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数学苏科版（2024）2.2 数轴学案设计
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这是一份数学苏科版（2024）2.2 数轴学案设计，共24页。学案主要包含了苏科版2024，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9063" 【题型1 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc9063 \h 2
\l "_Tc3140" 【题型2 有理数的分类】 PAGEREF _Tc3140 \h 2
\l "_Tc24307" 【题型3 数轴的三要素及其画法】 PAGEREF _Tc24307 \h 4
\l "_Tc2243" 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 PAGEREF _Tc2243 \h 4
\l "_Tc2221" 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc2221 \h 5
\l "_Tc10251" 【题型6 数轴上两点之间的距离】 PAGEREF _Tc10251 \h 5
\l "_Tc26382" 【题型7 数轴上的整点问题】 PAGEREF _Tc26382 \h 6
\l "_Tc9056" 【题型8 数轴中点的简单移动】 PAGEREF _Tc9056 \h 6
\l "_Tc20553" 【题型5 应用数轴解决实际问题】 PAGEREF _Tc20553 \h 7
知识点1：有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数；
负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。
正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；
负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；
整数和分数统称为有理数。
有理数的两种分类：
【题型1 有理数的相关概念】
【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数
C．所有分数都是有理数D．π不是有理数
【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“−”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【题型2 有理数的分类】
【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，52，−0.2，10%，8，其中说法错误的是（ ）
A．−5，0，8都是整数B．分数有52，−0.2，10%
C．正数有52，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数
【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.587及下列判断：
①这个数不是分数，但是有理数；
②这个数是负数，也是分数；
③这个数不是有理数；
④这个数是负小数，也是负分数.
其中正确判断的序号是 ．
【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在−π3，3.1415，0，−0.333…，−227，2.010010001…中，非负数的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，π，0，1317，0.03，−312，10，25%．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}．
知识点2：数轴
数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【题型3 数轴的三要素及其画法】
【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53
D．小颖和小红间的距离为7
【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（ ）
A．原点位置可以是数轴上任意一点
B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向
C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取
D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．
【题型4 用数轴上的点表示有理数】
【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．
【题型5 利用数轴比较有理数的大小】
【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a<0B．b>0C．a>0D．a【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数a在数轴上的位置如下图所示，则a 0．
【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．
−3，+1，212，−1.5
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： ．
【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）
A．−72B．−52C．−32D．−12
【题型6 数轴上两点之间的距离】
【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，AB=7，则点B表示的数为 ．
A．2πB．2π+1C．2π−1D．4π
【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 ．
【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是5
（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ．
（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ．
【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点A表示的数是 ．
【题型5 应用数轴解决实际问题】
【例5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
【变式5-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了15km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km．
(1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米；
(2)小英家距小刚家有___________km．
(3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？
【变式5-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由．
【变式5-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场A出发，向西走了3千米到达批发部B，继续向西走了1.5千米到达商场C，又向东走了7.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，货场A为原点，画出数轴并在数轴上标明A，B，C，D的位置；
(2)超市D距货场A多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
专题2.2 有理数和数轴【九大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9063" 【题型1 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc9063 \h 2
\l "_Tc3140" 【题型2 有理数的分类】 PAGEREF _Tc3140 \h 4
\l "_Tc24307" 【题型3 数轴的三要素及其画法】 PAGEREF _Tc24307 \h 6
\l "_Tc2243" 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 PAGEREF _Tc2243 \h 8
