人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡学案

这是一份人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡学案，共22页。
任务2．掌握共点力平衡的条件。
任务3．会用共点力的平衡条件，分析生活和生产中的实际问题。
[问题初探] 问题1 什么是共点力？
问题2 共点力平衡的条件是什么？
问题3 处于平衡状态的物体一定静止吗？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
共点力平衡的条件
[链接教材] 下列如教材图中所示的受力情境，哪些图表示共点力？共点力的作用点一定作用在同一位置吗？
提示：甲和丁是共点力；共点力的作用点不一定作用在同一位置，但其作用线或延长线一定交于一点。
1．共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。如图所示。
2．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态。
3．二力平衡条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，并且在同一条直线上，那么这两个力平衡。
4．在共点力的作用下物体平衡的条件是合力为0。
一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
问题1 此时灯泡受几个力？
提示：受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
问题2 试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
提示：如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
问题3 上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示：可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
1．共点力的平衡条件：合力等于0，即F合＝0。
正交分解表示法Fx合=0Fy合=0
其中Fx合和Fy合分别表示物体在x轴和y轴上所受的合力。
2．平衡条件的推论
(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向。
(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向。
(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力必定与另外(n－1)个力的合力等大、反向。
【典例1】 (对平衡状态的理解)(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是( )
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
ACD [物体处于平衡状态的条件是F合＝0，物体处于静止或匀速直线运动状态，故A、C、D正确；B项中运动员上升到最高点时v＝0，F合≠0，不会静止在最高点，故不是平衡状态，B错误。]
【典例2】 (对平衡条件的理解)物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为 10 N, 方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
[解析] (1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝F1'2+F2＝102+102 N＝102 N。
[答案] (1)10 N，方向水平向左 (2)102 N
解决共点力平衡问题的常用方法
在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
问题1 有风时金属球受哪几个力的作用？
提示：有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力FT。
问题2 小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是什么关系？
提示：是平衡力，满足大小相等，方向相反。
问题3 重力产生的作用效果是什么？
提示：一是沿着金属丝向左下方拉金属丝，二是沿着水平方向向右拉金属球。
问题4 如何计算风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间的关系(试画出受力分析图)?
提示：可以用合成法、分解法、正交分解法(如图所示)。
1．合成法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题。
2．分解法
物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等，方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题。
3．正交分解法
(1)物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡状态时，将物体所受的各个力均向两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。
(2)平衡方程
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0，
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0。
【典例3】 (选自鲁科版教材·合成法的应用)用绳子将鸟笼挂在一根横梁上，如图所示。若鸟笼重19.6 N，求绳子OA和OB对结点O的拉力。
[解析] 以结点O为研究对象，根据共点力的平衡条件，受力分析如图所示。
F＝T，且T＝G
由三角函数关系得
F1＝F cs 30°＝19.6×32 N≈17.0 N
F2＝F sin 30°＝19.6×0.5 N＝9.8 N
所以，绳子OA对结点O的拉力大小是17.0 N，方向沿绳由O指向A；OB对结点O的拉力大小是 9.8 N, 方向沿绳由O指向B。
[答案] 见解析
【典例4】 (分解法的应用)如图所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动。已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力是( )
A．(F－mg)sin θB．μ(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cs θD．μ(F－mg)
B [对磨石进行受力分析，如图所示，
由平衡条件，沿斜壁方向 (F－mg)·cs θ＝Ff；垂直于斜壁方向压力FN＝(F－mg)·sin θ，故摩擦力Ff＝μFN＝μ(F－mg)sin θ，选项B正确。]
