'，连接D'C，AC，∵AD'+D'C>AC，∴当点D'恰好位于对角线AC上时，CD'+AD'最小，在Rt△ABC中，AB=4，DC=3，∴AC=32+42=5，∴CD'的最小值=AC−AD'=5−3=2，∴△PCD'周长的最小值=4+CD'=4+2=6；10．（23-24九年级·山东德州·期末）如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法：第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN．(1)请问图中∠1，∠2和∠3有什么关系？证明你的结论．(2)在第（1）题图中，延长BN交AD于点G，延长MN交BC于点H，连接GH，判断四边形BMGH的形状并证明．(3)在第（2）题图中，过G点作GK⊥BC于点K，得出一个以DG为宽的黄金矩形GKCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为5−12）．若已知AB=4，求BC的长．【答案】(1)∠1=∠2=∠3=30°，证明见解析(2)四边形BMGH是菱形，证明见解析(3)BC=43+25−2【分析】（1）连接AN，先证明△ABN为等边三角形，可得∠1=∠2=30°，由等边三角形的性质及矩形的性质即可求出∠3的度数，即可得到结论；（2）由折叠的性质可得∠MNB=∠A=90°，证得△MNB≌△HNBASA，由全等三角形的性质可得BM=BH，由矩形的性质可得∠AGB=∠3，推出∠AGB=∠2，进而可得GM=BH，四边形BMGH是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证；（3）先根据黄金矩形求出DG=25−2=CK，然后根据30度角的性质和勾股定理求出BK，进而求得BC．【详解】（1）解：如图，连接AN，由折叠可得：∠1=∠2，AB=NB，EF垂直平分AB，∴NA=NB，∴AB=NA=NB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠1=∠2=30°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，∴∠3=∠ABC−∠NBC=90°−60°=30°，∴∠1=∠2=∠3=30°．（2）解：由折叠知∠MNB=∠A=90°，∴∠BNH=180°−∠MNB=90°，∴∠MNB=∠BNH=90°，又∵∠2=∠3，BN=BN，∴△MNB≌△HNBASA，∴BM=BH，∵AD∥BC，∴∠AGB=∠3，又∵∠2=∠3，∴∠AGB=∠2，∴BM=GM，∴GM=BH又∵GM∥BH，∴四边形BMGH是平行四边形，又∵BM=BH，∴四边形BMGH是菱形．（3）解：如图：∵ABCD是矩形纸片，GK⊥BC，∴AB=GK=DC=4，∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GK=4，∴DGGK=5−12，∴DG=25−2=CK，∵∠1=∠2=∠3=30°，∴BG=2GK=8，由勾股定理得BK=82−42=64−16=43，∴BC=BK+KC=43+25−2．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，30度角的性质和勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键．【题型3 正方形中的折叠问题】1．（23-24九年级·海南海口·期末）如图，将正方形纸片ABCD对折，得到折痕MN，把纸片展平，再沿BE折叠使点A落在折痕MN上的A'处，则∠EBC等于（    ）A．45° B．60° C．65° D．75°【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；根据正方形的性质和折叠的性质得A'B=AB，∠ABE=∠A'BE=12∠ABA'，BN=12A'B，再根据直角三角形的性质定理得∠BA'N=30°，∠A'BN=60°，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵将正方形纸片ABCD对折，得到折痕MN，∴∠MNB=∠MNC=90°，BN=CN=12BC，∵沿BE折叠使点A落在折痕MN上的A'处，∴A'B=AB=BC，∠ABE=∠A'BE=12∠ABA'，∴BN=12A'B，连接A'C， 在△A'NB和△A'NC中A'N=A'N∠A'NB=∠A'NCNB=NC，∴ △A'NB≌△A'NC，∴ A'B=A'C，∴ △A'BC是等边三角形，∴ ∠A'BN=60°∴∠ABA'=90°−∠A'BN=30°，∴∠EBC=∠A'BN+∠A'BE=∠A'BN+12∠A'BA=60°+15°=75°故选：D．2．（23-24九年级·安徽滁州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB,CD上，将正方形沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q，点G为EF中点，连接GQ，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为（   ）A．3 B．2+5 C．4 D．25【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取AD中点，利用轴对称的性质得出GQ+QE=QP+QC≥CP．取AD中点P，连接QG、QP、QC，可得QP=QG，根据直角三角形斜边中线的性质可得CQ=12DE=QE，进而求出GQ+QE=QP+QC≥CP，然后利用勾股定理求出CP即可得出答案．【详解】如图，取AD中点P，连接QP、QC，  ∵正方形ABCD的边长为4，∴∠BCD=90°，AD=CD=4∴DP=12AD=2由折叠的性质可知，QP=QG，Q为DE中点，∵△CDE为直角三角形，∴CQ=12DE=QE，∴GQ+QE=QP+QC≥CP，∵CP=CD2+PD2=42+22=25，∴QP+QC≥25，∴GQ+QE的最小值为25，故选：D．3．（23-24九年级·黑龙江鸡西·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②GF=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4．