北师大版2024-2025学年九年级数学上册强化提分系列专题2.1平方根【十大题型】学案(学生版+解析)

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专题2.1 平方根【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22153" 【题型1 平方根概念理解】  PAGEREF _Toc22153 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12935" 【题型2 求一个数的（算术）平方根】  PAGEREF _Toc12935 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc25792" 【题型3 求代数式的（算术）平方根】  PAGEREF _Toc25792 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc9961" 【题型4 由（算术）平方根求式子的值】  PAGEREF _Toc9961 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5027" 【题型5 由平方根的概念解方程】  PAGEREF _Toc5027 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15046" 【题型6 由算术平方根的非负性求值】  PAGEREF _Toc15046 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10395" 【题型7 估算算术平方根的取值范围】  PAGEREF _Toc10395 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc29653" 【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】  PAGEREF _Toc29653 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc22699" 【题型9 平方根与数轴的综合】  PAGEREF _Toc22699 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2190" 【题型10 算术平方根的规律探究】  PAGEREF _Toc2190 \h 5知识点：平方根平方根：①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、负根号a，其中a叫做被开方数.③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．算术平方根：(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.【题型1 平方根概念理解】【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（     ）A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（   ）A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根C．6是a的平方根 D．a=6【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　)A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a+1 D．|a|－1【题型2 求一个数的（算术）平方根】【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ）A．−(−6)2=−6 B．(−6)2=36 C．16=±4 D．414=212【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36−5的平方根是 ．【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为 ．输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是 ．【题型3 求代数式的（算术）平方根】【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，则a+2b= .【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22x2−5nx−7相加后不含x的二次和一次项，则−(mn+n)平方根为（    ）A．3 B．−3 C．±3 D．±3【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　）A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m+1 D．±m2+1【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10, a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值；(2)求a−2b的平方根．【题型4 由（算术）平方根求式子的值】【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则这个数是 ．【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为 ．【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1−3b与 2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方根．【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若−2,a=2，b,8=3，c,a=b，则c的值为（    ）A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16【题型5 由平方根的概念解方程】【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x2−36．【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：(1)4x2=16；(2)9x2−121=0．【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：(1)25x2−49=0；(2)2x+12−49=1．【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+12−16x−22=0．【题型6 由算术平方根的非负性求值】【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x−3+3−x+1，则x+y的平方根是 ．【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x−3+y+4=0，则x+y2024的值为（    ）A．1 B．2024 C．−1 D．−2024【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x−4y−5+2x−3=0，求x+y的平方根．（2）已知a、b满足2a+8+b−3=0，解关于x的方程a+2x2−b2=a−1．【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a−2023+b+2023−1=0，其中a，b均为整数，则a+b= ．【题型7 估算算术平方根的取值范围】【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b= 【变式9-2】（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）A．7 B．2+72 C．1+7 D．7+2【变式9-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．【题型10 算术平方根的规律探究】【例10】（23-24八年级·四川德阳·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：根据以上规律，若14.4≈3.79,1.44=1.2，则1440=（    ）A．37.9 B．379 C．12 D．120【变式10-1】（23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习）有一列数按如下规律排列：−22，34，−14，516，−632，764，…则第10个数是 ，第n个数是 ．