[数学]重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊试题(解析版)
展开1. 设集合,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数中,,解得,
即,
解不等式,得或,
则或,,
对于A,或,A错误;
对于B,,B错误;
对于C,,C错误;
对于D,,D正确.
故选:D.
2. 已知复数z满足,则复数z在复平面内的对应点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】设R),则,
由,得,
即,所以,
解得,故,
所以复数z在复平面内对应的点为,位于第二象限.
故选:B.
3. 设为正项等比数列的前n项和,已知,,则的值为( )
A. 20B. 512C. 1024D. 2048
【答案】C
【解析】设正项等比数列的公比为,则当时,由得:
,不满足,所以,则,
又因为,,所以可得:,
化简得:,解得,
所以,
故选:C.
4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图,是一个陀螺的立体结构图(上端是圆柱,下端是圆锥),已知底面圆的直径,圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,则这个陀螺的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为,
所以圆锥体的侧面积为,
圆柱体的侧面积为,圆柱的底面面积为,
所以此陀螺的表面积为(),故选:B.
5. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M,N,已知点M在第一象限,过M作该抛物线准线的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,
,则,在中,,
故,
即点的纵坐标为,代入中,解得,
则,
因,则直线的斜率为,
于是,代入,整理得:,
解得或,即.
故.
故选:C.
6. 有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据,且,则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,,由于, ,
所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数,
所以,当X为1,2,3,4时,新的样本数据的第25百分位数不变,
所以,新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.
故选:D.
7. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,.则a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,,
得,即,
所以,又,
所以,即,所以,
又,由正弦定理,
得,所以.
故选:A.
8. 已知函数的定义域是,对任意的,,,都有,若函数的图象关于点成中心对称,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数图象关于点中心对称,知函数图象关于点中心对称,
所以为奇函数.
令,则,所以为偶函数,
对于,有,所以在上单调递增,
所以在上单调递减.
由,得,,
当时,变形为,即,解得;
当时,变形为,即,解得,
综上,不等式的解集为.
故选:B.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 若,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A:∵,幂函数在上单调递增,
且,∴,故选项A错误;
对于B:∵,∴函数在上单调递减,
又∵,∴,
∴,即,故B正确;
对于选项C:∵,则,幂函数在上单调递减,
且,∴,∴,故选项C正确;
对于选项D:由选项B可知:,∴,
∵,
∴,∴,故D错误.
故选:BC.
10. 已知函数的图象关于直线对称,则下列说法正确的是( )
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递增
D. 若,则的最小值为
【答案】BD
【解析】由函数的图象关于直线对称可得:
,解得:,
又因为,所以,即选项A是错误的;
此时,
则为偶函数,
所以选项B是正确的;
当,,
此时正弦函数在区间上不单调,所以选项C也是错误的;
因为,所以,而,
则的最小值就是半个周期,即,所以选项D是正确的.
故选:BD.
11. 已知,是双曲线的左、右焦点,且,点P是双曲线上位于第一象限内的动点,的平分线交x轴于点M,过点作垂直于PM于点E.则下列说法正确的是( )
A. 若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率为2
B. 当时,面积为
C. 当时,点M的坐标为
D. 若,则
【答案】AC
【解析】A:易知,又双曲线的一条渐近线方程为,
则到该渐近线的距离为,又,所以,
所以,得双曲线的离心率为,故A正确;
B:在中,,得,
由余弦定理得,即,
得,所以的面积为,
又,所以,故B错误;
C:因为,,所以,
由角平分线定理可得,得,又,
所以,又,所以,故C正确;
D:延长交于点,连接,如图,
易知,即,所以,
又分别是的中点,所以,
所以,
又点P在第一象限,故直线的斜率必小于渐近线的斜率,
设渐近线的倾斜角为,由,得,
则,即,整理得,
又,所以,解得,故D错误.
故选:AC
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 在平面直角坐标系xOy中,已知点,,是直线上任意一点,则______.
【答案】12
【解析】由,,可得,
设,可得,
因为是直线上任意一点,所以,即,
所以.
13. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘,若每人至多被一所学校录用,每所学校至少录用其中1人,则所有不同的录用情况种数为_________.(用数字作答)
【答案】60
【解析】当人中有三人被录取,则不同的录取情况数为,
当4人全部被录取,则不同的录取情况数为,
综上不同的录取情况数共有种.
14. 若函数在定义域内存在使得,则称为“函数”,为该函数的一个“点”.设,若是的一个“点”,则实数a的值为______;若为“函数”,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据定义,若是一个“点”,
则,即,得.
若“函数”,则存在“点”,
设为,则,即.
不妨设,则由可知,
这得到,
所以;
若,取,则.
所以,
故是的“点”,所以为“函数”.
综上,使得为“函数”的的取值范围是.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,过棱的中点E作于点,连接.
(1)证明:;
(2)若,求平面与平面所成角的正弦值.
(1)证明;∵四边形为矩形,∴,
∵平面,平面,∴,
又, 平面,∴平面,
又平面,∴.
∵,点E是的中点,∴.
又, 平面,∴平面.
平面,∴.
又,,平面,∴平面,
平面,∴.
(2)解:如图,因两两垂直,
故可以A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,.
由(1)可知,可看成平面的一个法向量,
可看成平面的一个法向量.
设平面与平面的所成角为,
∴,∴,
∴平面与平面所成角的正弦值为.
16. 已知函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)设函数的极大值为,求证:.
(1)解:当时,,且
即函数的导数:,
所以函数在点的斜率,
又,
所以函数在点的切线方程为:,即.
(2)证明:由得
函数导数为:.
所以当,,单调递增,
当,,单调递减,
所以函数的极大值为:.
要证明,即证明,
设,且.
则导数为:,
所以当,,单调递减,
当,,单调递增,
所以,
即
即,
所以.
17. 某娱乐节目闯关游戏共有三关,游戏规则如下:选手依次参加第一、二、三关,每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元,奖金可累加;若某关闯关成功,选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金,也可以选择继续闯关;若有任何一关闯关失败,则连同前面所得奖金全部归零,闯关游戏结束.选手甲参加该闯关游戏,已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为,,,每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为,且每关闯关成功与否互不影响.
(1)求选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零的概率;
(2)设选手甲所得总奖金为X,求X的分布列及其数学期望.
解:(1)根据题意得,选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零的事件分为两类情况:
第一种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关失败,
其概率为:;
第二种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关成功,第三关闯关失败,
其概率为:;
记“选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零”为事件A,
∴.
(2)根据题意得:X的可能取值为:0,200,600,1200,
∴,
,
,
,
∴X的分布列为:
∴X的期望为:.
18. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,两焦点,与短轴的一个顶点构成等边三角形,点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,与直线交于点D.
①设内切圆的圆心为I,求的最大值;
②设,,证明:为定值.
(1)解:由题意得:解得,
∴椭圆C的标准方程是.
(2)如图,
①解:因为I为的内切圆圆心,则,
显然∠IAB是锐角,当且仅当∠IAB最大时,最大,
即须使最大,又,则须使最小,
在椭圆中,,,
在中,由余弦定理,
.
当且仅当时取等号,即当时,
为正三角形时,取得最大值,∠IAB取最大值,
此时的最大值为;
②证明:由(1)知,由条件可知的斜率存在且不为0,
设l的方程为,则,令可得.
联立方程得,,
设,,则,,
由可得,
则有,解得,同理.
∴
.
故为定值.
19. 高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”.例如:,.
(1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
(2)已知数列的通项公式为,设.
①求证:;
②求的值.
(1)解:.
故是的一个周期.
当时,,,故.
由于周期为,故对任意,都有.
(2)①证明:记.
,则.
∵
,∴.
而
.
∴.
∴,∴.
②解:由①知,则.
由(1)知:对任意,都有,
∴.∴.
∵,∴.
令,
∵;
.
∵,∴.X
0
200
600
1200
P
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