【典例5】 (正交分解法的应用)如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系式正确的是( )
A．F＝mgtanθB．F＝mg tan θ
C．FN＝mgtanθD．FN＝mg tan θ
A [对小滑块
进行受力分析，如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行正交分解，根据平衡条件列方程，水平方向有：FNcs θ＝F，竖直方向有：FNsin θ＝mg，联立解得FN＝mgsinθ，F＝mgtanθ。]
“四步”巧解共点力平衡问题
“活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，由于滑轮或挂钩对绳无约束，因此绳上的张力处处相等，即滑轮只改变力的方向不改变力的大小，如图所示。
2．死结：若结点不是滑轮，是固定点时，称为“ 死结” 结点，则两侧绳上的弹力不一定相等，如图所示。
3．活杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆处于平衡时杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动。如图甲所示，若 C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
4．死杆：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向。如图乙所示。
【典例6】 (“活结”与“死结”模型) (多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，B物体放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是203 N，则下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
AB [O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acs 30°，可解得FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得F弹＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acs 30°，对物体B有FfB＝FO′b，联立解得F弹＝10 N，FfB＝103 N，选项A正确，C错误。]
【典例7】 (“活杆”与“死杆”模型)如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的轻质光滑定滑轮悬挂一质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向的夹角为30°，在轻杆的G点用细绳GF悬挂一质量为M2的物体(都处于静止状态)，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体所受的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图1和图2所示，根据平衡规律求解。
(1)图1中细绳AD跨过轻质光滑定滑轮悬挂质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g
所以FTACFTEG＝M12M2。
(2)图1中，由几何关系知FTAC、FNC、M1g三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，FNC的方向与水平方向成30°，指向右上方。
(3)图2中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcs 30°＝FNG，所以FNG＝M2gtan30°＝3M2g，方向水平向右。
[答案] (1)M12M2 (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)3M2g，方向水平向右
【教用·备选例题】 如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处，绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于( )
A．45°B．55°
C．60°D．70°
B [对O点进行受力分析，如图所示。
因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大反向，β＝∠2，故B正确。]
1．(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
CD [物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。]
2．(2023·浙江1月卷)如图所示，轻质网兜兜住重力为 G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的 A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则( )
A．FTG D．FT＝G
C [对网兜和足球受力分析，设轻绳与竖直墙面夹角为 θ，由平衡条件FT＝Gcsθ＝FNsinθ，FN＝G tan θ，可知FT>G，FT>FN，故选项C正确。 ]
3．周末某班一位同学去逛济南动物园的时候，他刚好看到一只质量为m＝20 kg的猴子趴在一个倾角θ＝30°的斜坡上静止不动，(g＝10 m/s2)求：猴子受到的支持力FN的大小和摩擦力Ff的大小？(保留三位有效数字)
[解析] 猴子受到重力、斜面支持力和摩擦力，受力分析如图所示。
猴子趴在斜坡上静止不动，根据平衡条件，猴子受到的支持力为FN＝mg cs 30°
解得FN＝1003 N≈173 N
猴子受到的摩擦力为Ff＝mg sin 30°
解得Ff＝100 N。
[答案] 173 N 100 N
回归本节知识，完成以下问题：
1．什么是物体的平衡状态？共点力作用下物体处于平衡状态的条件是什么？
提示：物体保持静止或匀速直线运动状态；物体所受合力为0即F合＝0。
2．解决平衡问题的常用方法有哪些？
提示：合成法、分解法、正交分解法、矢量三角形法。
课时分层作业(十三)
题组一 共点力平衡的条件
1．人站在自动扶梯的水平踏板上，随扶梯斜向上匀速运动，如图所示，以下说法正确的是( )
A．人受到重力和支持力的作用
B．人受到重力、支持力和摩擦力的作用
C．人受到的合外力不为零
D．人受到的合外力方向与速度方向相同
A [人匀速运动，合力为零，人只受到重力和支持力的作用，故A正确；假设人受到摩擦力的作用，则人在水平方向合力不为零，这与人合力为零相矛盾，说明人不受摩擦力作用，故B错误；人匀速运动，合外力一定为零，故C错误；人受到的合外力为零，没有方向，故D错误。]
2．如图所示，水平面上一物体在与水平面成θ角斜向右上方的拉力F作用下处于静止状态。以Ff、FN分别表示物体受到的水平面摩擦力、支持力，G表示物体受到的重力，则下列判断正确的是( )
A．F和G的合力的方向可能水平向右
B．F和Ff的合力方向竖直向上
C．FN可能为零
