人教版高中物理必修第一册第二章素养提升课(三)追及相遇问题、竖直上抛运动学案

这是一份人教版高中物理必修第一册第二章素养提升课(三)追及相遇问题、竖直上抛运动学案，共28页。

素养提升课(三)　追及相遇问题、竖直上抛运动1．掌握追及相遇问题的分析思路和方法。2．掌握竖直上抛运动的特点，能用全过程分析法或者分段法解决竖直上抛运动的问题。 探究1　追及、相遇问题的分析与求解1．追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。2．分析追及相遇问题的思路和方法(1)抓住一个条件、用好两个关系①一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。②两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。(2)常用方法①物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。②图像法：将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像求解。③数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。【典例1】　一辆汽车以3 m/s2的加速度开始启动的瞬间，一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过。(1)汽车在追上自行车前运动多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多少？(2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车时汽车的瞬时速度是多大？[思路点拨]　开始时自行车的速度大于汽车的速度，二者之间的距离逐渐增大，当汽车的速度等于自行车的速度时，二者相距最远；之后汽车的速度大于自行车的速度，二者之间距离逐渐缩短，直到追上。[解析]　(1)解法一　基本规律法汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车的速度为v1，两车间的距离为Δx，则有v1＝at1＝v自所以t1＝v自a＝2 sΔx＝v自 t1-12at12＝6 m。解法二　极值法或数学分析法设汽车在追上自行车之前经过时间t1，两车间的距离为Δx＝x1－x2＝v自t1-12at12代入已知数据得Δx＝6t1-32t12 m由二次函数求极值的条件知t1＝2 s时，Δx最大，代入得Δx＝6 m。解法三　图像法自行车和汽车运动的v-t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积。t1＝v1a＝63 s＝2 sΔx＝v1t12＝6×22 m＝6 m。(2)解法一　基本规律法当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，汽车的瞬时速度为v2，则有v自t2＝12at22解得t2＝2v自a＝2×63 s＝4 sv2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。解法二　图像法由图可以看出，在t1时刻之后，由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与标有阴影的三角形面积相等，此时汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇。由几何关系知t2＝2t1＝4 s，v2＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s　分析追及问题的思路及三个易错点1．解决追及相遇问题的思路2．三个易错点(1)追赶物体与被追赶物体的速度恰好相等是临界条件，往往是解决问题的重要条件。(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。(3)仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图像的应用。[针对训练]1．(多选)甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿同一条直线运动，它们的v-t图像如图所示，由图可知(　　)A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B．t＝20 s时，乙追上了甲C．t＝20 s时，甲、乙之间的距离为乙追上甲前的最大距离D．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快CD　[由题图可知，乙在0～10 s内速度为零，甲先出发，但乙出发后做匀加速直线运动，甲做匀速直线运动，两物体出发地点相同，则乙可以追上甲，故A错误；在v-t图像中，图线与时间轴所围面积即为物体运动的位移，故20 s内甲的位移大于乙的位移，乙不可能追上甲，故B错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，甲在乙的前方，两者距离逐渐增大，20 s后乙的速度大于甲的速度，两者距离逐渐减小，在t＝20 s时刻两者距离最大，最大距离为s＝10×20 m－12×10×10 m＝150 m，所以C、D正确。]2．一小汽车在平直公路上行驶，速度v1＝20 m/s，紧急制动后经t＝5 s停下，则：(1)小汽车紧急制动时的加速度多大？(2)若司机发现前方70 m处发生了交通事故，从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t0＝0.50 s，该车行驶是否会出现安全问题？请通过计算说明原因；(3)若司机发现前方有一大货车停着，因为该路段只能通过一辆车，所以小汽车司机在距离大货车x＝20 m时按喇叭提出警示并开始紧急制动，大货车听到提示马上加速，大货车至少以多大的加速度加速才不会相撞？