湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期（9月）综合自主测试数学试卷（Word版附解析）

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时量：120分钟 分值：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，且，则（ ）
A. 6B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】，，
∵，∴，∴，
故选：D.
2. 已知，则（ ）.
A. B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数的定义和复数的模的公司及即可得解.
【详解】由，得，
则，所以.
故选：C.
3. 已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.
【详解】当时，
要使得的图象与直线存在两个交点，
则，解得，
又因为，所以，所以，
此时曲线的对称轴为，，
解得，，
故选：D
4. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.
【详解】设，
对任意，，
所以，
所以的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
令，
可得，即，
所以，可得，
由可得，解得，
所以的定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除BD选项，
当时，是减函数，
则，，
所以，排除A选项.
故选：C
5. 若平面单位向量，，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意确定，得到，再根据进行求解，或在平面直角坐标系中设出，，的坐标，利用坐标运算进行求解．
【详解】解：法一 由，，得，
所以，
所以，故选：A．
法二 由题意可设，，（），
则，得，
又，则，故，
所以．
故选：A
6. 石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
7. 已知过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点为，且，若点在抛物线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，，从而得到，利用抛物线的定义得到，解得，根据题意可知点在直线上，故将的最小值转化为求与平行的切线与直线之间的距离.
【详解】设，由的中点为，得，
由抛物线的定义可得，
又，所以，故抛物线的方程为．
易知点在直线上，
设与平行且与抛物线相切的直线方程为，
由，可得，
则，得，
则切线与直线之间的距离即的最小值，故的最小值为．
故选：A
8. 已知数列满足，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出数列的通项，再分奇偶求出半探讨其范围，并建立关于的不等式求解即得.
【详解】由，得数列是首项为3，公差为2的等差数列，则，
于是，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
当为偶数时，；当为奇数时，，因此，
由不等式恒成立，得，即，解得，
所以的取值范围为.
【点睛】易错点睛：利用裂项相消法求和时，应注意：（1）抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，直线，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用，找到，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.
【详解】，且，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
，当且仅当时等号成立，
，故B正确；
，故C错误；
，当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD.
10. 如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）
A. 存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形
B. 当时，三棱锥体积为
C. 当时，三棱锥的外接球表面积为
D. 当时，直线与平面所成的角的正弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对于，对分情况讨论，图形展示即可；
对于， 当时，，得出平面 ，利用等体积可求体积；
对于，当时，三棱锥的外接球心在过线段EG的中点，且垂直于平面的直线上，可求出，得表面积；
对于，求出的方向向量与平面法向量，利用向量公式可得答案.
【详解】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

对于A选项，时，在点，，由可知，所以截面即为四边形；由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误．