D．F和Ff的合力可能大于G
B [由水平方向受力平衡可知，物体一定受到水平向左的静摩擦力Ff的作用，故FN一定不为零，选项C错误；物体受四个力的作用处于平衡状态，则F和G的合力的方向与FN、Ff的合力方向相反，一定是斜向右下方，选项A错误；由于FN、G的合力方向竖直向下，故F和Ff的合力与FN、G的合力方向相反，一定竖直向上，且一定小于G，选项B正确，D错误。]
题组二 解决共点力平衡问题的常用方法
3．如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M, 衣架顶角为120°，重力加速度为g, 则衣架右侧对衣服的作用力大小为( )
A．12MgB．33Mg
C．32MgD．Mg
B [对衣服进行受力分析，如图所示。
由几何关系知，衣架左、右侧对衣服的作用力FN与竖直方向的夹角为30°，则有2FNcs 30°＝Mg，得FN＝33Mg，故选B。]
4．用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则( )
A．F1＝33mg，F2＝32mg
B．F1＝32mg，F2＝33mg
C．F1＝12mg，F2＝32mg
D．F1＝32mg，F2＝12mg
D [将圆筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ进行分解，如图所示，由几何关系可知，F1＝mg cs 30°＝32mg，F2＝mg sin 30°＝12mg，D正确。
]
5．(多选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动。已知推力F与水平面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体所受的摩擦力大小为( )
A．F sin θB．F cs θ
C．μFD．μ(mg＋F sin θ)
BD [物体做匀速直线运动，处于平衡状态，物体受力如图所示，由平衡条件可知，在水平方向上有Ff＝F cs θ，故A错误，B正确；在竖直方向上有FN＝mg＋F sin θ，则Ff＝μFN＝μ(mg＋F sin θ)，故C错误，D正确。]
题组三 “活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
6．如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，取cs 37°＝0.8，cs 53°＝0.6，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为( )
A．56mB．58m
C．524mD．18m
C [设初始时沙桶和沙的质量为m1，再次平衡时沙桶和沙的质量为m2，则添加细沙前后根据平衡条件有m1g cs 37°＝12mg，m2g cs 53°＝12mg，解得m1＝58m，m2＝56m，则Δm＝m2－m1＝524m，C正确。]
7．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是( )
A．F＝F1B．F＝2F1
C．F＝3F1D．F＝3F1
D [以O点为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系可知θ＝30°，由平衡条件可得F1sin 30°＝F2sin 30°，F1cs 30°＋F2cs 30°＝F，联立可得F＝3F1，故D正确，A、B、C错误。]
8．如图所示为三种形式的吊车的示意图，OA为杆，重力不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA受力的关系是( )
A．a>b>cB．a>c＝b
C．a＝b>cD．a＝b＝c
C [分别对三种形式的结点进行受力分析，设杆的作用力分别为F1、F2、F3，各图中FT＝G
在图(a)中，F1＝2G cs 30°＝3G
在图(b)中，F2＝G tan 60°＝3G
在图(c)中，F3＝G cs 30°＝32G
可知a＝b＞c，故C正确，A、B、D错误。]
9．在竖直墙壁间有质量分别是m和2m的半圆球A和圆球B，其中B的球面光滑，半球A与左侧墙壁之间存在摩擦。两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为( )
A．32B．33
C．34 D．233
A [隔离光滑均匀圆球B，对圆球B受力分析如图所示，可得N＝F cs θ，2mg－F sin θ＝0，解得N＝2mgtanθ，对两球组成的整体有3mg－μN′＝0，其中N′为墙壁对半球A的支持力，N′＝N，联立解得μ＝32。]
10．某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，滑块C压紧物体D。设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计。图中a＝0.6 m，b＝0.1 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．3B．4
C．5D．6
A [设力F与AC方向间的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示，则有2F2cs θ＝F，解得F2＝F2csθ。再将F2按作用效果分解成N和N′，作出力的分解图如图乙所示，则有N＝F2sin θ，联立得N＝Ftanθ2，根据几何知识可知tan θ＝ab＝6，则N＝3F，故A正确，B、C、D错误。]
11．如图所示，水平细杆上套有一质量为m的小环 A，用轻绳将质量为4m的小球 B与 A相连。 B受到始终与水平方向成60°夹角的风力作用，与A一起向右匀速运动，此时轻绳与水平方向夹角为 30°。运动过程中 B球始终在水平细杆的下方。重力加速度为g，求：
(1)B对绳子的拉力大小；
(2)A与杆间的动摩擦因数。
[解析] (1)对小球B，由平衡条件得绳的拉力为FT＝4mg sin 30°＝2mg。
(2)小环A做匀速直线运动，有
FTcs 30°－μFN＝0
FN＝mg＋FTsin 30°
解得μ＝32。
[答案] (1)2mg (2)32
12．如图所示，水平轻绳AC一端固定在墙上，另一端连接小球A；另一根轻绳跨过光滑定滑轮后分别连接小球A和水平地面上的物体B。已知物体B的质量mB＝3 kg，小球A的质量mA＝3 kg。跨过定滑轮的轻绳两侧与竖直方向夹角均为30°，小球A和物体B均处于静止状态，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)轻绳AC的张力大小；
(2)物体B所受地面的摩擦力大小和支持力大小。
[解析] (1)对小球A进行受力分析可知，小球A受重力、轻绳AC的拉力和轻绳OA的拉力，根据平衡条件得FAC＝mAg tan 30°，FOA＝mAgcs30°
解得FAC＝10 N，FOA＝20 N。
(2)轻绳OA和OB为定滑轮两边的细绳，拉力相等，即FOA＝FOB
物体B受重力、轻绳OB的拉力、地面的摩擦力f和支持力N，则有f＝FOBsin 30°
FOBcs 30°＋N＝mBg
解得f＝10 N，N＝(30－103)N。
[答案] (1)10 N (2)10 N (30－103)N