广东省2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份广东省2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设为锐角，且，则与的大小关系为，若，且，则的取值范围是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
数 学
本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
3．已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．外接球半径为的正四面体的体积为（ ）
A．B．24C．32D．
5．设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．设为锐角，且，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
8．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．变量之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线经过点，且相对于点的残差为0.2，则
A．B．C．D．残差和为0
10．已知函数，则（ ）
A．的值域是B．的最小正周期是
C．关于对称D．在上单调递减
11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ）
A．第三名可能获得10分
B．第四名可能获得6分
C．第三名可能获得某一项比赛的第一名
D．第四名可能在某一项比赛中拿到3分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为_____________．
13．如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．
14．已知数列满足记的前项和为，若，则_____________；若，则_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）中，所对的边分别为，已知是与的等比中项，且是与的等差中项．
（1）证明：；
（2）求的值．
16．（15分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，3，点是线段的中点，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
17．（15分）某学校有两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为，前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为，如此往复．已知他第1天选择餐厅的概率为，第2天选择餐厅的概率为．
（1）求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率；
（2）求王同学第天选择餐厅用餐的概率．
18．（17分）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设，求当取得最小值时直线的方程；
（3）设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点．
19．（17分）函数的定义域为，若满足对任意，当时，都有，则称是连续的．
（1）请写出一个函数是连续的，并判断是否是连续的，说明理由；
（2）证明：若是连续的，则是连续且是连续的；
（3）当时，其中），且是连续的，求的值．
广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．72 14．（前空2分，后空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由题，得，
，
因为是与的等差中项，
所以，则，
在中，由正弦定理，得，
因此．
（2）在中，由余弦定理得，
由（1）知，则，即．
因为是与的等比中项，所以，从而，即，
从而，解得或（舍去）
在中，由余弦定理得，
因此．
16．（1）证明：取的中点为，连接．
因为点分别是和的中点，所以，且．
在圆柱的轴截面四边形中，．
所以，因此四边形是平行四边形．
所以，又平面平面，所以平面．
（2）解：由圆的性质可知，连接延长必与圆交于点，连接，因为平面平面，所以面，又因为已证平面，且，所以平面平面．
从而点到平面的距离即为点到平面的距离．
以为坐标原点，的中垂线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则
所以，
设为平面的法向量，则由可取
因此点到平面的距离，即点到平面的距离为．
17．（15分）解：（1）设“王同学第天选择餐厅”．
．
由全概率公式，得，解得．
设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”，则，
因此．
（2）设“王同学第天选择餐厅”，则，
由题与（1）可得．
由全概率公式，得．
则，又因为，
所以是以首项为，公比为的等比数列．
因此，即．
18．解：（1）设，则，
所以从而
因为，所以，即．
则，化简得．
所以点的轨迹方程为．
（2）由（1）得，则的最小值为1，此时或，
即或．
当时，可得，从而直线的方程为；
当时，同理可得直线的方程为．
（3）设，由（2）知，
当时，直线，得，直线；
当时，直线，得，直线．
当是其他点时，直线的斜率存在，且，
则直线的方程为，注意到，化简得．
设，则由解得，
又，所以，从而，
令，得，因此直线过定点．
19．解：（1）是连续的，也是连续的．理由如下：
由，有，
同理当，有，
所以是连续的，也是连续的．
（2）因为是连续的，由定义可得当时，有，
所以，
同理，所以，
所以，即是连续的，
同理可得，即是连续的．
（3）由（2）可得，两式相减可得
即是连续的，进一步有．
当时，有，因为是连续的，所以，
又，所以，所以，故是连续的．
由上述分析可知即
所以恒成立．
当时，；
当时，由，得，即．此时；满足题意．
当时，由，得．此时，满足题意．
综上所述，．9
9.5
10
10.5
11
11
10
6
5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
C
D
A
B
C
A
D
题号
9
10
11
选项
AD
BCD
ABD