综合训练03 二次函数图象信息的五种典型问题类型试卷（解析版）

这是一份综合训练03 二次函数图象信息的五种典型问题类型试卷（解析版），共52页。
好题精选·同步精练 综合训练3二次函数图象信息的五种典型问题类型典型问题1一次函数与二次函数图象问题1．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决．【详解】解：由二次函数的图象可得，，，∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，故选：C．2．（2024·广东东莞·一模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致为（　　）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合判断．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选：C．3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】B【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键．由抛物线的对称轴在轴左侧，得到与同号，根据抛物线开口向下得到小于0，故小于0，再利用抛物线与轴交点在轴正半轴，得到大于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数经过的象限．【详解】解：由二次函数的图象可知：，故一次函数的图象过第一、二、四象限．故选：B．4．（23-24九年级上·黑龙江黑河·期末）一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．故选：B．5．（2024·山东聊城·三模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；B、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，符合题意；C、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；D、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；故选B．6．（2024·河南商丘·模拟预测）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意．故选：B7．（21-22九年级上·广东广州·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与其系数的关系是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，与事实矛盾，不符合题意；B、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，即，由直线可知， ，即，符合题意；C、D∵中，∴抛物线的开口向上，而两个选项中抛物线的开口都向下，∴这两个选项中抛物线的图象错误，不符合题意．故选：B．8．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则关于的一次函数的图象一定不经过的象限是（  ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，根据开口向上，与y轴交于负半轴，得到，则，根据对称轴计算公式得到，由此可得一次函数解析式为，据此可得一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．【详解】解；∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，∴，∴又∵对称轴为直线，∴，∴，∴一次函数解析式为，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选；B．9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交两点，则二次函数的图象可能为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，由一次函数与二次函数图象相交于两点，得出函数与轴有两个交点，两个交点为，利用对称轴即可进行判断的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：由一次函数与二次函数图象相交于两点的横坐标可得：函数与轴有两个交点，两个交点为，，即，，，，故二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，只有A选项的图象符合条件，故选：A．10．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的相关知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由一次函数与二次函数图象相交于、两点可知，方程有两个解，等价于函数与x轴有两个交点.【详解】解：∵，∴函数开口向上，.∵一次函数与二次函数图象相交于P、Q两点，∴方程有两个不相等的根，∴函数与x轴有两个交点，故C不符合条件；∵∴，∴函数的对称轴，故B、D不符合条件，A符合条件，故选A.典型问题2二次函数图象与系数的关系11．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④当时，随的增大而增大，⑤（为任意实数）．其中结论正确的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①；根据，可判断②；根据对称性求得时的函数值小于，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．【详解】解：①由图象可知：，，∵对称轴为直线：，∴，∴，故结论①错误；②∵，，，∴，∴，故结论②正确；③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，又∵当时，，∴当时，，故结论③错误；④当时，随的增大而减小，故结论④错误；⑤当时，取得最小值，此时最小值为，而当时，，∴，∴，即，故结论⑤正确；∴结论正确的个数为．故选：B．12．（2023九年级上·全国·专题练习）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，当 x=1时， ，即 ，故①错误；②由图示知， 当 时， ，即 ，故②正确；③由图示知，抛物线开口方向向下，∴，∵对称轴， ∴，抛物线与轴交于正半轴，∴，所以 ，故③错误；④由图示知，对称轴，∴∴，故④正确；综上所述，正解的结论有： ②④，共个．故选： B．13．（2024·河北秦皇岛·一模）抛物线的图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相同的解．其中正确的结论是（   ）A．①④⑤ B．①②③④ C．①③④ D．①②③④⑤【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析五条结论的正误即可．【详解】解：∵图象开口向上，∴，①正确；∵，，∴，②错误；∵，，∴，，③正确；∵图象经过，∴，④正确；∵图象顶点纵坐标，即只有一个x使得y等于，∴有两个相同的解，⑤错误．综上所述，正确的结论有：①③④，故选择C选项．14．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知二次函数的图象，根据图形判断①；②；③；④中正确的个数有（    ）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，根据开口方向和对称轴的位置以及与y轴的交点位置即可判断①②③，根据抛物线与x轴有两个不相同的交点即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，故①正确；∵对称轴在y轴右侧，∴，∴，故②正确；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴，故③正确；∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，∴，即，故④错误；故选：C．