【变式10-2】（23-24八年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①2+23=223，②3+38=338，③4+415=4415，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．【变式10-3】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2…①1+122+132=1+12×3…②1+132+142=1+13×4…③请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+142+152= ；(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120232+120242．⋅⋅⋅0.06250.6256.2562.5625625062500⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.250.79062.57.9062579.06250 ⋅⋅⋅专题2.1 平方根【十大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22153" 【题型1 平方根概念理解】  PAGEREF _Toc22153 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc12935" 【题型2 求一个数的（算术）平方根】  PAGEREF _Toc12935 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25792" 【题型3 求代数式的（算术）平方根】  PAGEREF _Toc25792 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9961" 【题型4 由（算术）平方根求式子的值】  PAGEREF _Toc9961 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc5027" 【题型5 由平方根的概念解方程】  PAGEREF _Toc5027 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc15046" 【题型6 由算术平方根的非负性求值】  PAGEREF _Toc15046 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc10395" 【题型7 估算算术平方根的取值范围】  PAGEREF _Toc10395 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29653" 【题型8 求算术平方根的整数部分和小数部分】  PAGEREF _Toc29653 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc22699" 【题型9 平方根与数轴的综合】  PAGEREF _Toc22699 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc2190" 【题型10 算术平方根的规律探究】  PAGEREF _Toc2190 \h 18知识点：平方根平方根：①定义：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.②表示方法：正数a的正的平方根记作a，负的平方根记作−a，正数a的两个平方根记作±a，读作正、负根号a，其中a叫做被开方数.③性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．算术平方根：(1)定义：正数a有两个平方根±a，我们把正数a的正的平方根a，叫做a的算术平方根．(2)性质：①正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；②负数没有算术平方根.当a≥0时，a2=a；③算术平方根具有双重非负性：a≥0；a≥0.【题型1 平方根概念理解】【例1】（23-24八年级·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（     ）A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2【答案】D【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．【详解】∵实数3m−6有平方根，∴3m−6≥0∴m≥2．故选：D．【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期末）若a2=6，则下列说法正确的是（   ）A．a是6的算术平方根 B．a是6的平方根C．6是a的平方根 D．a=6【答案】B【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义判断即可，解题的关键是正确理解平方根的定义．【详解】解：∵a2=6，∴a是6的平方根，故选：A．【变式1-2】（23-24八年级·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的数 ．【答案】0【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质进行解题即可．【详解】解：平方根是它本身的数是：0．故答案为：0．【变式1-3】（23-24八年级·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　)A．x2＋1 B．|x|＋2 C．a+1 D．|a|－1【答案】D【分析】根据平方根的性质解答即可.【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；C、a+1>0，∴该数有平方根；D、∵a≥0，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；故选：D.【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.【题型2 求一个数的（算术）平方根】【例2】（23-24八年级·上海杨浦·期末）下列计算正确的是（    ）A．−(−6)2=−6 B．(−6)2=36 C．16=±4 D．414=212【答案】A【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可．本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】A. −−62=−6，正确，符合题意；    B. −62=6，错误，不符合题意；    C. 16=4，错误，不符合题意；    D. 414=172，错误，不符合题意；故选A．【变式2-1】（23-24八年级·上海嘉定·期末）36−5的平方根是 ．【答案】±1【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义，先根据算术平方根的意义化简，再根据平方根的意义求解即可．【详解】解：∵36−5=6−5=1∴36−5的平方根是±1=±1故答案为：±1．【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为3，则输出的值为 ．输入→减去5→平方→加上3→开平方→输出【答案】±7【分析】根据题意，得±x−52+3，当x=3时，代入计算即可．本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．【详解】根据题意，得±x−52+3，当x=3时，±7．故答案为：±7．【变式2-3】（23-24八年级·山东菏泽·期中）一个数的算术平方根是4，则比这个数多9的数的平方根是 ．【答案】±5【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根求这个数，以及求一个数的平方根，根据题意可知这个数是42=16，比这个数多9的数是25，求25的平方根即可．【详解】解：一个数的算术平方根是4，这个数是42=16．比这个数多9的数是：16+9=25，∴25的平方根为：±5，故答案为：±5．【题型3 求代数式的（算术）平方根】【例3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）已知2a−1的平方根是±3，3a+b−1的算术平方根是4，则a+2b= .【答案】3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2a-1=9，3a+b-1=16，解得：a=5，b=2，∴a+2b=9=3【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．