人教版高中物理必修第一册第二章素养提升课(二)匀变速直线运动推论的应用学案

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素养提升课(二)　匀变速直线运动推论的应用1．会推导初速度为零的匀变速直线运动的比例式。2．掌握中点位置的瞬时速度公式并解答相关问题。3．会推导位移差公式Δx＝aT 2并解答相关问题。 探究1　初速度为零的匀加速直线运动的比例式1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)的比例式(1)T末、2T末、3T末……nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)T内、2T内、3T内……nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式(1)通过前x、前2x、前3x……前nx的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)通过前x、前2x、前3x……前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶2∶3∶…∶n。(3)通过连续相同的位移所用时间之比t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(2－1)∶(3-2)∶…∶(n-n-1)。【典例1】　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为 4 m/s。 求：(1)第6 s末的速度大小；(2)前6 s内的位移大小；(3)第6 s内的位移大小。[解析]　(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比 v4∶v6＝4∶6＝2∶3故第6 s末的速度v6＝32v4＝6 m/s。(2)由v4＝at4得a＝v4t4＝44 m/s2＝1 m/s2所以第1 s内的位移x1＝12at12＝12×1×12 m＝0.5 m第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m。(3)第1 s内与第6 s内的位移之比x1∶x′6＝1∶(2×6－1)＝1∶11故第6 s内的位移x′6＝11x1＝5.5 m。[答案]　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m　应用比例关系的三点注意(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例式快速解题。(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例式，如位移之比5∶7∶9∶11。[针对训练]1．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。下列说法正确的是(　　)A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2B　[由x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)知，x1∶x2＝1∶3；由v2＝2ax可得v1∶v2＝1∶2，选项B正确。]2．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1B．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1C．t1∶t2∶t3＝1∶2∶3D．t1∶t2∶t3＝(3-2)∶(2－1)∶1BD　[因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动来研究。初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(2－1)∶(3-2)，故所求时间之比为(3-2)∶(2－1)∶1，选项C错误，D正确；由v2-v02＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶2∶3，则所求的速度之比为3∶2∶1，故选项A错误，B正确。] 探究2　中点位置的瞬时速度公式的理解及应用1．中点位置的瞬时速度公式：vx2＝v02+v22，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。2．推导：如图所示，前一段位移vx22－v0 2＝2a·x2，后一段位移v2－vx22＝2a·x2，所以有vx22＝12·v02＋v2，即有vx2＝12v02+v2。3．两点说明(1)公式vx2＝v02+v22只适用于匀变速直线运动。(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即vx2＞vt2。【典例2】　(多选)一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法正确的是(　　)A．经过AB中点的速度为4vB．经过AB中间时刻的速度为4vC．通过前x2位移所需时间是通过后x2位移所需时间的2倍D．前t2时间通过的位移比后t2时间通过的位移少1.5vtBCD　[由匀变速直线运动的规律得，物体经过AB中点的速度为vx2＝v2+7v22＝5v，A错误；物体经过AB中间时刻的速度为vt2＝v+7v2＝4v，B正确；通过前x2位移所需时间t1＝vx2-va＝4va，通过后x2位移所需时间t2＝7v-vx2a＝2va，C正确；前t2时间通过的位移x1＝v+4v2·t2＝54vt，后t2时间通过的位移x2＝4v+7v2·t2＝114vt，Δx＝x2－x1＝1.5vt, D正确。][针对训练]3．(多选)固定的光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是(　　)A．物体运动全过程中的平均速度是LtB．物体在t2时的瞬时速度是2LtC．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是2LtD．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是2t2ACD　[全程的平均速度v＝Lt，A正确；t2时，物体的速度等于全程的平均速度Lt，B错误；若末速度为v，则v2＝Lt，v＝2Lt，由中点位置的瞬时速度公式可得中间位置的速度v中＝v22＝2Lt，C正确；设到达中间位置用时t′，由按位移等分的比例式可得t′∶t＝1∶2，所以t′＝2t2，D正确。] 