15．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ）①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．【详解】解：由题意，∵有两实根，．∴得，．∴，故①正确．，∴抛物线的对称轴是直线．∴抛物线的顶点为．又，∴，即．∴．∴．∴顶点坐标为，故②正确．∵，∴．又，，∴，故③错误．，，∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．∵，抛物线的对称轴是直线，又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，，，∴，故④错误．综上，正确的有①②共2个．故选：B．16．（22-23九年级上·河南南阳·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性，增减性以及二次函数图象上点的坐标特征是关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④．【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点，且，∴抛物线开口向下，则，，，故①错误；∵抛物线开口向下，对称轴为，∴函数的最大值为，∴对任意实数m都有：，即，故②错误；∵对称轴为，．∴当时的函数值大于0，即，∴，故③正确；∵对称轴为，点的对称点为，∵抛物线开口向下，∴若，则，故④正确；综上，正确的有③④共2个．故选：B．17．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（m为任意实数）．其中正确的结论有________个A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．【详解】解：①抛物线的开口方向向下，，对称轴在轴右侧，对称轴，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，，，故①错误；②当时，，，故②错误；③当时，，故③正确；④由图象可知对称轴为直线，则，，，，故④正确；⑤图象开口向下；当时，有最大值，当时，，当时，，即当时，，不符合题意，故⑤错误；正确的结论有两个；故选：B18．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图为二次函数的图象，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（    ）A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的图象确定系数以及代数式的值是解题关键．根据抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点的位置，判断a、c的值，即可判断①；先求出对称轴可得出2a和b关系判断②；根据时函数值的大小判断③即可；再根据x的取值与对称轴的关系讨论函数值的大小即可判断④；根据时，，再将代入判断⑤；当时，，再比较即可判断⑥.【详解】解：由抛物线的开口向上，则，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴，∴，则①正确；∵抛物线经过点和，∴对称轴为，∴，即，则②正确；当时，，则③不正确；当时，函数值随着y的增大而减小，之后函数值y随x的增大而增大，则④不正确．由②得，当时，，∴，即，则⑤正确；当时，，∴对于任意实数m，，∴对于任意实数m，均有，则⑥正确．所以正确的有①②⑤⑥．故选：D．19．（2024·河南商丘·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【答案】A【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．【详解】解：图象开口向上，，对称轴为直线， ， ，，①正确；由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为1,0，对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为，∴方程的两个根是，；故②正确；∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，∴当时，y的值随x增大而增大；∴当时，y的值随x增大而增大；故③正确，综上可知，正确的有①②③．故选:A．20．（2024·四川成都·模拟预测）对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可．【详解】解：①由图象可知：，，∵，∴，∴，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，故②正确；③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线，∴另一个交点在到之间，∴当时，，故③错误；④当时，，∴，故④正确；⑤当时，y取到值最小，此时，，而当时，，∴ ，故，即，故⑤正确，⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误，所以，正确的结论有：②④⑤，共3个故选：A．21．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ）A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线对称轴为直线，，即，所以②正确；抛物线与轴的交点在轴上方，，，所以①错误；抛物线对称轴为直线，函数的最大值为，当时，，即，所以③正确；抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点在的右侧当时，，，所以④错误；，，，，而，，即，，，所以⑤正确．故选：D22．（2024·广东珠海·模拟预测）二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的为（　　）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到，再结合当时，，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，，、异号，，，，①结论正确；抛物线对称轴是直线，，，由图象可知，当时，，，②结论错误；由图象可知，当时，，，又，，③结论错误；当时，为最小值，，，④结论正确，故选：A．23．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数（）的图象如图所示，则下列说法：①；②；③；④ 当时，；⑤．其中正确的有 ．（填序号）【答案】②③④【分析】根据顶点坐标，数形结合思想，抛物线的性质计算判断即可．本题考查了抛物线的性质，抛物线与不等式的关系，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴；∵对称轴在原点的右边，，∴，，∴，∴②正确；∵抛物线与y轴交点位于y轴正半轴上，∴，∴；故①错误；根据函数图象，得；故③正确；∵抛物线 的对称轴为直线，∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，∴当时，；故④正确；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴⑤错误；故答案为：②③④．24．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的交点为，，其中，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的结论有 ．【答案】②③⑤【分析】本题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．