安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高二上学期7月份自学质量检测数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量与共线，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 6
4. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
7. 一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，则（ ）
A 与互斥B. 与相互对立
C. 与相互独立D.
8. 已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有条
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中,错误的有（ ）
A. 单位向量都相等B. 模相等的两个平行向量相等
C. 若且同向,则D. ,若,,则
10. 已知函数的部分图象如图所示则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在点，使四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的取值范围是___________.
13. 在空间直角坐标系中，已知，点满足，则点的坐标为__________.
14. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．
（1）求；
（2）复数，若为纯虚数，求实数的值．
16. 《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：
（1）求该项指标的第30百分位数；
（2）若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标小于的汽车认为符合节能要求，已知，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率.
17. 在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上.
（1）若为线段中点，求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求值；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
19. 某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．