初中数学苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程学案

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册1.1 一元二次方程学案，共20页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1B．x2−2xy=0C．x2+12x=3D．x2−2x+3=0
2．（3分）（23-24·河南平顶山·一模）若关于x的一元二次方程m+2x2+x+m2−4=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．−2B．0C．2D．−2或2
3．（3分）（23-24九年级·辽宁铁岭·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+2=0时，下列变形正确的是（ ）
A．x−32=7B．x−32=11C．x+32=7D．x−32=1
4．（3分）（23-24九年级·广西梧州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx−2(m+3)=0的根情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定
5．（3分）（23-24九年级·安徽合肥·期中）关于x的方程x2+x2+2x2+2x−3=0，则x2+x的值是（ ）
A．−3B．1C．−3或1D．3或−1
6．（3分）（23-24九年级·广西梧州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x1，x2，且x1=2x2，则m的值是（ ）
A．0B．2C．−1D．1
7．（3分）（23-24九年级·浙江温州·期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．75001+x=10800B．75001+x2=10800
C．75001+1+x2=10800D．75001+1+x+1+x2=10800
18．（6分）（23-24九年级·四川乐山·期中）已知关于x的方程x2+2k−3x+k2+1=0．
(1)当k是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根x1、x2满足：|x2|+|x1|=4，求k的值．
15．（8分）（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=2c，这时我们把关于x的形如ax2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程x2+2x+1=0是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．
20．（8分）（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+5=0，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵m2−2mn+2n2−6n+5=0，∴m2−2mn+n2+n2−6n+5=0，
即m−n2+n−32=0，∴m−n=0，n−3=0，∴m=n=3．
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+y2+8x−2y+17=0，求x+3y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+110)之后，变为x2−x+1=0，
故a=1,b=−1,c=1，
∴a+b+c=1−1+1=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期中）已知α、β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，则a2−4a−2β−2的值是 ．
【答案】2018
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出α2−2α=2024，α+β=2，将a2−4a−2β−2变形为α2−2α−2α+β−2，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：∵α、β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，
∴α2−2α−2024=0，α+β=2，
∴α2−2α=2024，
∴a2−4a−2β−2=α2−2α−2α+β−2=2024−2×2−2=2018，
故答案为：2018．
13．（3分）（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是 ．
【答案】34或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解:解方程x2−8x+15=0得：x=3或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为：32+52=34；
当5为斜边时，第三边为：52−32=4；
故答案为：34或4．
14．（3分）（23-24九年级·浙江温州·期中）在解方程x2+mx−n=0时，小王看错了m，解得方程的根为6与−1；小李看错了n，解得方程的根为2与−7，则原方程的解为 ．
【答案】x1=1，x2=−6
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，能够根据根与系数的关系求得没有看错的未知字母的值是解题的关键．
首先根据根与系数的关系求得m，n的值，再进一步解方程即可．
【详解】解：根据根与系数关系得
−n=6×−1，−m=2−7，
解得：n=6，m=5，
∴原方程为x2+5x−6=0，
x−1x+6=0，
x−1=0或x+6=0，
∴x1=1，x2=−6，
故答案为：x1=1，x2=−6．
15．（3分）（23-24九年级·吉林·期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2−6x+□=0．若“□”表示一个字母，且一元二次方程x2−6x+□=0有实数根，则“□”的最大值为 ．
【答案】5
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设□中为m，根据判别式的意义得到Δ=b2−4ac，然后解不等式求出m后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δb，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】−3−3
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x的一元二次方程，再由关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个实数根，得到关于x的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：
当2x≤x−1时，即x≤−1时，有2x2−2x(x−1)=t+3，
即：2x2+2x−t−3=0x≤−1，其根为：x=−1±2t+72是负数，
当2x>x−1时，即x>−1，时，有x−12−2xx−1=t+3，
即：x2=−t−2x>−1，
要使关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=−t−2x>−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，
∴−t−2≥02t+7≥0，
∴−72≤t≤−2，
（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，
∵当t=−2时，2t+7=3，
∴−1+32>0，−1−32