[解析]　(1)以初速度方向为正方向，由vt＝v1＋at代入数据得a＝－4 m/s2则汽车加速度的大小为4 m/s2。(2)反应距离为s1＝v1t0＝10 m刹车距离为s2＝v1+vt2t＝50 m停车距离为s＝s1＋s2＝60 m<70 m小汽车行驶时不会出现安全问题。(3)设经过时间t1，两车速度相等，大小为v2时两车不相撞，有v1+v22t1－v22t1＝20 mv2＝v1＋at1v2＝a1t1联立可得a1＝6 m/s2大货车至少以6 m/s2的加速度加速才不会相撞。[答案]　(1)4 m/s2　(2)不会，原因见解析　(3)6 m/s2 探究2　竖直上抛运动1．竖直上抛运动将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动。2．竖直上抛运动的性质(1)上升阶段：初速度v0向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速运动。(2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动。(3)全过程可以看作是初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动。3．竖直上抛运动的规律通常取初速度v0的方向为正方向，则a＝－g。(1)速度公式：v＝v0－gt。(2)位移公式：h＝v0t－12gt2。(3)位移和速度的关系式：v2-v02＝－2gh。(4)上升的最大高度：H＝v022g。(5)上升到最高点(即v＝0时)所需的时间：t＝v0g。4．竖直上抛运动的特点(1)对称性(如图所示)①时间对称性，对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO。②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等、方向相反，vB＝－vB′， vA＝－vA′。(2)多解性通过某一点可能对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。【典例2】　气球下挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物再经多长时间落到地面？落地速度多大？(空气阻力不计，g取10 m/s2)[解析]　解法一　分段法绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降。重物上升阶段，时间t1＝v0g＝1 s由v02＝2gh1知，h1＝v022g＝5 m重物下降阶段，下降距离H＝h1＋175 m＝180 m设下落时间为t2，则H＝12gt22，故t2＝2Hg＝6 s重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，速度v＝gt2＝60 m/s。解法二　全程法取初速度方向为正方向重物全程位移h＝v0t－12gt2，其中h＝－175 m可解得t1＝7 s，t2＝－5 s(舍去)由v＝v0－gt得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下。[答案]　7 s　60 m/s　竖直上抛运动的处理方法[针对训练]3．某次自由体操项目比赛中，某运动员以大小为v0的初速度竖直向上跳起，重力加速度大小为g，若不计空气阻力，运动员可视为质点，从离开地面算起，则下列说法正确的是(　　)A．运动员上升到最大高度所用的时间为v02gB．运动员的速度大小减小到初速度的一半时所用的时间一定为v02gC．运动员上升到最大高度一半时的速度大小为22v0D．运动员上升的最大高度为v02gC　[根据匀变速直线运动的速度—时间公式得0＝v0－gt，故运动员上升到最大高度所用的时间为t＝v0g，故A错误；取竖直向上为正方向，运动员的速度大小减小到初速度的一半时所用的时间可能为t1＝v02-v0-g＝v02g，也可能为t2＝-v02-v0-g＝3v02g，故B错误；设运动员上升到最大高度一半时的速度大小为v，根据匀变速直线运动速度与位移的关系有v2-v02＝－2g·h2，0－v2＝－2g·h2，解得v＝22v0，故C正确；根据匀变速直线运动速度与位移的关系有0-v02＝－2gh，解得h＝v022g，故D错误。]4．某校一课外活动小组自制了一枚火箭，设火箭发射后始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2, 求：(1)燃料恰好用完时火箭的速度大小；(2)火箭上升离地面的最大高度；(3)火箭从发射到返回发射点的时间(结果保留三位有效数字)。[解析]　(1)设燃料恰好用完时火箭的速度为v。根据运动学公式有h＝v2t解得v＝20 m/s。(2)燃料用完后，火箭能够继续上升的时间t1＝vg＝2 s火箭能够继续上升的高度h1＝v22g＝20 m因此火箭离地面的最大高度H＝h＋h1＝60 m。(3)火箭由最高点落至地面的时间t2＝2Hg＝23 s火箭从发射到返回发射点的时间t总＝t＋t1＋t2≈9.46 s。[答案]　(1)20 m/s　(2)60 m　(3)9.46 s素养提升练(三)1．(多选)以35 m/s的初速度竖直向上抛出一个小球。不计空气阻力，g＝10 m/s2，以下判断正确的是(　　)A．小球到最大高度时的速度为0B．小球到最大高度时的加速度为0C．小球上升的最大高度为61.25 mD．小球上升阶段所用的时间为7.0 sAC　[小球做竖直上抛运动，在最高点速度为零，但加速度不为零，故A正确，B错误；依题意可得小球上升的最大高度为h＝v22g＝61.25 m，小球上升阶段所用的时间为t＝vg＝3.5 s，故C正确，D错误。]2．一小球以25 m/s的初速度竖直向上抛出，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则小球抛出后第3 s末的速度(　　)A．大小为5 m/s，方向竖直向下B．大小为5 m/s，方向竖直向上C．大小为55 m/s，方向竖直向上D．大小为55 m/s，方向竖直向下A　[根据竖直上抛运动的规律有v＝v0－gt，解得v＝－5 m/s，故3 s末小球速度大小为5 m/s，方向竖直向下。