湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二上学期入学自主检测数学试卷（Word版附解析）

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下面四个条件中，使 a>b 成立的必要而不充分的条件是（）
A. a>b+1B. a>b−1C. a2>b2D. a3>b3
【答案】B
【分析】根据不等式的性质或举例子逐一判断即可。
【详解】对 A . 当 a=3,b=2.5 时, 此时 a>b 不能推出 a>b+1, 不满足必要性;
对 B. 由 a>b ，可得 a>b−1 ；反之不成立，满足必要不充分；
对 C. 当 a=3,b=−3 时，此时 a>b 不能推出 a2>b2 ，不满足必要性；
对 D. 由 a>b ，可得 a3>b3 ，反之 a3>b3 也可推出 a>b ，是充要条件.
故选：B.
2. 若某银行储蓄卡的密码由 6 位数字组成。某人在银行自助取款机上输入密码时，忘记了密码的最后 1 位数字，如果某人记得密码的最后 1 位是偶数，那么这个人不超过 2 次就输对密码的概率为 ( )
A. 15B. 14C. 25D. 512
【答案】C
【分析】根据古典概型计算公式，结合概率加法和乘法的运算公式进行求解即可.
【详解】设事件 A：一次就按对，事件 B ：二次按对，
所以不超过 2 次就按对的概率为 P(A)+P(B)=15+45×14=25,
故选：C
3. 已知水平放置的 △ABC 的直观图 △A′B′C′ （斜二测画法）是边长为 2a 的正三角形，则原 △ABC 的面积为（ ）
A. 2a2B. 32a2C. 62a2D. 6a2
【答案】D
【分析】将 △ABC 的直观图作出来, 计算出 △ABC 底边 AB 的长和该边上的高, 利用三角形的面积公式可求出 △ABC 的面积。
【详解】正三角形 A′B′C′ 还原回原三角形如下图,
过 C′ 作 C′D 垂直于 x′ 轴于 D ，因为 ΔA′B′C′ 是边长为 2a 的正三角形，
所以 C′D=6a2 ，过 C′ 作 C′E 平行于 x′ 轴交 y′ 轴于 E ，则 A′E=2C′D=3a ，
所以， C′ 对应的原图形中的点 C 在平面直角坐标系 xOy 下的纵坐标为 23a ，
即原三角形 ABC 底边 AB 上的高为 23a ，
所以, 原三角形 ABC 面积 S=12×2a×23a=6a2, 故选 D.
【点睛】平面图形与其直观图的关系
（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段。"平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半. "
（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图 =24S原图形 .
4. 已知向量 a,b 为单位向量， a⋅b=0 ，若 c=3a+4b ，求 c 与 b 所成角的余弦值为（）
A. −45B. 35C. 45D. −35
【答案】C
【分析】由向量的数量积的运算公式和向量的夹角公式, 准确运算, 即可求解.
【详解】由向量的夹角公式，可得 cs⁡⟨c,b⟩=c⋅b|c||b|=(3a+4b)⋅b(3a+4b)2⋅1=3a⋅b+4b⋅b5=45.故选: C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式, 准确运算是解答的关键, 着重考查运算与求解能力.
5. 纯电动汽车是以车载电源为动力, 用电机驱动车轮行驶, 符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动。因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的
乘用车的发展方向。研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年 Peukert 提出铅酸电池的容量 C 、放电时间 t 和放电电流 I 之间关系的经验公式： C=Iλt ，其中 λ 为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为 15 A 时，放电时间为 30 h ；当放电电流为 50 A 时，放电时间为 7.5 h ，则该蓄电池的 Peukert 常数 λ 约为 ( ）（参考数据： lg⁡2≈0.301,lg⁡3≈0.477 ）
A. 1.15B. 2.88C. 3.87D. 5.5
【答案】A
【分析】根据题意可得 C=15λ×30=50λ×7.5 ，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解。
【详解】由题意知 C=15λ×30=50λ×7.5,
所以 5015λ=307.5=4, 两边取以 10 为底的对数, 得 λlg⁡103=2lg⁡2,
所以 λ=2lg⁡21−lg⁡3≈2×0.3011−0.477≈1.15,
故选: A.
6. 降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度, 用上口直径为 38 cm , 底面直径为 24 cm ,深度为 35 cm 的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的 27 ，则本次降雨的降水量为（精确到 1 mm ）（）
A. 44 mmB. 23 mmC. 22 mmD. 47 mm
【答案】D
【分析】根据梯形性质得到水面直径和水深，利用圆台公式得到降水体积，再由降水量是降水体积与上口面积之比得到降水量.
