四川省雅安中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．
【详解】解：不等式，可化为，解得，
即不等式的解集为．
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由，可知点在第一象限，则点关于原点对称的点在第三象限.
【详解】因为,
所以点在第一象限，
所以点关于原点对称的点在第三象限.
故选：C
3. 若，则的值为（ ）
A. 8B. 16C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式的性质可得，进而可得，代入即可求解.
【详解】由且可得，故，则，
故选：B
4. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ）
A. 极差是5B. 众数是8C. 中位数是9D. 方差是2.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数解得，将数据按升序排列，根据极差、众数、中位数和方差逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，解得，
将数据按升序排列可得：5，8，8，9，10，则有：
极差为，故A正确；
众数是8，故B正确；
中位数为8，故C错误；
方差为，故D正确；
故选：C.
5. 在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形需满足的条件，对四个选项逐个判断即可.
【详解】
对于A，由，，则四边形为平行四边形，但由不能判定四边形为矩形，因此A不正确；
对于B，由，，则四边形为平行四边形，但由不能判定四边形为矩形，因此B不正确；
对于C，由，则，又，所以，，，
所以的长度为与BC两平行线间的距离，又，，，因此，
故四边形为矩形，因此C正确；
对于D，由，则，，又，所以，又，
则四边形可能为等腰梯形，因此D不正确；
故选：C.
6. 已知直线与直线交于点P，若点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出，再解一元一次不等式即可.
【详解】由题意，，即，
由可得，解得.
故选：A
7. 如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造直角三角形，利用三角函数的知识求旗杆的长度.
【详解】如图，，，则四边形是正方形，
所以，在中，，
所以，
所以.
故选：D.

8. 若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组所有整数解的和是6，即可求得m的范围．
【详解】由不等式组，得，得，
因为所有整数解的和是6，则由，即整数解为，
所以m的取值范围是.
故选：B.
9. 如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数的图像经过点，若且，则k的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设正方形的边长为，，然后利用题中条件解出，然后再利用，,，求出点坐标，代入函数求解即可.
【详解】设正方形的边长为，，因为
则，所以
解得
由题可知，,
所以，又因为，
所以有
解得 ，
因为的图像经过点
所以有，解得.
故选：D
10. 若关于的方程的一根小于1，另一根大于1，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合二次方程根的分布讨论函数零点，只需，解不等式即可.
【详解】由题：关于的方程的一根小于1，另一根大于1，
记函数，则函数的两个零点一个小于1，另一个大于1，
此二次函数开口向上，只需即可，
即，
解得：.
故选：A
【点睛】此题考查根据二次方程根的分布求参数的取值范围，转化为二次函数结合函数图象特征简化运算.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因式法进行因式分解，即得答案.
【详解】由题意得，
故答案为：
12. 大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是____________．
【答案】51人或59人
【解析】
【分析】设全班同学分成个小组，根据题意，列出不等式组运算求解.
【详解】设全班同学分成个小组，则该班有学生人，由题意得，
，解得，，
或，
当时，，
当时，，
所以该班的学生人数是51或59人.
故答案为：51或59人.
13. 如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与的三边相切，已知．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为 __________________.（π取3）
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，确定三角形形状并求出圆形水池及三角形面积即可得解.
【详解】在中，由，得，则，
设圆形水池与的三边相切的切点分别为，令圆形水池的圆心为，连接，
则，又，于是四边形是正方形，
由，
得，因此圆形水池的半径，面积，
而的面积，所以树叶落入水池的概率.
故答案为：
14. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】由根与系数的关系得到，，又，代入即可求解.
【详解】由是一元二次方程的两个实数根，
则，，
又.
故答案为：7.
15. 已知三点、和）在反比例函数（）的图象上，若，则、和的大小关系是 __________．（用“＜”连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象性质，由横坐标坐标的大小确定即可确定纵坐标的大小.
【详解】∵，
∴反比例函数图象在一、三象限，且都是随着自变量的增大而减小，
且，所以，即.
故答案为：.
16. 二次函数的顶点为P，其图像与x轴有两个交点，，交y轴于点以下说法中正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得是顶角为的等腰三角形
D. 抛物线上存在点N，当为直角三角形时，有
【答案】ACD
【解析】
【分析】二次函数与x轴有两个交点，，交y轴于点代入抛物线，
解方程组，可得可判断A；
由，可得抛物线解析式为，抛物线的顶点由，可求，由，可判断B；
先在第一象限内作求出点代入抛物线验证可判断C；
由点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或4个交点，存在直角三角形，可得即，解得，可判断D.
【详解】对于A选项：因为二次函数与轴有两个交点，交轴于点，
所以，所以，解得，
，故选项A正确；
对于B选项：如下图所示：