根据图象的开口方向、对称轴的位置和与y轴的交点位置即可判断a、b、c的符号，从而判断①；然后根据对称轴即可求出的关系，再结合即可判断②；利用对称性可得当时和当时的函数值相同，再结合图象即可判断③；利用二次函数的最值即可判断④；根据对称轴公式、当时y的符号和c的取值范围即可判断⑤．【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交点在负半轴∴，，，∴，故①错误；∵其对称轴为直线，与轴的交点为、，∴，∴，∵，∴，解得：，故②正确；根据对称性可知：当时和当时的函数值相同，由图可知，当时，，∴当时，，故③正确；当时，y有最小值，此时，∴当时，∴，故④错误；由图象可知： ，解得：当时，，∴，∵，∴，解得：，故⑤正确．正确的有②③⑤．故答案为∶②③⑤．25．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的是 【答案】①②③【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图象与性质．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线交轴于正半轴，∴，∵对称轴为直线，即，∴，∴，故结论①正确；∵抛物线对称轴为直线，且当时，，∴时，，即，故结论②正确；∵对称轴为直线，∴，∴，∴，故结论③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，若且，则点Px1,y1到对称轴的距离小于Qx2,y2到直线的距离，∴，故结论④不正确，∴正确的是①②③．故答案为：①②③．26．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的结论有 ．【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口方向、与轴交点以及对称轴可判断①结论；根据当时，，可判断②结论；根据当时，，可判断③结论；根据当时，二次函数有最小值，可判断④结论．【详解】解：抛物线开口向上，与轴交点在负半轴，，，抛物线对称轴为直线，，，，①结论错误；由图象可知，当时，，，②结论正确；由图象可知，当时，，，，③结论正确；由图象可知，当时，二次函数有最小值，，，④结论正确，故答案为：②③④．27．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在0,2与0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点M，点N是函数图象上的两点，则；④；⑤若t为任意实数，则，其中正确的结论有 ．【答案】①②③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤．【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线∴，，，，∴，，∴，∴，故①正确；∴；故②正确；∵抛物线的开口向下，∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，故④正确；∵当时，函数值最大，∴，∴；故⑤错误；故答案为：①②③④．28．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线x=2，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的结论有 ．（填序号）【答案】①④/④①【分析】先根据图象的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④．本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．【详解】∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，∴结论①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，由，得，∴抛物线与x轴的另一个交点为，即当时，，∴，∴，∴结论②错误；∵抛物线与x轴的两个交点为，，∴多项式可因式分解为，∴结论③错误；∵对称轴为直线，且函数开口向下，∴当时，y有最大值，由得，时，，时，，∴无论m为何值时，，∴∴结论④正确；综上：正确的有①④．故答案为：①④．典型问题3利用二次函数图象求解析式29．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）  A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象得出顶点位置及开口方向，进而根据各选项得出答案．【详解】解：由图象可得二次函数顶点坐标位于第三象限且开口向下则，所以：A、的顶点为，故本选项不符合题意；B、的，则图象开口向上，故本选项不符合题意；C、的顶点在第三象限且，故选项符合题意；D、的顶点为在第四象限，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据图象得出顶点位置及开口方向是解题关键．30．如图，铅球的出手点距地面米，出手后的运动路线是抛物线，出手后秒钟达到最大高度米，则铅球运行路线的解析式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的图象可知顶点为，设顶点式，根据的坐标求得解析式即可．【详解】依题意，抛物线的图象可知顶点为，设解析式为，，则，解得，故抛物线的解析式为．故选C．【点睛】本题考查了实物抛物线，根据图象设顶点式是解题的关键．31．（2023九年级下·全国·专题练习）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　）A． B．C． D． 【答案】D【分析】利用待定系数法求解即可．【详解】解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为，即，故选：D．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与轴交点时，可设交点式，通过图象设解析式求解即可．32．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，从正面看碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若，，则此抛物线的解析式为（    ）    A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了根据实际问题列二次函数解析式，直接根据题意得出点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案，正确得出点坐标是解题关键．【详解】解：∵，，∴， 设抛物线解析式为：， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为：，故选：．33．（2024·辽宁·模拟预测）如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，交点式：是常数，，解题的关键是数形结合．求出，设其解析式为交点式得到，代入求解即可判断．【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为，根据图象夹角为，∴，∵对称轴为，∴，∴设抛物线的解析式为，将代入可得，解得，∴抛物线的解析式为，故选：C．34．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为抛物线的顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为点，则平移后抛物线的解析式为(   )A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，根据二次函数的表达式求出点B的坐标为，根据正方形的性质可以求出点A的坐标，进而求出点A的坐标，进而求解．【详解】解：当时，y=−b,故B点坐标为，过点A作于D，∵四边形是正方形，∴上等腰直角三角形，∴，∴A点坐标为，∵二次函数的图象经过正方形的顶点A，∴,解得，∴A点坐标为，∵平移后的抛物线顶点为点，∴平移后抛物线的表达式为，故选：B．