数学选择性必修第一册（配人教A版）》 配套练习第3章质量评估

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第三章综合检测(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)．1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)A．6　　 B．26C．23　 D．43D　解析：3x2－y2＝9化为标准方程为x23-y29＝1，所以a2＝3，b2＝9.因为c2＝a2＋b2＝12.所以c＝23.所以2c＝43.2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(　　)A．x24+y23＝1 　 B．x28+y26＝1 C．x22＋y2＝1 　 D．x24＋y2＝1A　解析：设椭圆的方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)．由题意知抛物线y2＝－4x的焦点为(－1，0)，所以c＝1.又离心率e＝ca＝12，所以a＝2，所以b＝3，所以椭圆的方程为x24+y23＝1.3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B的坐标为(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)A．2 　 B．22C．3 　 D．32B　解析：由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，易得A(1，2)，所以|AB|＝3-12+0-22＝22.故选B.4．已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2a2-y2b2＝12(a＞0，b＞0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±33xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±2xA　解析：依题意，椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2＝12(a>0，b>0)即x2a22-y2b22＝1(a>0，b>0)的焦点相同，可得a2－b2＝12a2+12b2，即a2＝3b2，所以ba＝33，可得b2a2＝33，所以双曲线的渐近线方程为y＝±33x.5．已知动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆P的圆心的轨迹是(　　)A．双曲线的一支　 B．椭圆C．抛物线　 D．圆A　解析：设动圆P的半径为r，方程x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，表示以(3，0)为圆心，以1为半径的圆．由题意得PO＝r＋1，PC＝r－1，所以PO－PC＝2c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　)A．x28+y22＝1B．x212+y26＝1 C．x216+y24＝1D．x220+y25＝1D　解析：因为椭圆的离心率为32，所以e＝ca＝32，c2＝34a2＝a2－b2，所以b2＝14a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得x2a2+x2b2＝1，即x24b2+x2b2＝5x24b2＝1，所以x2＝45b2，x＝±25b，y2＝45b2，y＝±25b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为25b，25b，所以四边形的面积为4×25b×25b＝165b2＝16，所以b2＝5，a2＝4b2＝20，所以椭圆C的方程为x220+y25＝1.8．设O为原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则双曲线C的焦距的最小值为(　　)A．4 　 B．8C．16 　 D．32B　解析：因为C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)，所以双曲线的渐近线方程是y＝±bax，直线x＝a与双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，不妨设D在第一象限，E在第四象限．联立x＝a，y＝bax，解得x＝a，y＝b. 故D(a，b)．联立x＝a，y＝-bax，解得x＝a，y＝-b.故E(a，－b)．所以|ED|＝2b.所以△ODE的面积为S△ODE＝12a×2b＝8.因此双曲线C的焦距为2c＝2a2+b2≥22ab≥216＝8，当且仅当a＝b＝22时，等号成立．所以C的焦距的最小值为8.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．9．已知点A(0，2)，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，连接FA交抛物线于点B，过点B作l的垂线，垂足为M.若AM⊥MF，则(　　)A．点B是FA的中点B．点B不是FA的中点C．p＝2D．p＝2AD　解析：由抛物线定义可知|BM|＝|BF|，又由平面几何知识得|BM|＝|BA|，所以点B为AF的中点．又Bp4，1在抛物线上，所以12＝2p×p4，即p2＝2.又p>0，故p＝2.10．椭圆C：x24+y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率(　　)A．有最大值34B．有最大值1 C．有最小值12D．有最小值38AD　解析：因为直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，取椭圆上的点M和点N，使得kA2M＝－1，kA2N＝－2，如图．设直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x，代入椭圆方程x24+y23＝1，并整理得7x2－16x＋4＝0，解得x＝27或x＝2(舍去)．所以点M的坐标为27，127.设直线A2N的方程为y＝－2(x－2)＝4－2x，同理可得点N的坐标为2619，2419.因为kA1M＝12727+2＝34，kA1N＝24192619+2＝38，所以直线PA1斜率的最大值为34，最小值为38.11．已知P为双曲线C：x29-y216＝1上的点，点M满足OM＝1，且OM·PM＝0（O为原点），则当PM取得最小值时，下列说法正确的是(　　)A．双曲线的离心率为35B．点P的坐标为(3，0)C．双曲线的渐近线为4x±3y＝0D．点P到双曲线的渐近线的距离为125CD　解析：双曲线C：x29-y216＝1的离心率为53.由OM·PM＝0，得OM⊥PM.根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值．当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)．而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，故点P到渐近线的距离d＝125.12．党的二十大报告指出：深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势． 2022年12月4日，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则(　　)A．椭圆的长轴长为42B．线段AB长度的最大值为2＋22C．△AFG的周长为4＋42D．∠FAG的大小可能为π2ABC　解析：由题意可知，椭圆的半焦距c＝2，短半轴长b＝2，得出长半轴长a＝22，则椭圆的长轴长为2a＝42，故A正确；因为2≤|OA|≤22，OB＝2，所以|AB|＝OA+OB∈4，2+22，故B正确；因为点F，G是椭圆的两个焦点，则△AFG的周长为|FG|＋|AF|＋|AG|＝4＋2a＝4＋42，故C正确；由题意知|AF|12422-422AF·AG＝0，所以∠FAG不可能为直角，故D错误．故选ABC.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)．13．