安徽省芜湖市师大附中2025届高三上学期9月第一次测试数学试卷（Word版附解析）

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2024.9.4
全卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合，，则（ ）
A. B. [0，1]
C. D.
2. 已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. -2D. 2
3. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，且．则（ ）
A. B. 2C. 3D.
5. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知随机事件，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为
A. B.
C D.
8. 是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B. 若随机变量，且，则
C. 若随机变量，且，则
D. 对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上
10. 已知数列满足，则下列结论正确有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前n项和
11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点，，其中，动点满足（且为常数），化简可得曲线：，则（ ）
A. 原点在曲线的内部
B. 曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 若，则的最大值为
D. 若，则存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，则______．
13. 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________．
14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
16. 某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.
（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；
（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.
附：
17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中是的中点，是的中点.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
18. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．
（1）求C的方程；
（2）若线段AB垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．
19. 已知函数.
（1）若，求证：当时，
（2）若有两个不同的极值点且.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：.
成绩小于60
成绩不小于60
合计
男
女
合计
0.10
0.050
0.010
2706
3.841
6635