上海市大同中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 不等式解集为__________.
2. 为虚数单位，若复数，则__________.
3. 的二项展开式中的常数项为______.
4. 双曲线的离心率为2，则___________
5. 设，若抛物线的焦点为坐标原点，则__________.
6. 下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为__________.（回归系数精确到0.01）
7. 设，若，则__________.
8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.
9. 将由曲线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为__________.
10. 某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______.
11. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________.

12. 已知三角形的面积为，，，则______.
二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
14. 已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
15. 经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
16. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17. 已知函数其中，,
（1）若求的值；
（2）在（1）条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数.
18. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是线段BC上的动点.

（1）求证：平面平面PBC；
（2）当三棱锥与四棱锥体积之比为时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值.
19. 某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.
（1）求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
（2）设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.
20. 已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点.
（1）求点M到的两条渐近线的距离之积；
（2）求经过点Q双曲线的切线方程；
（3）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：.
21. 设，已知函数解析为.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）证明当时函数至多有两个零点；
（3）如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列.
广告费用（万元）
30
26
21
17
11
18
13
16
17
23
25
29
销售额（万元）
843
725
621
587
485
608
523
554
600
703
728
792