探究3　逐差相等公式的理解及应用1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ，xⅡ，xⅢ，…，xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。2．推导：x1＝v0T＋12aT 2，x2＝v0·2T＋42a·T 2，x3＝v0·3T＋92a·T 2，…所以xⅠ＝x1＝v0T＋12aT 2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋32aT 2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋52aT 2，…故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2，…所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2。3．拓展公式：匀变速直线运动中对于相等时间不相邻的任意两段位移有xm－xn＝(m－n)aT 2。4．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT 2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。(2)求加速度利用Δx＝aT 2，可求得a＝ΔxT2。【典例3】　如图所示，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段的时间相等，均为1 s，则(　　)A．质点的加速度大小为4 m/s2B．质点的加速度大小为2 m/s2C．质点在C点的速度大小为9 m/sD．质点在B点的速度大小为6 m/sA　[质点经过AB、BC、CD段的时间相等，均为T＝1 s，由x3－x1＝2aT 2得a＝x3-x12T2＝13-52×12 m/s2＝4 m/s2，故A正确，B错误；由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m，过B点时刻对应AC段的中间时刻，vB＝vAC＝x1+x22T＝5+92×1 m/s＝7 m/s，故D错误；过C点时刻对应BD段的中间时刻，vC＝vBD＝x2+x32T＝9+132×1 m/s＝11 m/s，故C错误。][针对训练]4．如图所示为研究匀变速直线运动规律打出的一条纸带，A、B、C、D为连续选择的计数点(相邻两计数点之间还有四个计时点没有画出)，已知打点频率为50 Hz，则物体运动的加速度大小为(　　)A．5.50 m/s2 B．4.40 m/s2C．2.90 m/s2 D．2.20 m/s2D　[根据逐差法求出物体运动的加速度大小为a＝xCD-xBCT2＝0.097-0.0750.12 m/s2＝2.20 m/s2，故选D。]5．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m, 且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为 0.2 s, 则下列说法正确的是(　　)A．物体的加速度为20 m/s2B．物体的加速度为25 m/s2C．CD＝4 mD．CD＝5 mBC　[由匀变速直线运动的规律知，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT 2，可得a＝BC-ABT2＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB可知CD＝4 m，故C正确，D错误。]素养提升练(二)1．物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为(　　)A．2 m/s B．22 m/sC．2 m/s D．22 m/sB　[已知v0＝0，v＝4 m/s，根据vx2＝v02+v22，解得物体经过斜面中点时的速度为22 m/s，故B正确。]2．质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为(　　)A．1∶4∶9 B．1∶3∶5C．1∶8∶27 D．1∶2∶3C　[初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T……第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]3．(多选)一个做匀变速直线运动的物体，在两段连续相等的时间内通过的位移分别是AB＝12 m和BC＝32 m，已知连续相等的时间间隔为2 s，则物体的初速度vA和加速度a分别为(　　)A．物体的初速度为1 m/sB．物体的加速度为3 m/s2C．物体的初速度为3 m/sD．物体的加速度为5 m/s2AD　[根据Δx＝at2可得a＝BC-ABt2＝5 m/s2，根据位移公式可得AB＝vAt＋12at2，解得vA＝1 m/s，故A、D正确，B、C错误。]4．云南龙江大桥是亚洲最大的高速公路悬索桥，总长2470.58 m，桥面宽33.5 m，为双向四车道设计，设计速度为80 km/h，如图甲所示，图乙中A、B、C、D、E为大桥上五根钢丝绳吊索，每两根吊索之间距离相等，若汽车从吊索A处开始做匀减速直线运动，刚好在吊索E处停下，汽车通过吊索D时的瞬时速度为vD，通过DE段的时间为t，则(　　)A．汽车通过吊索A时的速度大小为4vDB．汽车减速的时间大于2tC．汽车通过吊索C时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度D．汽车通过AD段的平均速度是通过DE段平均速度的3倍D　[汽车减速到零，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀变速直线运动的比例关系，可知汽车通过DE、AD段所用的时间之比为1∶1，可得汽车减速的时间等于2t，汽车通过吊索A时的速度为2vD，故A、B错误；汽车通过DE段的平均速度为vD2，通过AD段的平均速度为2vD+vD2＝32vD，故D正确；汽车通过吊索D时为AE段的中间时刻，故通过吊索D的速度等于AE段的平均速度，故C错误。]5．