【详解】水深为 35×27=10 cm, 水面直径 24+2×38−242×27=28 cm,根据圆台体积公式得降水体积
V=13π×122+π×142+π×122×π×142×10=50803πcm,
则降水量为 Vπ×192=50803×361≈4.7 cm=47 mm 。
故选：D.
7. 在 R 上定义的函数 f(x) 是偶函数，且 f(x)=f(2−x) ，若 f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，则 f(x)( ) 。
A. 在区间 [0,1] 上是增函数，在区间 [3,4] 上是增函数
B. 在区间 [0,1] 上是增函数，在区间 [3,4] 上是减函数
C. 在区间 [0,1] 上是减函数，在区间 [3,4] 上是增函数
D. 在区间 [0,1] 上是减函数，在区间 [3,4] 上是减函数
【答案】B
【分析】根据函数关于 y 轴和 x=1 轴对称，利用已知区间的单调性求解.
【详解】因为 f(x)=f(2−x), 所以函数 f(x) 关于 x=1 成轴对称,
所以区间 [0,1] 与区间 [1,2], 区间 [−2,−1] 与 [3,4] 关于 x=1 对称，
由函数 f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，可知函数在[0,1] 上是增函数，
又函数 f(x) 是偶函数, 所以函数 f(x) 在 [−2,−1] 上是增函数,
所以函数 f(x) 在 [3,4] 上是减函数,
故选：B
8. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, 已知 P,M 分别为线段 BD1,BB1 上的动点, N 为 B1C 的中点, 则 △PMN 的周长的最小值为 ( )
A. 1+22B. 4+222C. 1+32D. 4+32
【答案】B
【分析】设 BD 的中点为 O ，即可证明 △BOP≅△BNP ，从而得到 |PN|=|PO| ，再将平面 BDD1B1与平面 BC1B1 展开并摊平, 在平面图形中连接 ON, 交 BB1 于点 M, 交 D1B 于点 P, 此时 △PMN的周长取得最小值 |ON| ，利用余弦定理计算可得。
【详解】
设 BD 的中点为 O, 连接 PO ( P 不与点 B 重合), |PB|=|PB|,|OB|=|NB|,∠DBD1=∠C1BD1,所以 △BOP≅△BNP ，所以 |PN|=|PO| ，把平面 BDD1B1 与平面 BC1B1 展开并推平，如图，
在平面图形中连接 ON, 交 BB1 于点 M, 交 D1B 于点 P, 此时 △PMN 的周长取得最小值 |ON|,在 △BON 中利用余弦定理可得
|ON|=222+222−2×22×22cs⁡90∘+45∘=4+222,
所以 △PMN 的周长的最小值为 4+222.
故选: B.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项
中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部份分, 有选错
的得 0 分)
一组样本数据 x1,x2,…,x6, 其中 x1 是最小值, x6 是最大值, 则 ( )
A. x2,x3,x4,x5 的平均数等于 x1,x2,…,x6 的平均数
B. x2,x3,x4,x5 的第 60 百分位数等于 x1,x2,…,x6 的第 60 百分位数
C. x2,x3,x4,x5 的标准差小于 x1,x2,…,x6 的标准差
D. x2,x3,x4,x5 的极差不大于 x1,x2,…,x6 的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数、百分位数、标准差以及极差的概念, 结合特殊值法, 对选项中的结论逐一分析判断即可.
【详解】对于 A: 不妨令 x2=x3=x4=x5=5,x1=1,x6=6,则 x2+x3+x4+x54−x1+x2+x3+x4+x5+x66=x2+x3+x4+x5−2x1+x612=12≠0, 故 A 错误;对于 B: 不妨令 x2≤x3≤x4≤x5, 因为 4×0.6=2.4, 则 x2,x3,x4,x5 的第 60 百分位数是 x4;
因为 x1 是最小值, x6 是最大值, 且 6×0.6=3.6, 故 x1,x2,x3,x4,x5,x6 的第 60 百分位数依然是 x4, 故 B 正确;
对于选项 C : 取这六个数为: 7,7,7,7,7,7, 则平均 n=7,
标准差 s1=16(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2=0,
7,7,7,7 的平均数 m=14(7+7+7+7)=7,
标准差 s2=14(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2=0,
即 s1=s2, 故 C 错误;
对于 D: 设 x2,x3,x4,x5 中最小值为 x2, 最大值为 x5, 则 x1≤x2,x5≤x6,则 x5−x2≤x6−x1, 故 D 正确;
故选: BD.
