湖南省益阳市大通湖管理区三校2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含答案)

这是一份湖南省益阳市大通湖管理区三校2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含答案)，共15页。
注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示:
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1．体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．十年来，我国只是产权战略实施取得了显著成就，全国著作权登记量已达到274.8万件，数据274.8万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下面的计算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6B．（a2）3＝a5C．3a+2a＝5aD．a6÷a3＝a2
4．如图，把一个底角为的直角三角尺的直角顶点放在刻度尺的一边上，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．中国古代数学名著《算法统宗》里有这样一道题：“隔壁听得客分银，不知人数不知银．七两分之多四两，九两分之少半斤．”意思是：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时一斤等于十六两，故有半斤八两这个成语）．设共有x人，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．云南某中学为了进一步落实初中学生学业水平考试美术科目赋分制度，决定在本学期继续开展（A．绘画，B．书法，C．剪纸，D．平面设计）四个类型的美术作品展示活动，学校从全校初中学生中抽取部分学生进行抽样调查，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为400
B．类型D的人数为80人
C．类型C所对应的扇形的圆心角度数为
D．若该校共有初中学生1200人，则该校选择类型B的学生大约有350人
8．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第①个图形中“●”的个数为 3，第②个图形中“●”的个数为8，第③个图形中“●”的个数为15，……以此类推，则第⑧幅图形中“●”的个数为( )
A．63B．120C．100D．80
9．如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（ ）
A．B．1C．D．3
10．如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11．已知，用“”连接为 ．
12．分解因式： ．
13．已知一个矩形的两条边长分别和，则它的对角线的长为 ．
14．已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ．
15．如图，已知菱形，，点是边中点，，则 ．

16．如图，这是一个正六边形螺母的平面示意图．已知正六边形的边长为6，外接圆为，则图中阴影部分的面积为 ．

17．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的负半轴上，点D，E在第二象限，点E的纵坐标为2，反比例函数 的图象与相交于点．若点 B的坐标为，且点B 在的边上，则的长为 ．
三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10.分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．计算：．
20．先化简，再求值：．其中，．
21．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是文､明､自､由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ；
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
22．沂蒙山银座天蒙山景区玻璃桥是我市一闻名的旅游景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度，如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为，，测得长为165米，求观测点A到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：）
23．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
24．为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
(1)求，两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
25．问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．
26．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ．
【深入探究】
（2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当时，求点P的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1-10 CBCBA BADDC
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．解：

．
20．解：
＝
当，时，
原式
．
21．（1）解：∵一共有4张卡片，卡片上的文字是“文”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：
（2）解：解法一：画树状图下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，
两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
解法二：列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
22．解：过点A作交的延长线于点D，如图，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴，
即，
∴（米）．
答：观测点A到桥面的距离是143米
23．（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
24．（1）设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元
根据题意，得
解得
∴ 品牌足球单价为 元， 品牌足球单价为 元；
（2）根据题意可知， 品牌足球 个，依题意，
解得；
∴
∴ 随 的增大而减小
∴当 时， 最小，此时
综上， 取得最小值元， 此时 品牌足球购买了 个， 品牌足球购买了个
25．（1）证明：由折叠可知：，
∵点E，F分别是的边，的中点，
∴，
∴，
∴与均为等腰三角形，
∴折痕是的双等腰折痕；
（2）解：∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵点E为的中点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴点F是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可得，
∴，
过点E作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由折叠可知：，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点H，过点F作于点N，如果所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵是的顶角，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴，
∴，，
过点D作于点R，
∴，
∴，
∴
26．（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为，
∴，
∴，，
∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为，
故答案为：和；
（2）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵
，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
（3）①设与对称轴交于点G，若，则，
∴，
∴或．
∴当时， ，点P的坐标为；
当时， ，点P的坐标为，
∴点P的坐标为或；
②存在，m的值为0或或．
如图，设与对称轴的交点为H．
由（2）知，， ，
∴，
∴抛物线的极限分割线：，
∵直线垂直平分，
∴直线：，
∴点B到直线的距离为，
∵直线与直线关于极限分割线对称，
∴直线：，
∵，
∴点P到直线的距离为|，
∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，
∴，
∴或或．文
明
自
由
文
（文，明）
（文，自）
（文，由）
明
（明，文）
（明，自）
（明，由）
自
（自，文）
（自，明）
（自，由）
由
（由，文）
（由，明）
（由，自）