\l "_Tc2221" 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc2221 \h 5
\l "_Tc10251" 【题型6 数轴上两点之间的距离】 PAGEREF _Tc10251 \h 11
\l "_Tc26382" 【题型7 数轴上的整点问题】 PAGEREF _Tc26382 \h 12
\l "_Tc9056" 【题型8 数轴中点的简单移动】 PAGEREF _Tc9056 \h 14
\l "_Tc20553" 【题型5 应用数轴解决实际问题】 PAGEREF _Tc20553 \h 15
知识点1：有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数；
负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。
正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；
负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；
整数和分数统称为有理数。
有理数的两种分类：
【题型1 有理数的相关概念】
【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可．
【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意；
B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意；
C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意；
D．1是最小的正整数，−1是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意，
【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数
C．所有分数都是有理数D．π不是有理数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的概念．熟练掌握有理数的概念是解题的关键．
根据有理数的概念进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，所有整数都是有理数，A正确，故不符合要求；
有限小数，无限循环小数是有理数，B错误，故符合要求；
所有分数都是有理数，C正确，故不符合要求；
π不是有理数，D正确，故不符合要求；
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
【答案】B
【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可．
【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；
B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；
C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“−”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】A
【分析】根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：因为负数小于0，0不是最小的整数，故①是错误的；
因为0是有理数，但0既不是正数，也不是负数，故②是错误的；
因为正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数，故③是错误的；
因为非负数包括0和正数，故④是错误的；
因为−π2不是有理数，故⑤是错误的；
因为带“−”号的数可以是−0，但−0=0，0不是负数，故⑥是错误的；
因为无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故⑦是正确的；
因为正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧是正确的；
其中错误的说法的个数为6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，难度较小；正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．
【题型2 有理数的分类】
【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，52，−0.2，10%，8，其中说法错误的是（ ）
A．−5，0，8都是整数B．分数有52，−0.2，10%
C．正数有52，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数分类的知识，解题关键是理解并掌握有理数分类的相关知识．根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可．
【详解】解：A. −5，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意；
B. 分数有52，−0.2，10%，该说法正确，不符合题意；
C. 正数有52，10%，8，该说法正确，不符合题意；
D. −0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意．
故选：D．
【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.587及下列判断：
①这个数不是分数，但是有理数；
②这个数是负数，也是分数；
③这个数不是有理数；
④这个数是负小数，也是负分数.
其中正确判断的序号是 ．
【答案】②④
【分析】根据有理数的概念和分类即可作出判断.
【详解】解：-107.587是一个负有理数，故③错误；这个数也是一个小数和分数，故②④正确，①错误；
故答案为②④.
【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，有理数分为整数和分数（小数）；也可以分为：正数、0、负数.解题的关键是掌握有理数的分类.
【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在−π3，3.1415，0，−0.333…，−227，2.010010001…中，非负数的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的定义，解题的管计划司掌握非负数的定义．根据“零和整数统称为非负数”，即可求解．
【详解】解：非负数有：3.1415，0，2.010010001…，共3个，
故选：B．
【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，π，0，1317，0.03，−312，10，25%．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}．
【答案】3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；−7，0，10；3.5，1317，0.03，25%
【分析】
本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得出答案．
【详解】解：正有理数集合{3.5，1317，0.03，10，25%，…}；
非负整数集合{ 0，10，…}；
整数集合{−7，0，10，…}；
正分数集合{3.5，1317，0.03，25%，…}．
故答案为：3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；−7，0，10；3.5，1317，0.03，25%．
知识点2：数轴
数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【题型3 数轴的三要素及其画法】
【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．
【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；
B、正确；
C、不正确，错误原因：缺少正方向；
D、不正确，错误原因：缺少了原点．
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53
D．小颖和小红间的距离为7
【答案】C
【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断．
【详解】解：A.小明所在的位置表示数0，故此项结论正确；
B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确；
C.小刚所在的之位置对应的数在−3与−2之间，而−53在−2与−1之间，故此项结论错误；