【变式3-1】（23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中）关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22x2−5nx−7相加后不含x的二次和一次项，则−(mn+n)平方根为（    ）A．3 B．−3 C．±3 D．±3【答案】C【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算．【详解】7x3−11mx2−15x+9＋22x2−5nx−7＝7x3+22−11mx2−15+5nx+2由题意知，22−11m=0， 15+5n=0，∴m=2，n=−3，∴−(mn+n)=−−3×2−3=9，9的平方根是±3，∴−(mn+n)平方根为±3，故选：D．【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．【变式3-2】（23-24八年级·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　）A．±（m+1） B．（m2+1） C．±m+1 D．±m2+1【答案】D【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出a+1，从而进一步即可得出答案．【详解】由题意得：这个自然数a为：m2，∴a+1=m2+1,故a+1的平方根用m表示为：±m2+1，故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式3-3】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10, a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值；(2)求a−2b的平方根．【答案】(1)a=25；b=−12(2)±7【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可．（2）根据平方根的意义，计算即可．本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得：3x−2+5x+10=0，解得x=−1，  3x−2=−5，−52=25，∴a=25； ∴a+b−4=32=9，∴25+b−4=9，∴b=−12.（2）±a−2b=±49=±7．【题型4 由（算术）平方根求式子的值】【例4】（23-24八年级·全国·专题练习）已知一个数的算术平方根为3m−4，它的平方根为±(m−1)，则这个数是 ．【答案】14/0.25【分析】本题考查了算术平方根和平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的定义．根据算术平方根与平方根中的正平方根相等，可得方程，根据解方程，可得m的值，根据平方运算，可得答案．【详解】解：一个数的算术平方根是3m−4，平方根是±(m−1)，3m−4=m−1，或3m−4=1−m，解得m=32，或m=54，当m=54时，3m−4<0，不合题意，舍去，所以(3m−4)2=14，故答案为：14．【变式4-1】（23-24八年级·云南保山·期中）已知x=25，y是4的算术平方根，则3x−2y的值为 ．【答案】11【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式3x−2y的值．【详解】解：∵ x=25，y是4的算术平方根，∴x=5,y=2，∴ 3x−2y=3×5−2×2=11，故答案为：11．【变式4-2】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知1−3b与 2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方根．【答案】±2【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 1−3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．【详解】解：∵1−3b≥0，2a+1≥0，则当1−3b与 2a+1互为相反数时，只能是1−3b=0,2a+1=0，解得：a=−12,b=13，∴−3b+2a+6=−3×13+2×−12+6=4，∴其平方根为±2．【变式4-3】（23-24八年级·湖南永州·期末）若xm=y，则记x,y=m，例如32=9，于是3,9=2．若−2,a=2，b,8=3，c,a=b，则c的值为（    ）A．16 B．−2 C．2或−2 D．16或−16【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解．【详解】解：∵−2,a=2，b,8=3，c,a=b，∴−22=a，b3=8，cb=a，∴a=4，b=2，∴c2=4，∴c=±2，故选：D．【题型5 由平方根的概念解方程】【例5】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：12x=−x2−36．【答案】x=−6【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为x2+12x+36=0，根据完全平方公式得出x+62=0，再根据平方根的定义即可解答．【详解】解：12x=−x2−36，x2+12x+36=0，x+62=0，x+6=0，x=−6．【变式5-1】（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）解方程：(1)4x2=16；(2)9x2−121=0．【答案】(1)x=±2(2)x=±113【分析】（1）方程两边同时除以4，然后根据平方根的定义解方程；（2）先移项，然后同时除以9，根据平方根的定义解方程即可求解．【详解】（1）4x2=16，x2=4，x=±2；（2）9x2−121=0，9x2=121，x2=1219，x=±113．【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔南·期中）【变式1】 解方程：(1)25x2−49=0；(2)2x+12−49=1．【答案】(1)x=75或x=−75(2)x=4或x=−6【分析】（1）先将方程整理为x2=4925，再利用平方根解方程即可得；（2）先将方程整理为x+12=25，再利用平方根解方程即可得．【详解】（1）25x2−49=0，25x2=49，x2=4925，x=75或x=−75；（2）2x+12−49=1，2x+12=50，x+12=25，x+1=5或x+1=−5，x=4或x=−6．【点睛】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．【变式5-3】（23-24八年级·上海徐汇·期中）解方程：92x+12−16x−22=0．【答案】x1=−112,x2=12【分析】本题考查了根据平方根解方程，先将方程整理为92x+12=16x−22，再根据平方根的定义将两边开方，即可解答．【详解】解：92x+12−16x−22=0，92x+12=16x−2232x+1=4x−2或32x+1=−4x−2，解得：x1=−112,x2=12．【题型6 由算术平方根的非负性求值】【例6】（23-24八年级·江西南昌·阶段练习）已知y=x−3+3−x+1，则x+y的平方根是 ．【答案】±2【分析】根据根式的非负性可求出x，y的值，进而可求出答案．【详解】解：∵y=x−3+3−x+1，且根号下不能为负，∴x−3=0，3−x=0，∴x=3，∴y=1，∴x+y=4，∴x+y的平方根是±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【变式6-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）若x,y为实数，且x−3+y+4=0，则x+y2024的值为（    ）A．1 B．2024 C．−1 D．−2024【答案】A【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值，正确解得x,y的值是解题关键．根据非负数的性质解得x,y的值，然后代入求值即可．【详解】解：∵x−3+y+4=0，又∵x−3≥0，y+4≥0，∴x−3=0,y+4=0，解得x=3,y=−4，∴x+y2024=3−42024=−12024=1．故选：A．【变式6-2】（23-24八年级·江西新余·期中）（1）已知2x−4y−5+2x−3=0，求x+y的平方根．（2）已知a、b满足2a+8+b−3=0，解关于x的方程a+2x2−b2=a−1．【答案】（1）x+y的平方根为±1；（2）x=±1．【分析】（1）根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将其代入代数式计算即可；（2）根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后将其代入方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵2x−4y−5+2x−3=0，∴2x−4y−5=0，2x−3=0，解得x=32，y=−12，∴x+y=32−12=1，∴x+y的平方根为±1；（2）∵2a+8+b−3=0，∴2a+8=0，b−3=0，解得a=−4，b=3，∴方程为−4+2x2−32=−4−1，整理得x2=1，解得x=±1．