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    [数学]重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊试题(解析版)

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    这是一份[数学]重庆市九龙坡区2024届高三下学期二诊试题(解析版),共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 设集合,,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】函数中,,解得,
    即,
    解不等式,得或,
    则或,,
    对于A,或,A错误;
    对于B,,B错误;
    对于C,,C错误;
    对于D,,D正确.
    故选:D.
    2. 已知复数z满足,则复数z在复平面内的对应点在( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】B
    【解析】设R),则,
    由,得,
    即,所以,
    解得,故,
    所以复数z在复平面内对应的点为,位于第二象限.
    故选:B.
    3. 设为正项等比数列的前n项和,已知,,则的值为( )
    A. 20B. 512C. 1024D. 2048
    【答案】C
    【解析】设正项等比数列的公比为,则当时,由得:
    ,不满足,所以,则,
    又因为,,所以可得:,
    化简得:,解得,
    所以,
    故选:C.
    4. 民间娱乐健身工具陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图,是一个陀螺的立体结构图(上端是圆柱,下端是圆锥),已知底面圆的直径,圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,则这个陀螺的表面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由题意可得圆锥体的母线长为,
    所以圆锥体的侧面积为,
    圆柱体的侧面积为,圆柱的底面面积为,
    所以此陀螺的表面积为(),故选:B.
    5. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M,N,已知点M在第一象限,过M作该抛物线准线的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则的长度为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】如图,
    ,则,在中,,
    故,
    即点的纵坐标为,代入中,解得,
    则,
    因,则直线的斜率为,
    于是,代入,整理得:,
    解得或,即.
    故.
    故选:C.
    6. 有一组样本数据0,1,2,3,4,添加一个数X形成一组新的数据,且,则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由题意得,,由于, ,
    所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数,
    所以,当X为1,2,3,4时,新的样本数据的第25百分位数不变,
    所以,新的样本数据的第25百分位数不变的概率是.
    故选:D.
    7. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,.则a的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由,,
    得,即,
    所以,又,
    所以,即,所以,
    又,由正弦定理,
    得,所以.
    故选:A.
    8. 已知函数的定义域是,对任意的,,,都有,若函数的图象关于点成中心对称,且,则不等式的解集为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由函数图象关于点中心对称,知函数图象关于点中心对称,
    所以为奇函数.
    令,则,所以为偶函数,
    对于,有,所以在上单调递增,
    所以在上单调递减.
    由,得,,
    当时,变形为,即,解得;
    当时,变形为,即,解得,
    综上,不等式的解集为.
    故选:B.
    二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9. 若,,则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BC
    【解析】对于A:∵,幂函数在上单调递增,
    且,∴,故选项A错误;
    对于B:∵,∴函数在上单调递减,
    又∵,∴,
    ∴,即,故B正确;
    对于选项C:∵,则,幂函数在上单调递减,
    且,∴,∴,故选项C正确;
    对于选项D:由选项B可知:,∴,
    ∵,
    ∴,∴,故D错误.
    故选:BC.
    10. 已知函数的图象关于直线对称,则下列说法正确的是( )
    A.
    B. 为偶函数
    C. 在上单调递增
    D. 若,则的最小值为
    【答案】BD
    【解析】由函数的图象关于直线对称可得:
    ,解得:,
    又因为,所以,即选项A是错误的;
    此时,
    则为偶函数,
    所以选项B是正确的;
    当,,
    此时正弦函数在区间上不单调,所以选项C也是错误的;
    因为,所以,而,
    则的最小值就是半个周期,即,所以选项D是正确的.
    故选:BD.
    11. 已知,是双曲线的左、右焦点,且,点P是双曲线上位于第一象限内的动点,的平分线交x轴于点M,过点作垂直于PM于点E.则下列说法正确的是( )
    A. 若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率为2
    B. 当时,面积为
    C. 当时,点M的坐标为
    D. 若,则
    【答案】AC
    【解析】A:易知,又双曲线的一条渐近线方程为,
    则到该渐近线的距离为,又,所以,
    所以,得双曲线的离心率为,故A正确;
    B:在中,,得,
    由余弦定理得,即,
    得,所以的面积为,
    又,所以,故B错误;
    C:因为,,所以,
    由角平分线定理可得,得,又,
    所以,又,所以,故C正确;
    D:延长交于点,连接,如图,
    易知,即,所以,
    又分别是的中点,所以,
    所以,
    又点P在第一象限,故直线的斜率必小于渐近线的斜率,
    设渐近线的倾斜角为,由,得,
    则,即,整理得,
    又,所以,解得,故D错误.
    故选:AC