D.小颖和小红间的距离为2−−5=7，故此项结论正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键．
【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（ ）
A．原点位置可以是数轴上任意一点
B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向
C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取
D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm
【答案】B
【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，对给出的选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向，
故选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．
【答案】−2
【分析】由AC长度是6.4厘米求出数轴的单位长度是0.8厘米，再由AB的长度是2.4cm，即可求解．
【详解】解：∵6.4÷3−(−5)=0.8cm，
∴数轴的单位长度是0.8厘米，
∵2.4÷0.8=3，
∴在数轴上A,B的距离是3个单位长度，
∴点B所对应的数b为−5+3=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．
【题型4 用数轴上的点表示有理数】
【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
【答案】−3
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一
【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为−3，满足“到原点的距离大于2，还是负数”
故答案为：−3
【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【答案】A
【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，
∴OB=2024，
∴点B表示的数是−2024，
故选：B．
【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是−1，再根据有理数加法计算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是−1，
∴比数轴上的点A表示的数大1的数是−1+1=0，
故选：B．
【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．
【答案】±4
【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案．
【详解】解：在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ±4，
故答案为：±4．
【题型5 利用数轴比较有理数的大小】
【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a<0B．b>0C．a>0D．a【答案】C
【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：b<−1<0【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数a在数轴上的位置如下图所示，则a 0．
【答案】<
【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，根据有理数a在数轴上的位置可以直接判断．
【详解】解：根据有理数a在数轴上的位置，可知a<0，
故答案为：<．
【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．
−3，+1，212，−1.5
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： ．
【答案】（1）见解析；−3<−1.5<+1<212；（2）负有理数
【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键．
（1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可；
（2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数．
【详解】解：（1）数轴表示如下：
．
∴−3<−1.5<+1<212．
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数．
故答案为：负有理数．
【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）
A．−72B．−52C．−32D．−12
【答案】A
【分析】本题考查数轴，根据点P在数轴上的位置即可求解．
【详解】解：由数轴可知点P表示的数在−3和−2之间，
∵−72<−3<−52<−2<−32<−12，
∴四个选项中的数只有−52在−3和−2之间，
【题型6 数轴上两点之间的距离】
【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，AB=7，则点B表示的数为 ．
【答案】4
【分析】根据平移规律计算，−3+7=4，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】根据平移规律，得，−3+7=4，
故点B表示的数是4，
故答案为：4．
【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示−5的点到原点的距离是（ ）
A．5B．−5C．10D．−10
【答案】C
【分析】本题考查的是数轴，根据数数轴上表示−5的点到原点的距离为5进行解答即可．
【详解】解：数轴上表示−5的点到原点的距离为5．
故选：A．
【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点A、B在数轴上对应的数分别是−2和3，则AB的长度为 ．
【答案】5
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．根据数轴上两点间的距离公式计算解题．
【详解】解：AB=3+2=5，
故答案为：5．
【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形ABCD的边长AB=2，其顶点A在数轴上且表示的数为−1，若点E也在数轴上且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A．−3B．3C．−3或1D．−3或3
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数与数轴及两点间距离．分类讨论，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数即可．
【详解】解：由题意得AB=AE=2，
当点E在点A的左边时，点E所表示的数为−1−2=−3，
当点E在点A的右边时，点E所表示的数为−1+2=1，
故选：C．
【题型7 数轴上的整点问题】
【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数有 个．
【答案】5
【分析】根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于−6而小于−1，大于0而小于6，再写出其中的整数即可解答．
【详解】解：由数轴可知比−6大比−1小的整数有−5，−4，−3，−2，
比0大比6小的整数有1，2，3，4，5，
∴墨迹盖住部分的整数有5个．
故答案为：5．
【点睛】考查了数轴．理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解题关键．
【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示2.5和−1.13之间的整数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解．
【详解】解：如图所示：
在数轴上表示2.5和−1.13两点之间的整数有−1，0，1，2，共4个．
故选：A．
【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可．
【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有−2、−1、0，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键．
