四川省绵竹中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知不共线的两个非零向量，则“与所成角为锐角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知则不等式解集是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，，比较a，b，c大小为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在同一直角坐标系内，存在一条直线，使得函数与函数y=gx的图象关于直线对称，就称函数是函数的“轴对称函数”．已知函数（是自然对数的底数），则下列函数不是函数的“轴对称函数”的是（ ）
A B. C. D.
7. 已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 下列式子中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）.
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 已知函数为，在R上单调递增，则a的范围是
C. 函数，正数a，b满足，则的最小值为12.
D. 设函数，则使得成立的x范围：
11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的导函数的图象关于直线对称
D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
三、填空题
12. 函数的定义域为___________
13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
14. 已知函数，且，则的最大值为___________.
四、解答题
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若的面积为，求.
16. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为．
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
18. 某市为提升中学生环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：

（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若，则，，；．
19. 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
（1）若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
（2）计算以下数列的逆序数．
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（3）已知数列，，…，的逆序数为，求，，…，的逆序数．