福建省厦门外国语学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份福建省厦门外国语学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了可以直接使用2B铅笔作图等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：A、，是一元二次方程，符合题意；
B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、， 未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，当时，原方程不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
2. 二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
答案：A
解析：解：∵，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
3. 对于函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是
C. 最大值为0D. 交y轴于点
答案：B
解析：解：对于函数的图象，
∵，
∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0，
时，，
交y轴于点，
故A、C、D正确，
故选：B．
4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是：，即，
故选：C．
6. 在二次函数的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：由题意，，
又抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大．
故选：D．
7. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. 560（1＋x）2＝315B. 560（1－x）2＝315
C. 560（1－2x）2＝315D. 560（1－x2）＝315
答案：B
解析：解：根据题意，设每次降价的百分率为x，
可列方程为： ．
故选：B
8. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而点离直线的距离为4，点离直线的距离为2，离直线的距离为3，
，
．
故选：C．
9. 在同一坐标系中，二次函数和一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点，故此选项符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意．
故选：B．
10. 已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 二次函数的最____________值是____________．
答案： ①. 小 ②. 3
解析：解：二次函数的图像开口向上，
二次函数有最小值，最小时是3，
故答案为：小，3．
12. 如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是____________．
答案：且
解析：解：x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且,
，即，
且，
故答案为：且．
13. 已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是____________________________．（只需写一个）
答案：（答案不唯一）
解析：解：设抛物线解析式为，
该抛物线的图象开口向上，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
14. 二次函数的函数值y的取值范围是 ____________．
答案：##
解析：解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当时有最大值是2；
当时，，
当时，，
∴当时，函数值y的取值范围为；
故答案为：．
15. 如图，抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣3，0），点 B 在抛物线上，CB∥x轴，且AB 平分∠CAO．则此抛物线的解析式是___________．
答案：y=-x2+x+4
解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵A（-3，0），
∴OA=3，
∴AC=5，
∵AB平分∠CAO，
∴∠BAC=∠BAO，
∵BC∥x轴，
∴∠CBA=∠BAO，
∴∠BAC=∠CBA，
∴CB=CA=5，
∴B（5，4）．
把A（-3，0）、B（5，4）代入y=ax2+bx+4，
得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4．
故答案为y=-x2+x+4．
16. 已知二次函数的最小值为．若当时，y值为负；若当时，y值为正；则二次函数的解析式是____________．
答案：
解析：解：根据题意得抛物线的对称轴为直线，
当和时，函数值相等，
当时，值为负；当时，值为正，
和时，，
即抛物线经过，，
设抛物线解析式为，
即，
，
，
解得，
抛物线解析式为．
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：
或
解得：；
小问2解析：
解：
解得：．
18. 画出二次函数的图象．
答案：见解析
解析：解：二次函数，列表如下：
∴该函数图象的顶点坐标为，过点，
函数图象如图所示．
19. 已知抛物线经过点和．求b，c的值及此抛物线的顶点坐标、对称轴．
答案：；，顶点坐标为、对称轴为直线
解析：解：把点和代入，可得：
，
解得：，
所以抛物线为，
所以此抛物线的顶点坐标为、对称轴为直线．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若，且此方程有一个根为，求m的值；
（2）若，判断此方程根的情况．
答案：（1）
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程无解
小问1解析：
解：将代入原方程，得：，
解得：；
小问2解析：
解：当时，原方程为，
∴．
当时，，此时原方程有两个相等的实数根；
当时，，此时原方程无解．
21. 如果一元二次方程的两根均为正数，其中．且满足，那么称这个方程有“友好根”．
（1）方程____________“友好根”（填“有”或“无”）；
（2）若，则关于x的有无“友好根”？请说明理由．
答案：（1）有 （2）这个方程有“友好根”，理由见解析
小问1解析：
解：，
或，
，
∵，
∴，
∴方程有“友好根”，
故答案为：有；
小问2解析：
解：关于x的有“友好根”，理由如下：
，
∵，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
，
∴，
∵，
∴，即，
∴这个方程有“友好根”．
22. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽为，面积为．

（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当时，求x的值；
（3）求矩形花圃的最大面积．
答案：（1）
（2）6 （3）
小问1解析：
解：根据题意，得：，
∵，
∴．
S与x的函数关系式为；
小问2解析：
解：由题意得：，
解得：（舍去）或6，
即长为6；
小问3解析：
解：，
∵，故当时，S随x的增大而减小，
∵，则时S最大为60，
此时．
答：矩形花圃的最大面积为．
23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
（1）求，，的坐标；
（2）直线上有一点，在图中画出直线和点，并判断四边形的形状，说明理由．
答案：（1），，；
（2）图见解析：，四边形是平行四边形．
小问1解析：
解：当时，，
解得或 ,
，，
当时，，
．
小问2解析：
解：由可得，
抛物线与直线的交点为，
点在直线上，
，
解得，
即，
如图所示：
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形．
24. 如图，在中，，
（1）若四边形是正方形，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线，且，求四边形面积．
答案：（1）直线
（2）
小问1解析：
解：四边形是正方形，
，，
即，
抛物线的对称轴为直线，
即抛物线的对称轴为直线．
小问2解析：
解：对称轴为，
，
即①，
抛物线与轴交于点，
，
②，
，
∴③，
联立①③代入②可得,化简，得，
解得或（舍去），
∴，，
即平行四边形中，，，
四边形为菱形，
如图，连接交于，
则，，，
在中，，
，
四边形的面积．
25. 已知抛物线的顶点A在第一象限，过点A作轴于点B，C是线段上一点（不与点A、B重合），过点C作轴于点D并交抛物线于点P．
（1）若，抛物线交x轴于G、H两点，求的长度；
（2）若点是线段的中点，求点P的坐标；
（3）若直线交y轴的正半轴于点E，且，求的面积S的取值范围．（请画出示意图再作答）
答案：（1）
（2）
（3）
小问1解析：
解：把代入抛物线，得：
，即，
令，得：，
解得：，，
；
小问2解析：
解：依题意得顶点的坐标为，
设据，得点横坐标为，即，
所以，把点的坐标代入得，
即点的坐标为；
小问3解析：
解：如图，
把抛物线化为顶点式：，
可知，设，
把代入得，
，，
，
即，
或，
又点不与端点、重合，
，
即，
则，
由可得，
，
，
的面积，
边长为正数，
，，
，
．x
y
0