【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．
【答案】13
【分析】根据题意得到被盖住的整数为−10,−5,−8,−7−6,−5,7,8,5,10,11,12,13，再相加即可求解．
【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为−10,−5,−8,−7−6,−5,7,8,5,10,11,12,13 ，
∴被盖住的整数的个数为13，
故答案为：13
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键
【题型8 数轴中点的简单移动】
【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．2πB．2π+1C．2π−1D．4π
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，A、B两点的距离即为半径为1个单位长度的圆的周长，据此得到AB=2π，再由A点在数轴上表示的数是1，可得点B表示的数是2π+1．
【详解】解：∵半径为1个单位长度的圆滚动一周所走的距离为2π，
∴AB=2π，
∵A点在数轴上表示的数是1，
∴点B表示的数是2π+1，
故选：B．
【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数．
【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，
∵点A表示的数是1，
∴ 1−2+3=2，
∴点B表示的数是2，
故答案为：2．
【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是5
（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ．
（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ．
【答案】 7 5或13
【分析】（1）根据数轴上的距离确定原来点N表示的数；
（2）分两种情况根据平移求得现在点表示的数．
【详解】（1）解：5−6+4=7，
（2）当点M在数轴上向左移动4个单位长度表示的数是5−4=5；
当点M在数轴上向右移动4个单位长度表示的数是5+4=13；
故答案为：7；5或13．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”．
【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点A表示的数是 ．
【答案】0
【分析】由数轴的概念，即可解决问题．
【详解】解：∵点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，
∴点A表示的数是−4，
∴将点A向右移动5个单位长度后表示的数是+1，
∴再向左移动1个单位长度后点表示的数是0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素．
【题型5 应用数轴解决实际问题】
【例5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)作图见解析，C村离A村有8km
(2)邮递员一共骑行了20千米；
【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用；
（1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答；
（2）列出加法算式计算即可；
【详解】（1）解：如下图：
2+3+15+14=38千米，
38÷2=15升．
货车一共行驶了38千米，货车共用了15升油．
【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键．
【变式5-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由．
【答案】甲没获胜．
【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.5，即标志物向甲移了1.5m，由此判断甲没获胜．
【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，
标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.5，
即标志物向甲移了1.5m＜2m，由此判断甲没获胜．
考点：有理数的加减混合运算．
【变式5-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场A出发，向西走了3千米到达批发部B，继续向西走了1.5千米到达商场C，又向东走了7.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，货场A为原点，画出数轴并在数轴上标明A，B，C，D的位置；
(2)超市D距货场A多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
【答案】(1)作图见详解
(2)3千米
(3)15km
【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解；
（2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解；
（3）运用有理数的加减法运算即可求解．
【详解】（1）解：货车从货场A出发，用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，
∴以货场A为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，
（2）解：由（1）中数轴图示可知，超市D距货场A的距离为3千米．
（3）解：货车行驶的路程为3+1.5+7.5+3=15(km)．
【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9063" 【题型1 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc9063 \h 2
\l "_Tc3140" 【题型2 有理数的分类】 PAGEREF _Tc3140 \h 2
\l "_Tc24307" 【题型3 数轴的三要素及其画法】 PAGEREF _Tc24307 \h 4
\l "_Tc2243" 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 PAGEREF _Tc2243 \h 4
\l "_Tc2221" 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc2221 \h 5
\l "_Tc10251" 【题型6 数轴上两点之间的距离】 PAGEREF _Tc10251 \h 5
\l "_Tc26382" 【题型7 数轴上的整点问题】 PAGEREF _Tc26382 \h 6
\l "_Tc9056" 【题型8 数轴中点的简单移动】 PAGEREF _Tc9056 \h 6
\l "_Tc20553" 【题型5 应用数轴解决实际问题】 PAGEREF _Tc20553 \h 7
知识点1：有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数；
负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。
正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；
负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；
整数和分数统称为有理数。
有理数的两种分类：
【题型1 有理数的相关概念】
【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数
C．所有分数都是有理数D．π不是有理数
【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“−”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【题型2 有理数的分类】
【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，52，−0.2，10%，8，其中说法错误的是（ ）
A．−5，0，8都是整数B．分数有52，−0.2，10%
C．正数有52，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数
【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.587及下列判断：
①这个数不是分数，但是有理数；
②这个数是负数，也是分数；
③这个数不是有理数；
④这个数是负小数，也是负分数.