设双曲线C：x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝2x，则C的离心率为________．3　解析：由双曲线方程x2a2-y2b2＝1可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y＝2x，所以ba＝2，e＝ca＝1+b2a2＝3.14．已知曲线的方程为x24+y2m＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是____________.52，62　解析：因为m∈[－2，－1]，所以曲线方程化为x24-y2-m＝1，曲线为双曲线，所以e＝4-m2.因为m∈[－2，－1]，所以52≤e≤62.15．给出如下四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23+y22＝1的离心率e＝53；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－18；④双曲线y249-x225＝－1的渐近线方程是y＝±57x.其中不正确的是____________.(填序号)①②④　解析：①表示的图形是一个点(1，0)；②e＝33；④渐近线方程为y＝±75x；③正确．16．如图，设椭圆x29+y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为________，|y1－y2|＝________.6　3　解析：因为△ABF2的内切圆的面积为π，所以△ABF2内切圆半径r＝1.所以△ABF2的面积S＝12×1×(AB＋AF2＋BF2)＝2a＝6.又△ABF2的面积S＝12y1-y2×2c＝12y1-y2×2×2＝6，所以|y1－y2|＝3.四、解答题(本题共6小题，共70分)．17．(10分)双曲线C与椭圆x28+y24＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．解：设双曲线C的方程为x2a2-y2b2＝1.由椭圆方程x28+y24＝1，求得两焦点分别为(－2，0)，(2，0)，所以对于双曲线C可得a2+b2＝4.又y＝3x为双曲线C的一条渐近线，所以ba＝3，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1.18．(12分)已知F1，F2分别为椭圆x2100+y2b2＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为6433，求b的值．解：(1)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立)，所以|PF1|·|PF2|的最大值为100.2S△F1PF2＝12PF1·PF2sin 60°＝6433，所以|PF1|·|PF2|＝2563.①由题意知PF12+PF22+2PF1·PF2＝4a2，PF12+PF22-4c2＝2PF1·PF2cos60°，所以3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，所以b＝8.19．(12分)在①|PF|＝x0＋1，②y0＝2x0＝2，③PF⊥x轴时，|PF|＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且________．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l：x－y－2＝0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)若选①：由抛物线的性质可得|PF|＝x0＋p2.因为|PF|＝x0＋1，所以x0＋p2＝x0＋1，解得p＝2.故抛物线C的标准方程为y2＝4x.若选②：因为y0＝2x0＝2，所以y0＝2，x0＝1，因为点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y02＝2px0，即2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为y2＝4x.若选③：因为PF⊥x轴，所以|PF|＝x0＋p2＝p2+p2＝p，因为|PF|＝2，所以p＝2.故抛物线C的标准方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0)．联立x-y-2＝0，y2＝4x，整理得y2－4y－8＝0，则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，|y1－y2|＝y1+y22-4y1y2＝16+32＝43，故|AB|＝1+1k2y1-y2＝2×43＝46，因为点F到直线l的距离d＝1-21+1＝22，所以△ABF的面积为12AB·d＝12×46×22＝23.20．(12分)已知椭圆C的两个焦点F1，F2的坐标分别为0，-22，0，22，离心率e＝223.(1)求椭圆C的方程；(2)一条斜率为－9的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，求线段MN中点横坐标x0的取值范围．解：(1)由题意知c＝22，e＝ca＝223，于是可得a＝3，b2＝1.由已知条件知椭圆的焦点在y轴上，故其方程为x2＋y29＝1.(2)设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，则x0＝x1+x22，y0＝y1+y22，y1-y2x1-x2＝－9.因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以x12+y129＝1，x22+y229＝1. 作差得(x1＋x2)(x1－x2)＋y1+y2y1-y29＝0，即2x0＋2y09×(－9)＝0，从而可得y0＝x0.又因为点(x0，y0)在椭圆内部，所以x02+x029＜1.因此，－31010＜x0＜31010.故线段MN中点的横坐标x0的取值范围为-31010，31010.21．(12分)已知抛物线y2＝2x.(1)设点A的坐标为23，0，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)设点A的坐标为(a，0)，求抛物线上的点到点A的距离的最小值d，并写出d＝f(a)的函数解析式．解：(1)设抛物线上任一点M的坐标为(x，y)，则MA2＝x-232+y2＝x-232+2x＝x+132+13.因为x≥0，且|MA|2随着x的增大而增大，所以，当x＝0时，|MA|min＝23.故距离点A最近的点P的坐标为(0，0)，最短距离|PA|=23.(2)同(1)求得d2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．当a－1≥0，即a≥1时，dmin2－1，解得dmin＝2a-1.此时x＝a－1；当a－1＜0，即a＜1时，dmin2，解得dmin＝|a|，此时x＝0.所以d＝f(a)＝2a-1，a≥1，a，a＜1. 22．(12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且直线AM的斜率为12.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．解：(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝12x- 2，即x－2y＝－4.当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)过点M(2，3)，可得416+9b2＝1，解得b2＝12.所以椭圆C的方程为x216+y212＝1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m.如图，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程x216+y212＝1，可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8.因为直线AM的方程为x－2y＝－4.所以点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得d＝8+41+4＝1255.由两点间的距离公式可得|AM|＝2+42+32＝35.所以△AMN的面积的最大值为12×35×1255＝1