【点睛】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应用．【变式6-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）若a−2023+b+2023−1=0，其中a，b均为整数，则a+b= ．【答案】±1【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解．【详解】解：∵a−2023+b+2023−1=0，其中a，b均为整数，又∵a−2023≥0，b+2023≥0，①当a−2023=0，b+2023=1时，∴a=2023，b=−2022或b=−2024，∴a+b=1或a+b=−1；②当a−2023=1，b+2023=0时，∴a=2024或a=2022，b=−2023∴a+b=1或a+b=−1；故答案为：±1．【题型7 估算算术平方根的取值范围】【例7】（23-24八年级·新疆和田·期中）已知a， b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，则a+b= 【答案】−7【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方根定义，掌握比较无理数估算的方法是解决问题的关键．根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a,b的值，即可得出答案．【详解】解：∵9<12<16，即3<12<4，∴−4<−12<−3，∵a，b为两个连续的整数，且12的负平方根介于a，b之间，∴a=−4,b=−3，a+b=−3+−4=−7．故答案为：−7．【变式7-1】（23-24八年级·福建莆田·期末）面积为10的正方形的边长为a，则a的值在（    ）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算，先根据题意表示出a的值，再利用夹逼法估算即可．【详解】∵面积为10的正方形的边长为a，∴a2=10，∴a=10，∵9<10<16，∴3<10<4，∴a的值在3和4之间，故选：D．【变式7-2】（23-24八年级·北京朝阳·期末）将边长分别1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数（  ）A．4B．3C．1D．0【答案】C【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【详解】解：∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，∴正方形的面积为2，∴该正方形的边长为：2，∵1＜2＜2.25，∴1＜2＜1.5，∴该正方形的边长最接近整数是：1．故选：D．【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．【变式7-3】（23-24八年级·广东汕头·单元测试）满足−2−11>−4∴3>6−11>2∴7+11的整数部分为10，6−11的整数部分为2，∴a=6−11−2=4−11  b=7+11−10=11−3代入得：a+b2018=4−11+11−32018=12018=1【题型9 平方根与数轴的综合】【例9】（23-24八年级·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简|a+b|−b2−(a−b)2= ．【答案】-2a+b/b－2a【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，∴|a+b|−b2−(a−b)2＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b+b﹣a+b＝﹣2a+b．故答案为：﹣2a+b【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．【变式9-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点 ．（填“A”或“B”或“C”或“D”）【答案】C【分析】由于a是5的算术平方根，故a=5，又5≈2.236，所以2.236是在点2与2.5之间，由题图中的数轴上可知，2.236处于点C处，即点C表示的数是5．【详解】解：由于a是5的算术平方根，故a=5，又5≈2.236，所以2.236是在点2与2.5之间，由题图中的数轴上可知，又2.236处于点C处，即点C表示的数是5．故答案为：C．【点睛】本题考查概念算术平方根的应用，无理数在数轴上的表示，难点要将5近似为2.236，才能更准确确定出是在点C处．【变式9-2】（23-24八年级·北京·期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）A．7 B．2+72 C．1+7 D．7+2【答案】C【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为7+1．【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，∴AB=7，∵AB=AE，∴AE=7，∵A点表示的数为1，∴E点表示的数为7+1，故选：D．【点睛】本题考查了平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=7．【变式9-3】（23-24八年级·江西南昌·期中）图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC，CD，DA裁剪，剪成一个小正方形ABCD．(1)在图1中，剪成的小正方形ABCD的面积为________，边AB的长为________；(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合，若以点D为圆心，DA边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数．【答案】(1)10，10；(2)点E表示的数为1+10或1−10【分析】本题考查了算术平方根的意义，分类讨论是解答本题的关键．（1）用割补法可求出正方形ABCD的面积，利用算术平方根的意义可求出边AB的长；（2）根据实数与数轴的关系求解，注意要分两种情况求解．【详解】（1）∵由16个边长均为1的小正方形剪开后，剪成一个小正方形ABCD，∴小正方形ABCD的面积为16−4×12×1×3=10；∴AB2=10，∴AB=10；故答案为：11210，(−1)nn+12n．【变式10-2】（23-24八年级·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①2+23=223，②3+38=338，③4+415=4415，……，根据以上规律，写出第10个等式： ．【答案】11+11120=1111120【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键．根据上述等式，得出一般规律：第n个等式为(n+1)+n+1(n+1)2−1=(n+1)n+1(n+1)2−1，即可得出第10个等式．【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第n个等式为(n+1)+n+1(n+1)2−1=(n+1)n+1(n+1)2−1，∴第10个等式：11+11120=1111120，故答案为：11+11120=1111120．【变式10-3】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2…①1+122+132=1+12×3…②1+132+142=1+13×4…③请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+142+152= ；(2)计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120232+120242．【答案】(1)1+14×5(2)202320232024【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键；（1）通过观察得出规律1+1n2+1n+12=1+1n×n+1，根据规律即可解答；（1）利用规律得出原式为1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12023×2024，化简即可．【详解】（1）根据规律可知，1+142+152=1+14×5（n为正整数），故答案为：1+14×5；（2）由规律可得，原式=1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12023×2024=2023+1−12+12−13+13−14⋯+12023−12024=2023+1−12024=202320232024．