其中正确判断的序号是 ．
【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在−π3，3.1415，0，−0.333…，−227，2.010010001…中，非负数的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，π，0，1317，0.03，−312，10，25%．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}．
知识点2：数轴
数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【题型3 数轴的三要素及其画法】
【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53
D．小颖和小红间的距离为7
【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（ ）
A．原点位置可以是数轴上任意一点
B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向
C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取
D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．
【题型4 用数轴上的点表示有理数】
【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．
【题型5 利用数轴比较有理数的大小】
【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a<0B．b>0C．a>0D．a
【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．
−3，+1，212，−1.5
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： ．
【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）
A．−72B．−52C．−32D．−12
【题型6 数轴上两点之间的距离】
【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，AB=7，则点B表示的数为 ．
A．2πB．2π+1C．2π−1D．4π
【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 ．
【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是5
（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ．
（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ．
【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点A表示的数是 ．
【题型5 应用数轴解决实际问题】
【例5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
【变式5-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了15km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km．
(1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米；
(2)小英家距小刚家有___________km．
(3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？
【变式5-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由．
【变式5-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场A出发，向西走了3千米到达批发部B，继续向西走了1.5千米到达商场C，又向东走了7.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，货场A为原点，画出数轴并在数轴上标明A，B，C，D的位置；
(2)超市D距货场A多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
专题2.2 有理数和数轴【九大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9063" 【题型1 有理数的相关概念】 PAGEREF _Tc9063 \h 2
\l "_Tc3140" 【题型2 有理数的分类】 PAGEREF _Tc3140 \h 4
\l "_Tc24307" 【题型3 数轴的三要素及其画法】 PAGEREF _Tc24307 \h 6
\l "_Tc2243" 【题型4 用数轴上的点表示有理数】 PAGEREF _Tc2243 \h 8
\l "_Tc2221" 【题型5 利用数轴比较有理数的大小】 PAGEREF _Tc2221 \h 5
\l "_Tc10251" 【题型6 数轴上两点之间的距离】 PAGEREF _Tc10251 \h 11
\l "_Tc26382" 【题型7 数轴上的整点问题】 PAGEREF _Tc26382 \h 12
\l "_Tc9056" 【题型8 数轴中点的简单移动】 PAGEREF _Tc9056 \h 14
\l "_Tc20553" 【题型5 应用数轴解决实际问题】 PAGEREF _Tc20553 \h 15
知识点1：有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数；
负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。
3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。
正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；
负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；
整数和分数统称为有理数。
有理数的两种分类：
【题型1 有理数的相关概念】
【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数
C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数
【答案】C
【分析】本题考查了有理数，根据有理数的相关知识逐一判断即可．
【详解】解：A．自然数就是非负整数，则A正确，故A选项符合题意；
B．正有理数和负有理数以及0统称为有理数，则B错误，故B选项不符合题意；
C．没有最小的有理数，则C错误，故C选项不符合题意；
D．1是最小的正整数，−1是最大的负整数，则D错误，故D选项不符合题意，
【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（ ）
A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数
C．所有分数都是有理数D．π不是有理数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的概念．熟练掌握有理数的概念是解题的关键．