在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M 为 BC 边的中点, 下列结论正确的有（）
A. AM 与 D1B1 所成角的余弦值为 1010
B. 过三点 A、M、D1 的截面面积为 112
C. 四面体 A1C1BD 的内切球的表面积为 π3
D. E 是 CC1 边的中点, F 是 AB 边的中点, 过 E、M、F 三点的截面是六边形.
【答案】 AD
【分析】
对于 A , 建立空间直角坐标系, 利用空间向量的夹角公式求解; 对于 B , 作出过三点 A、M 、 D1 的截面, 即可求其面积; 对于 C, 利用等体积法求出内切球的半径, 即可求解; 对于 D,利用几何作图, 作出过 E、M、F 三点的截面, 即可判断.
【详解】对于 A , 以 A1 为坐标原点, 以 A1D1,A1B1,A1A 所在直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,
A(0,0,2),M(1,2,2),B1(0,2,0),D1(2,0,0), 则 AM=(1,2,0),D1B1=(−2,2,0),
则 cs⁡AM,D1B1=AM⋅D1B1|AM|D1B1=25⋅22=1010,
AM 与 D1B1 所成角的范围为 0,π2 ，故 AM 与 D1B1 所成角的余弦值为 1010 ， A 正确；
对于 B, 设 N 为 CC1 的中点, 连接 MN, 则 MN//BC1//AD1, 且 MN=12BC1=12AD1,则梯形 AMND1 即为过三点 A、M、D1 的截面，
MN=2,AD1=22,AM=D1N=5, 则梯形高为 (5)2−22−222=322,
故梯形面积为为 S=12×32×322=92, B 错误;
对于 C, 如图, 四面体 A1C1BD 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱雉的体积,
即 V=23−4×13×12×23=83,
该四面体的棱长为 22, 其表面积为 S=4×12×22×22×sin⁡π3=83,
设四面体内球球半径为 r, 则 13×83×r=83,∴r=33,
故四面体 A1C1BD 的内切球的表面积为 4πr2=4π3,C 错误;
对于 D , 如图, 延长 ME 和 B1C1 的延长线交于 J, 则 △MCE≅△JC1E,
则 JC1=MC, 设 H 为 A1D1 的中点, 则 JC1=D1H,
连接 HJ, 则 △JC1G≅△HD1G, 则 C1G=D1G,
故 G 为 D1C1 的中点, 故 HG//A1C1//AC//FM,
同理延长 MF,DA 交于 L, 连接 LH, 交 AA1 于 K,
K 即为 AA1 的中点, 则 K,E 在 FM,HG 确定的平面内,
则六边形 FMEGHK 即过 E、M、F 三点的截面, 是六边形, D 正确,
故选：AD
【点睛】难点点睛: 本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题, 难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题。
11. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x0 时, f(x)=xln⁡(x)
C. ff1e=−1eD. 函数 f(x) 有且只有 3 个零点
【答案】 ABD
【分析】结合奇函数的性质，可判断 A、B；应用分段函数的知识可判断 C、D.
【详解】由 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 故 f(0)=0, 所以 A 选项正确;
由 x0⇒−x0,f(x)=xln⁡x⇒f1e=1eln⁡1e=1e,
又 xf(1−t) ，再结合 f(x) 的单调性求解即可。
【详解】(1) 函数 f(x)=ax−b1+x2 是定义在 [−1,1] 上的奇函数, f(−x)=−f(x); −ax−b1+x2=−ax−b1+x2 ，解得 b=0 ，
∴f(x)=ax1+x2, 而 f(1)=−1, 解得 a=−2,
∴f(x)=−2x1+x2, x∈[−1,1].
（2）函数 f(x)=−2x1+x2 在 [−1,1] 上为减函数；证明如下：任意 x1,x2∈[−1,1] 且 x1fx2 ，所以函数 fx1>fx2 在 [−1,1] 上为减函数.
（3）由题意, f(t−1)+ft2>f(0), 又 f(0)=0 ，所以 f(t−1)+ft2>0 ，即解不等式 ft2>−f(t−1) ，所以 ft2>f(1−t) ，
所以 −1≤t2≤1−1≤1−t≤1t2