初中数学3.6 弧长及扇形面积的计算优秀同步练习题

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1．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：
的长为；
故选B．
2．如图，点在半径为3的上，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
3．若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的弧长公式，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
【详解】解：扇形的弧长．
故答案为：．
4．图①所示的是由可随意弯曲的硅胶灯带制成的弧形餐厅灯，图②是工人师傅设计灯带时所画的对应示意图，若此弧形餐厅灯的圆心角为，半径为1.5m，切裁时不计损耗，则制作此灯需要硅胶灯带的长度是 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查的是弧长公式的应用，直接利用弧长公式计算即可；
【详解】解：由题意可得：的长度为，
故答案为：
5．如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度．
【答案】图中管道的展直长度约为6142mm．
【分析】根据弧长公式，结合图形计算即可．
【详解】解：3000＋≈6142（mm）.
答：图中管道的展直长度约为6142mm.
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：(其中为圆心角的弧度数，R为半径)是解题的关键．
6．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．

(1)求弧的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型．
（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
，
，
，
贴纸部分的面积．
7．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长．
【答案】的长为
【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可．
【详解】解：连接，则．
是直径，
，即．
，
．
，
．
，
．
的长．
题型二 求面积
8．某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
扇形的面积公式：，代入数据计算即可．
【详解】解：根据扇形的面积公式：
．
故选：C．
9．扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】C
【分析】本题主要考查扇形面积公式，熟练应用扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式进行分析即可求解．
【详解】解：，扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍，
扩大后的扇形面积为，
面积扩大为原来的8倍．
故选：C．
10．在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了扇形面积的计算，正确掌握扇形面积公式是解题关键．直接利用扇形面积公式代入求出面积即可．
【详解】解：扇形中，圆心角为，半径，
扇形的面积是：．
故选：C．
11．一个扇形的弧长是，半径是12，则这个扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积，熟练记忆公式是解题的关键．
根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．已知点，是以AB为直径的半圆的上的点且，半径，则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查扇形面积公式，
根据扇形面积公式，即可求解
【详解】解：；
故答案为：．
13．如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，，则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是切线的性质、三角形外角性质、圆的性质、扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的求法．先根据切线性质、圆的性质求得，再由三角形外角性质得到，即可利用扇形面积公式求解．
【详解】解：依题得：，
，
，
，
，
是的外角，
，
，且AB是直径，
．
故答案为：．
14．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形为菱形，分别为，的中点，扇形的圆心角为，求零件的截面周长和面积．（参考数据：取3.14）
【答案】零件的截面周长约为，面积约为．
【分析】本题主要考查了菱形的周长、扇形的弧长、扇形面积公式求解，熟练掌握相关公式并根据题意用规则图形求解不规则图形的周长和面积是解题关键．仔细观察图形，零件的截面面积就是用菱形的面积减去扇形的面积， ，求出即可得出周长．
【详解】解：由题意得
∴，
零件的截面周长为．
如下图，过点作，垂足为点．
四边形为菱形，
，
．
，，
．
答：零件的截面周长约为，面积约为．
题型三 求半径
15．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24B．36C．12D．6
【答案】C
【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C.
16．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆的半径为．
故选：B
17．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案．
【详解】解：设扇形的半径是R，
则
解得：．
故答案为：．
18．弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的半径．
【答案】18
【分析】设弧所在的圆的半径为，由弧长公式计算即可得到答案．
【详解】解：设弧所在的圆的半径为，
由弧长公式得：，
解得：，
弧所在的圆的半径为18．
【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
19．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？
【答案】8.5m
【分析】由弧长公式l＝得到关于R的方程，解方程即可
【详解】解：由l＝，可知R＝＝≈8.5（m）．
∴这段圆弧所在圆的半径R是8.5米．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l＝，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
题型四 求面积
20．如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键．
连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可．
【详解】解：连接，
根据勾股定理得：，
∴,
∴．
故选：C．
21．如图，AB是的直径，弦， ，，则阴影部分的面积为( )

A．B．πC．D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，
，
故
即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又
，
，
故
即阴影部分的面积为
故选D．
22．如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为1的正方形，点，分别在，，在弧上，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】
【分析】先利用正方形的性质得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长）．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了正方形的性质．
【详解】解：四边形是边长为1的正方形，
，
图中阴影部分的面积
．
∴图中阴影部分的面积为．
23．如图，是的直径，弦，垂足为点，，，则图中阴影部分面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，连接．证明，推出即可解决问题．
【详解】解：连接．
，
，，
，
，
，
，
，都是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故选：A．
题型五 求圆心角
24．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【答案】108
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108
25．一个扇形的半径为6，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式，其中n为圆心角，r为半径，代入数值即可求解．
【详解】解：根据题意得到，
解得，
即扇形的圆心角度数为．
故选：C
【点睛】此题考查了弧长公式，数量掌握弧长公式是解题的关键．
26．扇形的半径为，扇形的面积，则该扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝即，
解得n＝90．
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S＝是解题的关键．
27．如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则为（ ）
A．90B．108C．120D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的公式的应用，根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．
【详解】，
解得．
故选：B．
28．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：A．
29．图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（ ）
A．．B．．C．．D．．
【答案】D
【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解．
【详解】解：设，
，
，
解得：，
圆心角的度数为：
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．
30．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分弓形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键．
（1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可．
（2）连接，过点作于点，证明为等边三角形，由计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
为直径，
，
，
，
弧弧，
；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，
，
，，
为等边三角形，
，
又，
为等边三角形，
，，，
．
31．如图，平分，点在射线上，以点为圆心，半径为1的与相切于点，连接并延长交于点，交于点
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）首先过点作于点，易证得，即可得是的切线；
（2）由，，可求得的长，又由，即可求得答案．
此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质解答本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图，
与相切于点，
，
平分，是半径，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
在中，，
，
．
32．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积．
（1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线．
（2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径．
∴
连接
在与中，
∴
∴
∵C为上的一点．
∴是的切线；
（2）∵，
∴ ，
∵，
，
∴，
∴
∴．
33．如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键．
34．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且，
(1)求证：平分；
(2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连结,由切线的性质得出,证出，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出，即可证明．
（2）由圆周角定理得出,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
【详解】（1）证明：连结，如图所示，
切与点，
，
，
，
，
，
平分．
（2）如图，过作与点
点是弦所对的优弧上一点，且，
,
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
35．如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积．
（1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论；
（2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离．
【详解】（1）证明：弦垂直平分半径，
，，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：作于，
，
是等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
，，
∴，
，
与间的距离为．