根据有理数的概念进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，所有整数都是有理数，A正确，故不符合要求；
有限小数，无限循环小数是有理数，B错误，故符合要求；
所有分数都是有理数，C正确，故不符合要求；
π不是有理数，D正确，故不符合要求；
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类
B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数
D．整数和分数统称为有理数
【答案】B
【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可．
【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；
B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；
C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；
⑥带“−”号的数一定是负数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；
其中错误的说法的个数为（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】A
【分析】根据正负数的定义以及有理数的分类进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：因为负数小于0，0不是最小的整数，故①是错误的；
因为0是有理数，但0既不是正数，也不是负数，故②是错误的；
因为正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数，故③是错误的；
因为非负数包括0和正数，故④是错误的；
因为−π2不是有理数，故⑤是错误的；
因为带“−”号的数可以是−0，但−0=0，0不是负数，故⑥是错误的；
因为无限小数包括无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数，故⑦是正确的；
因为正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑧是正确的；
其中错误的说法的个数为6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的定义以及有理数的分类，难度较小；正数比0大，0比负数大；有理数的分类有两种，第一种是整数和分数，第二种是正有理数，0，负有理数．
【题型2 有理数的分类】
【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，52，−0.2，10%，8，其中说法错误的是（ ）
A．−5，0，8都是整数B．分数有52，−0.2，10%
C．正数有52，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数分类的知识，解题关键是理解并掌握有理数分类的相关知识．根据有理数分类的相关知识逐项分析判断即可．
【详解】解：A. −5，0，8都是整数，该说法正确，不符合题意；
B. 分数有52，−0.2，10%，该说法正确，不符合题意；
C. 正数有52，10%，8，该说法正确，不符合题意；
D. −0.2是负有理数，也是分数，本选项说法不正确，符合题意．
故选：D．
【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.587及下列判断：
①这个数不是分数，但是有理数；
②这个数是负数，也是分数；
③这个数不是有理数；
④这个数是负小数，也是负分数.
其中正确判断的序号是 ．
【答案】②④
【分析】根据有理数的概念和分类即可作出判断.
【详解】解：-107.587是一个负有理数，故③错误；这个数也是一个小数和分数，故②④正确，①错误；
故答案为②④.
【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，有理数分为整数和分数（小数）；也可以分为：正数、0、负数.解题的关键是掌握有理数的分类.
【变式2-2】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）在−π3，3.1415，0，−0.333…，−227，2.010010001…中，非负数的个数（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的定义，解题的管计划司掌握非负数的定义．根据“零和整数统称为非负数”，即可求解．
【详解】解：非负数有：3.1415，0，2.010010001…，共3个，
故选：B．
【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，π，0，1317，0.03，−312，10，25%．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}．
【答案】3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；−7，0，10；3.5，1317，0.03，25%
【分析】
本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得出答案．
【详解】解：正有理数集合{3.5，1317，0.03，10，25%，…}；
非负整数集合{ 0，10，…}；
整数集合{−7，0，10，…}；
正分数集合{3.5，1317，0.03，25%，…}．
故答案为：3.5，1317，0.03，10，25%；0，10；−7，0，10；3.5，1317，0.03，25%．
知识点2：数轴
数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【题型3 数轴的三要素及其画法】
【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．
【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；
B、正确；
C、不正确，错误原因：缺少正方向；
D、不正确，错误原因：缺少了原点．
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
A．数轴是以小明所在的位置为原点
B．数轴采用向北为正方向
C．小刚所在的位置对应的数有可能是−53
D．小颖和小红间的距离为7
【答案】C
【分析】根据数轴的定义：包含原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴，有理数的大小比较，数轴上两点之间距离：右边点表示的数减去左边点表示的数，即可判断．
【详解】解：A.小明所在的位置表示数0，故此项结论正确；
B.四人自南向北，且由南向北表示的数越来越大，所以向北为正方向，故此项结论正确；
C.小刚所在的之位置对应的数在−3与−2之间，而−53在−2与−1之间，故此项结论错误；
D.小颖和小红间的距离为2−−5=7，故此项结论正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴的定义，在数轴上比较两数大小，数轴上两点之间的距离，理解定义，能根据图形提供的信息解题是解题的关键．
【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（ ）
A．原点位置可以是数轴上任意一点
B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向
C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取