一列火车进站后做匀减速直线运动直至停下，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间之比为(　　)A．32－1 B．1－23C．32 D．23A　[匀减速运动至停下可以看成倒过来的初速度为零的匀加速运动，初速度为零的匀加速直线运动中相邻相等位移内的时间之比为1∶(2－1)∶(3-2)∶…，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间之比为3-22＝32－1，故选A。]6．一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s, 这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是(　　)A．1∶22∶32，1∶2∶3B．1∶23∶33，1∶22∶32C．1∶2∶3，1∶1∶1D．1∶3∶5，1∶2∶3B　[根据x＝12at2知，物体在1 s内、3 s内、6 s内的位移之比为1∶9∶36，则三段位移之比为1∶8∶27，根据v＝xt可知，三段位移上的平均速度之比为1∶4∶9，故B正确，A、C、D错误。]7．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　)A．1 m/s2 B．2.25 m/s2C．3 m/s2 D．4.25 m/s2B　[轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为 1.5 m, 可得两段距离分别为s1＝12 m，s2＝21 m，又曝光周期为T＝2 s，据匀变速直线运动规律Δs＝s2－s1＝aT 2，解得a＝2.25 m/s2，故选B。]8．(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有(　　)A．物体经过AB位移中点的速度大小为v1+v22B．物体经过AB位移中点的速度大小为v12+v222C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5BD　[由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝v12+v222，时间中点的速度为v4＝v1+v22，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝v1+v22，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动，都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1v2，故D正确，C错误。]9．(多选)水球可以挡住高速运动的子弹。实验证实：如图所示，用极薄的塑料膜片制成三个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，恰好能穿出第三个水球，则可以判定(忽略薄塑料膜片对子弹的作用)(　　)A．子弹在每个水球中运动时间之比为t1∶t2∶t3＝1∶1∶1B．子弹穿过每个水球的时间之比t1∶t2∶t3＝(3-2)∶(2－1)∶1C．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1D．子弹在穿入每个水球时的速度之比为v1∶v2∶v3＝3∶2∶1BD　[把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。子弹由右向左依次“穿出”3个水球的速度之比为1∶2∶3，则子弹实际运动依次穿入每个水球时的速度之比v1∶v2∶v3＝3∶2∶1，故C错误，D正确；子弹从右向左通过每个水球的时间之比为1∶(2－1)∶(3-2)，则子弹实际运动穿过每个水球的时间之比为t1∶t2∶t3＝(3-2)∶(2－1)∶1，故B正确，A错误。]10．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m。则下列说法正确的是(　　)A．物体运动的加速度为8 m/s2B．第2 s末的速度为8 m/sC．第2 s内的位移为6 mD．物体在0～3 s内的平均速度为6 m/sBCD　[由x4－x2＝2aT 2可知，物体运动的加速度为a＝x4-x22T2＝4 m/s2，故A错误；由速度公式v2＝at可得v2＝8 m/s，故B正确；由x＝12at2可得Δx2＝(12×4×22－12×4×12) m＝6 m，故C正确；由平均速度定义v＝xt'可得v＝12at'2t'＝6 m/s，故D正确。]11．物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s2, 求：(1)物体在2 s内的位移大小；(2)物体在第2 s内的位移大小；(3)物体在第二个2 s内的位移大小。[解析]　(1)物体在2 s内的位移x2＝12at22＝12×1×22 m＝2 m。(2)汽车在第1 s内的位移x1＝12at12＝12×1×12 m＝0.5 m由xⅠ∶xⅡ＝1∶3得xⅡ＝3xⅠ＝3x1＝1.5 m。(3)以2 s为一个时间单位，设物体在第二个2 s内的位移为x′由x2∶x′＝1∶3得x′＝3x2＝3×2 m＝6 m。[答案]　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m12．从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm, xBC＝20 cm。求：(1)小球的加速度大小；(2)拍摄时小球B的速度大小；(3)拍摄时xCD的长度。[解析]　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球间的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。(1)由推论Δx＝aT 2可知，小球的加速度为a＝ΔxT2＝xBC-xABT2＝5 m/s2。(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知小球在B点的速度等于AC段上的平均速度，即vB＝vAC＝xAC2T＝1.75 m/s。(3)由匀加速直线运动的特点知，连续相等时间内位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m。[答案]　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m