35．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边的中点，连接，点E在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过C，E两点，则这条抛物线的解析式为 ．        【答案】【分析】设抛物线的解析式为，先求出，过点E作轴于点F，证明，得到，求出，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：∵为抛物线的对称轴，∴设抛物线的解析式为，∵正方形边长为2∴，∵经过和E两点，过点E作轴于点F，如图，  ∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵，D为中点，∴，，∴，∴，∴和两点代入，得： ，解得：，∴抛物线的解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识点，数形结合是解题的关键．36．（2022九年级下·全国·专题练习）在如图所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为 ；（2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为 ．【答案】 （3，-1） 【分析】（1）过点C作轴，垂足为D，，根据全等三角形的性质即可求解；（2）将点代入解析式，求解即可．【详解】解：（1）过点C作轴，垂足为D， 如下图：由题意可得：，则，又∵∴，又∵，且由已知有，∴，∴ ∴ 点C的坐标为；故答案为.（2）∵ 抛物线，经过点，∴ ，解得，∴ 抛物线的解析式为故答案为.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求解二次函数解析式，解题的关键是构造全等三角形求得点的坐标．37．如图所示，直线交轴于，两点，交轴于点，若的坐标为，且的面积为，则抛物线的解析式为 ．【答案】【分析】由对称轴计算公式得出x=-=2，利用对称性得出点B坐标为（3，0），抛物线与y轴交于点（0，b），利用△ABC的面积为3，求得b，进一步代入点A得出函数解析式即可．【详解】∵y=ax2-4ax+b交y轴于点C，对称轴x=-=2，A的坐标为（1，0），∴C（0，b），点B坐标为（3，0），∵△ABC的面积为3，∴×2×b=3，解得b=3，把A（1，0）代入y=ax2-4ax+3，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．故答案为y=x2-4x+3．【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，求得对称轴，利用抛物线的对称性求得B点坐标是关键．典型问题4利用二次函数图象解一元二次方程38．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，那么关于x的一元二次方程的解为（    ）A．， B．，C．， D．【答案】B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数图象的对称轴为直线，∵图象与轴的一个交点为，∴图象与x轴的另一个交点坐标为，∴关于的一元二次方程的两实数根是故选B．39．（22-23九年级上·福建莆田·开学考试）如图，是二次函的部分图象，由图象可知方程的解是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根．【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴，∵与x轴的一个交点横坐标是3，∴设与x轴的另外一个交点横坐标是∴，解得：，∴方程的解是：，故选B．40．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的方程的解是（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据二次函数函数图象与一次函数图象的交点坐标就是方程的解直接判断即可．【详解】解：点，是与的图象交点，所以：的解是：，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数函数图象与一次函数图象的交点坐标就是方程的解；掌握函数交点坐标就是方程的解是解题的关键．41．如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围．【详解】解：∵二次函数的顶点为，∴对称轴为，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，∴右侧交点横坐标的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键．42．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解是 ．【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点为，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线在轴上方的图象对应的的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线，∵抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，当时，，故答案为：．43．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的一个解是，那么它的另一个解是 ．【答案】【分析】本题考查利用二次函数的图象与性质解方程，涉及二次函数图象与性质、图象法解一元二次方程等知识，由图知抛物线与轴的一个交点为，求出对称轴，再根据二次函数图象的对称性即可得到另一个交点，从而得到答案．【详解】解：由二次函数的部分图象可知其对称轴为，且方程的一个解是，即抛物线与轴的一个交点为，由二次函数对称性知二次函数图象与轴的另一个交点为，即方程的另一个解是，故答案为：．44．（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数y=kx+bk≠0与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ．【答案】【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标，∵一次函数与二次函数的图象相交于点，．∴的解为；故答案为：．45．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．  【答案】，【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，即，．故答案为：，．46．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，抛物线与直线交于点，，则关于的方程的解是 ．  【答案】，【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．【详解】解：∵抛物线与直线交于点，，∴关于的方程即的解是，故答案为：，．典型问题5利用二次函数图象解不等式47．（23-24九年级上·广西·期中）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是（    ）  A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题考查二次函数、一次函数与不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在直线下方部分的点的横坐标x的取值范围即可，解答的关键是找到两图象的交点的横坐标．【详解】解：根据图象，函数和的图象的两交点的横坐标为2和，∵当或时，二次函数图象在直线的下方，∴当时，x的取值范围是或，故选：D．48．（2024·四川内江·一模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ）  A． B．C．−1