D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm
【答案】B
【分析】数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向；依据上述知识，对给出的选项进行判断，即可得到答案．
【详解】解：数轴上原点的位置可以任意确定，单位长度也可以任意确定，取右方向为正方向，
故选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴的相关知识是解题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为 ．
【答案】−2
【分析】由AC长度是6.4厘米求出数轴的单位长度是0.8厘米，再由AB的长度是2.4cm，即可求解．
【详解】解：∵6.4÷3−(−5)=0.8cm，
∴数轴的单位长度是0.8厘米，
∵2.4÷0.8=3，
∴在数轴上A,B的距离是3个单位长度，
∴点B所对应的数b为−5+3=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题考查数轴的概念，关键是确定数轴上的单位长度是多少厘米．
【题型4 用数轴上的点表示有理数】
【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
【答案】−3
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一
【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为−3，满足“到原点的距离大于2，还是负数”
故答案为：−3
【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2024B．−2024C．12024D．−12024
【答案】A
【分析】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的定义求解即可．
【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2024，OA=OB，
∴OB=2024，
∴点B表示的数是−2024，
故选：B．
【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A表示的数是−1，再根据有理数加法计算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是−1，
∴比数轴上的点A表示的数大1的数是−1+1=0，
故选：B．
【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ．
【答案】±4
【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案．
【详解】解：在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么a= ±4，
故答案为：±4．
【题型5 利用数轴比较有理数的大小】
【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a<0B．b>0C．a>0D．a
【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：b<−1<0
【答案】<
【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，根据有理数a在数轴上的位置可以直接判断．
【详解】解：根据有理数a在数轴上的位置，可知a<0，
故答案为：<．
【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．
−3，+1，212，−1.5
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： ．
【答案】（1）见解析；−3<−1.5<+1<212；（2）负有理数
【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键．
（1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可；
（2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数．
【详解】解：（1）数轴表示如下：
．
∴−3<−1.5<+1<212．
（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数．
故答案为：负有理数．
【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ）
A．−72B．−52C．−32D．−12
【答案】A
【分析】本题考查数轴，根据点P在数轴上的位置即可求解．
【详解】解：由数轴可知点P表示的数在−3和−2之间，
∵−72<−3<−52<−2<−32<−12，
∴四个选项中的数只有−52在−3和−2之间，
【题型6 数轴上两点之间的距离】
【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，AB=7，则点B表示的数为 ．
【答案】4
【分析】根据平移规律计算，−3+7=4，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】根据平移规律，得，−3+7=4，
故点B表示的数是4，
故答案为：4．
【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示−5的点到原点的距离是（ ）
A．5B．−5C．10D．−10
【答案】C
【分析】本题考查的是数轴，根据数数轴上表示−5的点到原点的距离为5进行解答即可．
【详解】解：数轴上表示−5的点到原点的距离为5．
故选：A．
【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点A、B在数轴上对应的数分别是−2和3，则AB的长度为 ．
【答案】5
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，熟记距离公式是解题的关键．根据数轴上两点间的距离公式计算解题．
【详解】解：AB=3+2=5，
故答案为：5．
【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形ABCD的边长AB=2，其顶点A在数轴上且表示的数为−1，若点E也在数轴上且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A．−3B．3C．−3或1D．−3或3
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数与数轴及两点间距离．分类讨论，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数即可．
【详解】解：由题意得AB=AE=2，
当点E在点A的左边时，点E所表示的数为−1−2=−3，
当点E在点A的右边时，点E所表示的数为−1+2=1，
故选：C．
【题型7 数轴上的整点问题】
【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数有 个．
【答案】5
【分析】根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于−6而小于−1，大于0而小于6，再写出其中的整数即可解答．
【详解】解：由数轴可知比−6大比−1小的整数有−5，−4，−3，−2，