其中结论正确的选项是（    ）A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】根据折叠的性质，利用HL证明Rt△AFG≌Rt△ADG，得出∠GAF=∠GAD，∠BAE=∠FAE，即可判断①．根据全等三角形的性质得出DG=FG，利用勾股定理得出FG=CG=35EG，可得△GFC不是等边三角形，可得判断②．证明AG垂直平分DF，利用三角形内角和及等边对等角得出∠DFC=90°即可判断③．根据FG=CG=35EG得出S△GFC=35S△CEG，求出S△GFC即可判断④．综上即可得答案．【详解】解：连接DF，∵将正方形边AB沿AE折叠到AF，∴AB=AF=AD，∠BAE=∠FAE，∠BAD=∠D=∠AFG=90°，BE=EF=4，在Rt△AFG和Rt△ADG中，AG=AGAF=AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG，∴∠FAG=∠DAG，GD=GF，∴∠BAE+∠FAE+∠FAG+∠DAG=∠BAD=90°，即2(∠EAF+∠FAG)=90°，∴∠EAF+∠FAG=45°，即∠EAG=45°，故①正确，∵BE=EF=4，EC=8，∴BC=CD=12，设GD=GF=x，则EG=4+x，CG=12−x，∴在Rt△CEG中，EC2+CG2=EG2，即82+(12−x)2=(4+x)2，解得：x=6，∴CG=12−DG=6，∴FG=CG=35EG，∴∠GEC≠30°，∠EGC≠60°，∴△GFC不是等边三角形，∴GF≠CF，故②错误，∵DG=CG=FG，∴∠FDG=∠DFG，∠GFC=∠GCF，∴2(∠DFG+∠GFC)=180°，即∠DFC=90°，∵AD=AF，GF=DG，∴AG垂直平分DF，∴AG∥CF，故③正确，∵S△CEG=12CG⋅CE=12×6×8=24，FG=CG=35EG，∴S△GFC=35S△CEG=35×24=14.4，故④正确，综上所述，正确的选项是①③④，故选：A．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．4．（23-24九年级·山东东营·期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=5，则AG的长为 ．【答案】12013/9313【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，令AE与BF交于点H，由折叠的性质可得：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，证明△ABF≌△DAE，得出AF=DE=5，由勾股定理得出BF=AB2+AF2=13，再由三角形面积公式得出AH=6013，即可得解．【详解】解：如图，令AE与BF交于点H，，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，∴∠FAH+∠AED=90°由折叠的性质可得：△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠FAH+∠AFH=90°，∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠AFH=∠BAH=∠AED，∴△ABF≌△DAE，∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=AB2+AF2=13，S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AH，∴12×5=13AH，∴AH=6013，∴AG=2AH=12013，故答案为：12013．5．（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片ABCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落到AD边上点P处，折痕为DE，再将纸片沿过点E的直线折叠，使点B与点Q重合，折痕为EF，如图2，已知△DEP的面积与△EFQ的面积之和为165，AF=85，则AD的长为 ．【答案】3.2【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形PDCE是正方形，四边形BFQE是正方形，四边形AFQP是矩形，设AP=FQ=QE=a，PD=PE=AB=b，结合题意可得b−a=AF=85，a2+b2=325，根据b−a2=a2+b2−2ab=6425，得ab=4825，再结合a+b2=a2+b2+2ab，求得a+b=165（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键．【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠C=∠B=90°，由折叠可知，∠C=∠DPE=90°，CD=PD，∠B=∠FQE=90°，BF=FQ，∴四边形PDCE是正方形，四边形BFQE是正方形，四边形AFQP是矩形，∴设AP=FQ=QE=a，PD=PE=AB=b，∴12a2+12b2=165，b−a=AF=85，则a2+b2=325，∴b−a2=a2+b2−2ab=6425，则ab=4825，则a+b2=a2+b2+2ab=325+9625=25625，∴a+b=165（负值舍去），则AD=AP+PD=a+b=165=3.2，故答案为：3.2．6．（23-24九年级·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB边的中点，点F是边AD上不与点A、D重合的一个动点，将∠A沿直线EF折叠，使点A落在点A'处．当△A'BC为等腰三角形时，AF的长为 ．【答案】24或22【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明BA'≠BC，只要分两种情形讨论即可：当CA'=BC=2时，连接CE．构建方程即可；当点F在AD中点时，满足条件．【详解】解：如图，连接BA'，CA'，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边的中点，∴AB=BC=CD=2,BE=AE=22，由折叠的性质得：A'E=AE=22，∵BA'