[数学]江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评试题(解析版)

这是一份[数学]江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得.
故选：D.
2. 若复数，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题，
所以.
故选：A.
4. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，，，而，
所以.
故选：D.
5. 在等差数列中， ， ， （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知，
在等差数列中，，仍为等差数列，
所以，
所以．
故选：C．
6. 已知函数，则（ ）
A. 有三个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】C
【解析】对于A，由题，，
令得或，令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
所以是极值点，故A不正确；
对应B，因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
对于C，令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
对于D，令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：C
7. 若的展开式中二项式系数和为64，则（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】在二项式 展开式中，二项式系数的和为，
所以.
故选：D.
8. 已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，为等边三角形，为中点，作面垂足为，

设，则，根据正棱锥性质，则，
根据线面角的定义，三棱锥的侧棱与底面所成角为，
则.
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A. 存在点，使得直线与直线所成的角为
B. 存在点，使得直线与直线所成的角为
C. 存在点，使得三棱锥的体积为
D. 存在点，使得平面
【答案】CD
【解析】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点，
以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图：
则，，
设，即点，且，
对于AB，，则，即，
因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误；
对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而，
且点到平面的距离为，则，
解得，当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确；
对于D，假设存在点，使得平面，
而，
则，解得，当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确.故选：CD.
10. 已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的周期为4D.
【答案】ABD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：根据及
得，令，，可得，
且，可得，令，则，
则，即，可知为偶函数，故B正确；
对于C：令，则，
可知，，
可得，则，
所以，可知周期为6，故C错误；
对于D：因为，且，，
令，，可得，所以，
则，，，，
所以，又周期为6，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知圆，则（ ）
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2
【答案】AC
【解析】对于A，将直线整理得，由，
知，所以直线过定点，因为，
所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，
所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，
与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接，因为为切点，所以，
所以，且当最小时，最小，
所以当与直线垂直时，，又因为半径为2，
所以，
所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为________．
【答案】
【解析】设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则；
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；
故.
13. 在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意可得：，
，
所以，
解得，则，
设的外心为，外接圆的半径为，
由正弦定理得：，解得，
可得．
由平面向量的线性运算知，，
所以，
由图可知：．
当且同向时，，
所以最大值为．
14. O为坐标原点，双曲线的左焦点为，点P在E上，直线与直线相交于点M，若，则E的离心率为____________．
【答案】
【解析】由题意得为双曲线的一条渐近线，
设双曲线的右焦点为，连接，
因为，所以，
故，，
由双曲线定义得，即，故，
设，则，解得，
这里取，则，，
则，
又，故，
化简得，故.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知正项数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2），证明：.
（1）解：由，，
得，又，
则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）证明：因为
，
所以
.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线方程.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，所以,
，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2），
由得，的图象有2个交点，
令，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
且时，，，
所以时，，所以的大致图象如下，
所以若函数有两个零点，则，
所以实数的取值范围为.
17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的正切值为5，求BQ的长．
（1）证明：取的中点M，连接MP，MB，如图，
在四棱台中，四边形是梯形，，
又点M，P分别是棱的中点，所以，且．
在正方形ABCD中，，又，所以．
从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：在平面中，作于O．
因为平面平面ABCD，平面平面，，
平面，所以平面ABCD．
在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．
以为正交基底，建立空间直角坐标系．
因为四边形是等腰梯形，，所以
又，所以．
易得，
所以．
设，所以．
设平面PDQ的法向量为，由，得，
令，可得，另取平面DCQ的一个法向量为．
设二面角平面角为，由题意得．
又，所以，
解得（舍负），因此．
所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1．
18. 为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：
相关公式：，．
参考数据：，．
（1）求小费（单位：美元）关于消费（单位：美元）的线性回归方程（其中的值精确到0.001）；
（2）试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的小费（结果精确到整数）？
解：（1）依题意可得，
，
，
；
，
，
关于的线性回归方程为；
（2）由（1）可得当时，；
估计消费200美元时，要付美元的小费．
19. 已知抛物线：，圆：，为坐标原点.
（1）若直线：分别与抛物线相交于点A，（在B的左侧）、与圆相交于点S，（S在的左侧），且与的面积相等，求出的取值范围；
（2）已知，，是抛物线上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中，均与圆相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.
解：（1）因为与的面积相等，且与的高均为原点到直线的距离，
所以，则，
设，，，，
则，即，
直线：代入抛物线，得，
因为直线与抛物线交于，两点，
所以，则，
直线：代入圆：，
得，
因为直线与圆于S，T两点，所以，
即，
即，
所以，
由，得，
又，则，
将其代入得，解得；
将其代入得，解得.
综上，的取值范围为.

（2）由题，易知直线，，斜率一定存在，
设，，，
则，
则直线的方程为：，
即，即，
因为圆：的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切，则，
平方化简得：，
看成关于，为变量的式子得：，
同理得直线与圆C相切，化简式子后得：，
所以可以同构出直线的方程为：，
所以圆心到直线的距离为：
，
此时圆心到直线的距离为定值，定值为.
消费（单元：美元）
32
40
50
86
63
100
133
小费（单位：美元）
5
6
7
9
8
9
12