比0大比6小的整数有1，2，3，4，5，
∴墨迹盖住部分的整数有5个．
故答案为：5．
【点睛】考查了数轴．理解整数的概念，能够首先结合数轴得到被覆盖的范围，进一步根据整数这一条件求解是解题关键．
【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示2.5和−1.13之间的整数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解．
【详解】解：如图所示：
在数轴上表示2.5和−1.13两点之间的整数有−1，0，1，2，共4个．
故选：A．
【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可．
【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有−2、−1、0，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键．
【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为 ．
【答案】13
【分析】根据题意得到被盖住的整数为−10,−5,−8,−7−6,−5,7,8,5,10,11,12,13，再相加即可求解．
【详解】解：根据题意得：被盖住的整数为−10,−5,−8,−7−6,−5,7,8,5,10,11,12,13 ，
∴被盖住的整数的个数为13，
故答案为：13
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键
【题型8 数轴中点的简单移动】
【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．2πB．2π+1C．2π−1D．4π
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，A、B两点的距离即为半径为1个单位长度的圆的周长，据此得到AB=2π，再由A点在数轴上表示的数是1，可得点B表示的数是2π+1．
【详解】解：∵半径为1个单位长度的圆滚动一周所走的距离为2π，
∴AB=2π，
∵A点在数轴上表示的数是1，
∴点B表示的数是2π+1，
故选：B．
【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是1，则点B表示的数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查数轴，数轴上两点间的距离，根据数轴，可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，列式计算即可得到点B表示的数．
【详解】解：由图可以理解为点A向左运动2个单位，再向右运动3个单位到达点B，
∵点A表示的数是1，
∴ 1−2+3=2，
∴点B表示的数是2，
故答案为：2．
【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是5
（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为 ．
（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是 ．
【答案】 7 5或13
【分析】（1）根据数轴上的距离确定原来点N表示的数；
（2）分两种情况根据平移求得现在点表示的数．
【详解】（1）解：5−6+4=7，
（2）当点M在数轴上向左移动4个单位长度表示的数是5−4=5；
当点M在数轴上向右移动4个单位长度表示的数是5+4=13；
故答案为：7；5或13．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，点的平移，解题的关键是掌握点在数轴上平移的规则“左减右加”．
【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点A表示的数是 ．
【答案】0
【分析】由数轴的概念，即可解决问题．
【详解】解：∵点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，
∴点A表示的数是−4，
∴将点A向右移动5个单位长度后表示的数是+1，
∴再向左移动1个单位长度后点表示的数是0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素．
【题型5 应用数轴解决实际问题】
【例5】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行2km到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)作图见解析，C村离A村有8km
(2)邮递员一共骑行了20千米；
【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用；
（1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答；
（2）列出加法算式计算即可；
【详解】（1）解：如下图：
2+3+15+14=38千米，
38÷2=15升．
货车一共行驶了38千米，货车共用了15升油．
【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键．
【变式5-2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由．
【答案】甲没获胜．
【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.5，即标志物向甲移了1.5m，由此判断甲没获胜．
【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，
标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.5，
即标志物向甲移了1.5m＜2m，由此判断甲没获胜．
考点：有理数的加减混合运算．
【变式5-3】（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场A出发，向西走了3千米到达批发部B，继续向西走了1.5千米到达商场C，又向东走了7.5千米到达超市D，最后回到货场．
(1)用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，货场A为原点，画出数轴并在数轴上标明A，B，C，D的位置；
(2)超市D距货场A多远？
(3)货车一共行驶了多少千米？
【答案】(1)作图见详解
(2)3千米
(3)15km
【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解；
（2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解；
（3）运用有理数的加减法运算即可求解．
【详解】（1）解：货车从货场A出发，用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，
∴以货场A为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，
（2）解：由（1）中数轴图示可知，超市D距货场A的距离为3千米．
（3）解：货车行驶的路程为3+1.5+7.5+3=15(km)．
【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键．
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