[数学]山东省春季高考济南市2024届第二次模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学]山东省春季高考济南市2024届第二次模拟考试试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，，
所以.
故选：B.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 且B. 或
C. D. 方程有实根
【答案】B
【解析】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题，
对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题，
对于C，为假命题，
对于D，,故方程没有实数根，故D错误，
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由得；必要性：由得，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若，则下列不等式成立是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A, 由于，,故A错误，
对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误，
对于C，由于，所以，C错误，
对于D，由于，则，故，D正确，故选；D.
5. 如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当点在段运动时，随的增大而匀速增大，
点在弧上运动时，（定值），
点在上运动时，随着的增大而减小．故选：C．
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱，且圆柱的底面半径为，高为，

因此，该圆柱的侧面积为.
故选：B.
7. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】对于A，因为的定义域为，的定义域为，
所以两函数的定义域不相等，所以这两函数不是相等函数，所以A错误；
对于B，，的定义域都为，因为，
所以两函数不相等函数，所以B错误；
对于C，，的定义域都为，因为与解析式不同，
所以这两个函数不是相等函数，所以C错误；
对于D，因为的定义域都为，且对应关系相同，所以是相等函数，
所以D正确，
故选：D.
8. 函数曲线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为对数函数恒过点，
所以函数曲线恒过点.故选：C.
9. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
，
所以，，解得，
所以，，
故选：B.
10. 在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（ ）
A. 至多有一张移动卡B. 恰有一张移动卡
C. 都不是移动卡D. 至少有一张移动卡
【答案】A
【解析】事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”．
故选：A．
11. 设是不重合的平面，是不同的直线，下列命题不能推导出线面垂直的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】由线面垂直的性质可知，若，则，A是正确的；
由线面垂直的判定定理可知，若，则，B正确；
由面面垂直的性质定理可知，若，则，C正确；
只有是两条相交直线时命题才能成立，所以D错误；
故选：D.
12. 已知向量，，则与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，可得，
故，
由于，所以，
故选：B.
13. 已知，是第一象限角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为第一象限角，，，
.
故选：C.
14. 在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为，
半径为，
圆的标准方程为.
故选：B.
15. 函数的图象如图所示，现将的图象各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图可知，过点，故，因为，解得：，将的图像各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得.
故选：D.
16. 下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】阴影部分表示直线以下的部分（不包括直线），直线右下的部分（包括直线），故可用表示，
故选：C.
17. 二项式的展开式的常数项是（ ）
A. B. 112C. D. 122
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为（），
令，解得，
所以展开式的常数项为.
故选：B.
18. 在中，若，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以,
所以,
所以.
所以三角形是等腰三角形.
故选：B.
19. 《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 秋千绳与墙面始终平行
B 秋千绳与道路始终垂直
C. 秋千板与墙面始终垂直
D. 秋千板与道路始终垂直
【答案】B
【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，
但与道路所成的角在变化
秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：B．
20. 已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设抛物线上的动点，，
则点P到直线l的距离.
∵，∴时.
故选：D.
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）
21. 过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为______.
【答案】
【解析】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即.
22. 若一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为2，则这个圆锥的体积为______.
【答案】
【解析】如图：由于圆锥的轴截面顶角为120°，故,
又,所以,
故圆锥的体积为.
23. 在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”．比如“102”，“546”为“驼峰数”，由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
【答案】8
【解析】十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6＋2＝8（个）.
24. 某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽取的号码应是______.
【答案】46
【解析】由题意可知，抽取的间距10，第一组抽取的数据是6，故接下来抽取的数据分别为16，26，36，46，，
故第五个号码段中抽取的号码应是46.
25. 已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是______.
【答案】
【解析】由椭圆方程得，，，设，
则：，；
由得： （1）；
又点在椭圆上，可得（2）；
（1）（2）联立消去得，；即；
故点到轴的距离是．
三、解答题（本大题5个小题，共40分）
26. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示.
（1）求，的值；
（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度.
解：（1）由图象可知，点，在函数图象上，
，解得，
，；
（2）令，得，
解得，
又， ，
即行驶的最大速度为70千米时．
27. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
解：（1）由题意，可得，
故，，
数列是公比为2等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
28. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求C；
（2）若，，求的面积．
解：（1）由正弦定理得，
得．
因为，所以，所以，即．
（2）由余弦定理得，得，
所以，故的面积为．
29. 如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与所成角的正弦值.
（1）证明：由题意在等边三角形中，为的中点，所以，
在直棱柱中，平面，平面，所以，
而，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：连接，因为，，分别为棱，，的中点，
所以，且，
在三棱柱中，，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以即为直线与所成的角，
在△中，设直三棱柱的棱长为2，则
可得．
故.
即直线与所成角的正弦值为．
30. 已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
解：（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．