    三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
    12. 在平面直角坐标系xOy中,已知点,,是直线上任意一点,则______.
    【答案】12
    【解析】由,,可得,
    设,可得,
    因为是直线上任意一点,所以,即,
    所以.
    13. 有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘,若每人至多被一所学校录用,每所学校至少录用其中1人,则所有不同的录用情况种数为_________.(用数字作答)
    【答案】60
    【解析】当人中有三人被录取,则不同的录取情况数为,
    当4人全部被录取,则不同的录取情况数为,
    综上不同的录取情况数共有种.
    14. 若函数在定义域内存在使得,则称为“函数”,为该函数的一个“点”.设,若是的一个“点”,则实数a的值为______;若为“函数”,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】根据定义,若是一个“点”,
    则,即,得.
    若“函数”,则存在“点”,
    设为,则,即.
    不妨设,则由可知,
    这得到,
    所以;
    若,取,则.
    所以,
    故是的“点”,所以为“函数”.
    综上,使得为“函数”的的取值范围是.
    四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15. 如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,过棱的中点E作于点,连接.

    (1)证明:;
    (2)若,求平面与平面所成角的正弦值.
    (1)证明;∵四边形为矩形,∴,
    ∵平面,平面,∴,
    又, 平面,∴平面,
    又平面,∴.
    ∵,点E是的中点,∴.
    又, 平面,∴平面.
    平面,∴.
    又,,平面,∴平面,
    平面,∴.
    (2)解:如图,因两两垂直,
    故可以A为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,
    ∴,.
    由(1)可知,可看成平面的一个法向量,
    可看成平面的一个法向量.
    设平面与平面的所成角为,
    ∴,∴,
    ∴平面与平面所成角的正弦值为.
    16. 已知函数.
    (1)当时,求函数在点处的切线方程;
    (2)设函数的极大值为,求证:.
    (1)解:当时,,且
    即函数的导数:,
    所以函数在点的斜率,
    又,
    所以函数在点的切线方程为:,即.
    (2)证明:由得
    函数导数为:.
    所以当,,单调递增,
    当,,单调递减,
    所以函数的极大值为:.
    要证明,即证明,
    设,且.
    则导数为:,
    所以当,,单调递减,
    当,,单调递增,
    所以,

    即,
    所以.
    17. 某娱乐节目闯关游戏共有三关,游戏规则如下:选手依次参加第一、二、三关,每关闯关成功可获得的奖金分别为200元、400元、600元,奖金可累加;若某关闯关成功,选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金,也可以选择继续闯关;若有任何一关闯关失败,则连同前面所得奖金全部归零,闯关游戏结束.选手甲参加该闯关游戏,已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为,,,每一关闯关成功选择继续闯关的概率均为,且每关闯关成功与否互不影响.
    (1)求选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零的概率;
    (2)设选手甲所得总奖金为X,求X的分布列及其数学期望.
    解:(1)根据题意得,选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零的事件分为两类情况:
    第一种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关失败,
    其概率为:;
    第二种情况为:第一关闯关成功,第二关闯关成功,第三关闯关失败,
    其概率为:;
    记“选手甲第一关闯关成功,但所得总奖金为零”为事件A,
    ∴.
    (2)根据题意得:X的可能取值为:0,200,600,1200,
    ∴,



    ∴X的分布列为:
    ∴X的期望为:.
    18. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为,,两焦点,与短轴的一个顶点构成等边三角形,点在椭圆C上.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,与直线交于点D.
    ①设内切圆的圆心为I,求的最大值;
    ②设,,证明:为定值.
    (1)解:由题意得:解得,
    ∴椭圆C的标准方程是.
    (2)如图,
    ①解:因为I为的内切圆圆心,则,
    显然∠IAB是锐角,当且仅当∠IAB最大时,最大,
    即须使最大,又,则须使最小,
    在椭圆中,,,
    在中,由余弦定理,

    当且仅当时取等号,即当时,
    为正三角形时,取得最大值,∠IAB取最大值,
    此时的最大值为;
    ②证明:由(1)知,由条件可知的斜率存在且不为0,
    设l的方程为,则,令可得.
    联立方程得,,
    设,,则,,
    由可得,
    则有,解得,同理.


    故为定值.
    19. 高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”.例如:,.
    (1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
    (2)已知数列的通项公式为,设.
    ①求证:;
    ②求的值.
    (1)解:.
    故是的一个周期.
    当时,,,故.
    由于周期为,故对任意,都有.
    (2)①证明:记.
    ,则.

    ,∴.


    ∴.
    ∴,∴.
    ②解:由①知,则.
    由(1)知:对任意,都有,
    ∴.∴.
    ∵,∴.
    令,
    ∵;

    ∵,∴.X
    0
    200
    600
    1200
    P
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