∵，∴，设抛物线解析式为，∴抛物线的顶点，∵A､B两点关于对称轴对称，，∴，，设抛物线的对称轴与轴交于G，则，
∴，∴，故选项B错误；
对于C选项：如下图所示：

在第一象限内作，过点M作轴于H， ，所以
，所以点 ，当时，，
∴点M在抛物线上，点M关于抛物线的对称轴对称点也在抛物线上，故选项C正确；
对于D选项：如下图所示：

∵点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，∴与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在内，抛物线与只有两个交点，不存在直角三角形，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或四个交点，存在直角三角形，所以即解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，以及辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共52分）
17. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数、整数指数幂的运算性质及绝对值的性质可求代数式的值；
（2）通分后可求代数式的化简结果，从而可求当时对应的值.
【详解】（1）原式
.
（2）.
当，原式.
18. 某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）15，10；
（2）答案见解析； （3）购进A种零食52件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元.
【解析】
【分析】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，再列出方程组求解即得.
（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（）件，列出不等式组并求解即得.
（3）求出（2）中每种方案所获利润，再比较大小而得.
【小问1详解】
设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，
依题意，，解得，
所以A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元.
【小问2详解】
设购进A种零食m件，则购进B种零食（）件，
由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，
得，解得，
而m为整数，则m可取50，51，52，因此购进A、B两种零食有3种进货方案：
①购进A种零食50件，购进B种零食50件；
②购进A种零食51件，购进B种零食49件；
③购进A种零食52件，购进B种零食48件.
【小问3详解】
设获利w元，
当购进A种零食50件，B种零食50件时，（元），
当购进A种零食51件，B种零食49件时，（元），
当购进A种零食52件，B种零食48件时，（元），
而，
所以购进A种零食52件，B种零食48件，获利最大，最大利润是604元．
19. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于两点，点的坐标为，点的坐标为2,3，连接，过作轴，垂足为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线上是否存在一点，使得是直角三角形，求出所有可能的点坐标．
【答案】（1），；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数所过的点可求，再求出的坐标后可求一次函数的解析式.
（2）就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求的坐标.
小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点的纵坐标为6且点在反比例函数图象上，
∴，∴，∴，
∴一次函数的表达式为.
【小问2详解】
如图，①当时，
设与交于，则，而，故为的中点，
∴，的横坐标为，
∴ .
②当，设，
则，解得，
故，
综上所述，当是直角三角形，或.
20. 已知函数．
（1）在给出的坐标系中作出的图象；（提示：先作出的图象，x轴上方图象不变，将x轴下方的图象沿x轴作翻折，就得到了的图象）
（2）若方程有三个实根，求实数a的值；
（3）在同一坐标系中作直线，观察图象写出不等式的解集．
【答案】（1）图象见解析
（2）1 （3）．
【解析】
【分析】（1）利用列表﹣描点﹣连线，可作出函数图象，或利用函数图象的平移以及翻折也可得到函数图象；
（2）数形结合，观察与的图象的交点情况，即得答案；
（3）作直线，观察其与的图象的交点情况，即得答案；
【小问1详解】
方法一：列表﹣描点﹣连线，
即可得到的图象，如图：
方法二：先作出的图象，x轴上方图象不变，
将x轴下方的图象沿x轴作翻折，就得到了的图象
函数的图象如上图；
【小问2详解】
由题意得，方程恰有三个不等实根，
结合直线的图象可知，实数a的值为1．
【小问3详解】
作直线，如图所示，
结合图象可得，不等式的解集为．
21. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，直线与x轴和抛物线分别交于点E、P，交CO于点D，P点的横坐标为t，CD的长用d表示，求d与t的函数关系式（不要求写出t取值范围）；
（3）如图3，在（2）问条件下，点M是OB上一点（点M的横坐标大于t），连接PM，PD的垂直平分线交BM于点F，交PM于点N，当，时，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线解析式解得，即可得结果；
（2）设，根据题意可得，即可得结果；
（3）做辅助线，可知四边形PQOG是矩形，点Q、O、N、P共圆，根据三角形可得，分析可知，代入运算求解即可.
【小问1详解】
将点代入，
则，解得，
所以抛物线解析式.
小问2详解】
对于直线，令，则，即，
对于抛物线，
因为P点的横坐标为t，则，
令，则，即，则，
因为在直线上，
则，解得，
所以.
【小问3详解】
如图，设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作于G，过N点作，交QP的延长线于H，HN交x轴于R，连接ON，作于T，
则，
因为与y轴所成的锐角，
则，可知，则轴，
因为，则，
又因为，则，即，
因为，可知四边形PQOG是矩形，
则，
又因为，则，
因为，，
则，可得，
则，即，
可知点Q、O、N、P共圆，则，
因为，则，
可知是等腰直角三角形，则，
因为，则，
可得，可知，则，
因为，则，可得，
又因为，则，
可得，即，
因为，则，
可得，即，则，
设，则，
则n，
设，则，
由可得，
即，则，
则，可得，
则，解得或（舍去），
即，把代入得．
x
-1
0
1
2
3
4
y
3
0
1
0
3
8