故选A。]3．一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中心，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)。从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间最接近下面哪个答案(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点。g取 10 m/s2)(　　)A．1.8 s B．1.7 sC．1.6 s D．1.4 sB　[跳水运动员到达最高点时有h1＝12gt12，可得跳水运动员到达最高点的时间为t1＝0.3 s，跳水运动员从最高点运动至水面，有h1＋h2＝12gt22，可得跳水运动员从最高点运动至水面的时间为t2≈1.4 s, 可用于完成空中动作的时间为t＝t1＋t2＝1.7 s，故选B。]4．(多选)将一个物体在 t＝0 时刻以一定的初速度竖直向上抛出， t＝0.8 s 时物体的速度大小变为 8 m/s(g 取 10 m/s2)，则下列说法正确的是(　　)A．物体一定是在 t＝3.2 s 时回到抛出点B．t＝0.8 s 时刻物体的运动方向一定向上C．物体的初速度可能是 20 m/sD．t＝0.8 s 时刻物体一定在初始位置的下方AB　[若 t＝0.8 s时物体的速度为－8 m/s，根据v＝v0－gt得，v0＝0，不合题意，舍去；若t＝0.8 s时物体的速度为8 m/s，根据v＝v0－gt得v0＝16 m/s, B正确，C错误；根据v＝v0－at得，－16 m/s＝16 m/s－10t· m/s，得t＝3.2 s，A正确；t＝0.8 s时刻物体的速度是8 m/s，一定向上运动，一定在初始位置的上方，D错误。]5．一个从地面开始做竖直上抛运动的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高点B的时间间隔是TB，则A、B两点之间的距离为(　　)A．18gTA2-TB2 B．14gTA2-TB2C．12gTA2-TB2 D．12g(TA－TB)A　[物体做竖直上抛运动经过同一点，上升时间与下落时间相等，则从竖直上抛运动的最高点到点A的时间tA＝TA2，从竖直上抛运动的最高点到点B的时间tB＝TB2，则A、B两点的距离x＝12gtA2-12gtB2＝18gTA2-TB2。]6．(多选)在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们的位移x(m)随时间t(s)变化的规律：汽车为x＝10t-14t2 m，自行车为x＝6t m，则下列说法正确的是(　　)A．汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速运动B．不能确定汽车和自行车各做什么运动C．开始经过路标后较短时间内汽车在前，自行车在后D．当自行车追上汽车时，它们距路标96 mACD　[由汽车的位移—时间关系为x＝10t-14t2 m 可知汽车做匀减速直线运动，由自行车的位移—时间关系为x＝6t m可知自行车做匀速直线运动，选项A正确，B错误；开始阶段汽车的初速度大于自行车的速度，所以在较短时间内汽车的位移大于自行车的位移，汽车在前，自行车在后，选项C正确；根据10t-14t2 m＝6t m得t＝16 s，此时距路标的距离s＝96 m，选项D正确。]7．(多选)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶，t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v-t图像如图所示，则下列图像对应的比赛中，有一辆赛车能够追上另一辆的是(　　)A　　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　　DAC　[选项A中当t＝20 s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项A正确；选项B中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项B错误；选项C中，在t＝20 s时，两图线与时间轴所围的“面积”相等，此时b追上a，所以选项C正确；选项D中a图线与时间轴所围的“面积”始终小于b图线与时间轴所围的“面积”，所以不可能追上，选项D错误。]8．一个步行者以6 m/s的速度匀速追赶一辆被红灯阻停的汽车，当他距离汽车25 m时，绿灯亮了，汽车以1 m/s2的加速度匀加速启动前进，下列结论正确的是(　　)A．人能追上汽车，追赶过程中人跑了36 mB．人不能追上汽车，人、车最近距离是7 mC．人能追上汽车，追上前人共跑了43 mD．人不能追上汽车，且汽车开动后人、车相距越来越远B　[设经过时间t两者速度相等，此时步行者与汽车的距离最近，t＝Δva＝6-01 s＝6 s，步行者的位移为x1＝vt＝6×6 m＝36 m，汽车的位移为x2＝12at2＝12×1×36 m＝18 m，x1－x2＝18 m＜25 m，故不能追上，人、车最近距离是Δx＝25 m－18 m＝7 m, 故B正确，A、C、D错误。]9．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，其x-t图像如图所示，已知甲车做匀变速直线运动，其余数据已在图中标出。根据图中数据可知(　　)A．t＝2 s时刻，甲、乙两车速度大小相等B．t＝2 s时刻，甲、乙两车相遇C．0～2 s内，甲车位移等于乙车位移D．相遇之前，t＝1 s时两车相距最远B　[x-t图像的斜率表示速度，可知t＝2 s时刻，甲车的速度比乙车大，故A错误；t＝2 s时刻，甲、乙两车相遇，故B正确；0～2 s内，甲车的位移为x甲＝6 m－(－2)m＝8 m，乙车的位移为x乙＝(6－0) m＝6 m0时，上升阶段；v<0时，下落阶段(2)x>0时，物体在抛出点的上方；x<0时，物体在抛出点的下方