对于B选项，当时，，所以，所以平面，，又平面，
所以，三棱锥体积为，故B正确．
对于C选项，当时，且平面，
所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，
，，所以的中点，可记球心，，
外接球的半径，解得，，
所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误．
对于D选项，当时，，，，，，
所以，，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以可取，
由平面知，平面的法向量为，
记平面与平面的交线的一个方向向量为，
则，令，则，，所以可取，
又平面的法向量为
，则，，，设与平面所成的角为，
则，故D正确．
故选：BD．
11. 已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意分析可知为偶函数，，且的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.
【详解】已知函数，的定义域均为，
因为，，
可得，
又因为为奇函数，则，
可得，即为偶函数，
则，即，
可得，
所以，可知的周期为8.
对于选项A：因为，
令，则，，
可得，，故A正确；
对于选项B：因为，
令，可得，故B正确；
对于选项C：因为，且为偶函数，
则，
令，可得，
又因为，
令，则，，
可得，可得，
但由题设条件无法推出，故C错误；
对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，且，若的展开式中存在常数项，则展开式中的系数为______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据展开式通项公式及存在常数项确定，再求出展开式中含的项即可得解.
【详解】展开式的通项公式为，
因为存在常数项，所以，故只有当时满足题意，
即求展开式中含的项的系数，
令 ，即，
所以展开式中含项为，
所以展开式中的系数为6.
故答案为：6
13. 已知是定义域为的奇函数.若以点为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是图像的一部分，则的解析式为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出给定圆的方程，再根据给定条件结合奇函数的定义求出的解析式.
【详解】以点为圆心，半径为2的圆的方程为，
则该圆在x轴上方的部分的方程为，
由是奇函数，得，当时，，
，
所以的解析式为.
故答案为：
14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________.
【答案】1
【解析】
【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可.
【详解】函数，
因为，
所以该函数在单调递减，在单调递增.
过原点作的切线，设切点，
由，则切线的斜率为，
直线过，
∴，∴，
即，由函数与的图象在有且只有一个交点，
且当时满足方程，故方程有唯一解，则；
过原点作的切线，设切点，
由，得切线的斜率，
则切线过原点，
则有，∴，
则，则有，
∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为，
则，.
故答案为：1.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 某校组织了科技展参观活动，学生自愿参观，事后学校进行了一次问卷调查，分别抽取男、女生各40人作为样本．据统计：男生参观科技展的概率为，参观科技展的学生中女生占．
（1）根据已知条件，填写下列列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生参观科技展情况与性别是否有关．
（2）用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示女生人数，求的分布列和数学期望．
参考公式和数据：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据概率可完善二联表，即可根据卡方公式计算，与临界值比较即可求解，
（2）根据分层抽样可得抽男生8人，女生4人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式即可求解.
小问1详解】
因为男生参观科技展的概率为，所以参观科技展的男生人数为．
因为参观科技展的学生中女生占，所以参观科技展的人数为．
则参观科技展的女生人数为．
结合男、女生各有40人，填写列联表如下：
零假设为：学生参观科技展情况与性别无关．
根据列联表中的数据，计算得到
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校学生参观科技展情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
【小问2详解】
用分层随机抽样的方式从参观科技展的人中抽取12人，抽男生8人，女生4人，
所以的可能取值为0，1，2，3，4，
则，，
，，．
所以的分布列为
所以．
16. 在中，角，的对边分别为，的面积为，．
（1）求角．
（2）若的面积为，，为边的中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式求解角即可.
（2）利用余弦定理得到，再结合向量中线定理转化求解即可.
【小问1详解】
由题意得
，
由正弦定理，得，即，
所以．又，所以．
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，所以．
因为，所以，
即，所以．
因为是边的中点，所以，
所以，
所以，所以的长为．
17. 如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．
（1）求证：．
（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的余弦值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先利用线线垂直推导线面垂直，得平面，即得；同法再证平面，得；则得平面，故；
（2）根据题设条件和（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，由求得，再分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得.
【小问1详解】
依题意可知点为的中点，，所以．
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
依题意可知，，，，平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为，，平面，所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
由题意，得，，
由（1），所以．
以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，．
所以，，．
设，即，
则，．
若存在点，使得，则，
解得，则．
设平面的法向量为，
则令，得，，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则令，得，，
所以平面的一个法向量为．
所以．
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
18. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点2,0处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
（2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标．
【答案】（1）为双曲线的一部分，解析式为
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，根据光线经凸透镜至像点的总光程为定值建立等量关系，简、整理即可得解；
（2）设出，坐标，根据向量的坐标运算得到，的坐标，将点，的坐标代入的方程，得到两个方程，根据根与系数的关系及建立方程，解方程即可
【小问1详解】
设上任意一点，，光线从点至点2,0的光程为，光线穿过凸透镜后从点折射到点2,0的光程为，
则，，
由题意得，得，化简得，
，．令，得，
为双曲线的一部分，解析式为．
【小问2详解】
由题意知．
设，，，，
则，，，
，，，
易知，，得，，
即，．
将点的坐标代入，得，
化简整理得．
同理可得，
与为方程的两个解，
．
由题知，，解得，
点坐标可能为2,0或.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与直线的位置关系， 关键是将向量坐标化，并将点代入曲线得到关于k的二次方程，结合韦达定理求解.
19. 已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
（2）若的极大值为，求的取值范围．
（3）当时，求证：．
【答案】（1），单调递减区间是，单调递增区间是
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与对比可得，即可利用导数的正负确定函数单调性，
（2）求导得，即可对分类讨论求解导数的正负求解单调性，
（3）将不等式变形为只需要证明，构造函数，利用导数求证，构造函数和，利用导数分别证明，即可求证，进而可求解.
【小问1详解】
由题意，得，所以．
因为曲线在处的切线方程为，
又，所以，所以．
所以．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
【小问2详解】
由题意得．
当时，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意．
当时，令，得，．
因为的极大值为，所以，解得．
综上，的取值范围为．
【小问3详解】
当时，．
要证，即证，
只需证．
先证：，．
设，，则．
设，，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
所以函数在上单调递增，则，所以．
再证：，，即证．
设，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．所以．
设，，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．所以，即．
综上，得证．
故．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数参观科技展
未参观科技展
合计
男生
女生
合计
0．1
0．05
0．025
0．01
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
10．828
参观科技展
未参观科技展
合计
男生
32
8
40
女生
16
24
40
合计
48
32
80
0
1
2
3
4