青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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姓名：______ 分数：______
一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用倒数的定义，直接得出即可．
【详解】的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数．掌握倒数的定义，明确分子分母交换位置是求一个数的倒数是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则、同类项合并法则、整式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、 ；原计算错误，本选项不合题意；
B、；原计算错误，本选项不合题意；
C、不能进一步化简；原计算错误，本选项不合题意；
D、，符合运算法则；计算正确，本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查幂的运算法则、合并同类项，整式的运算，二次根式的运算；理解运算法则是解题的关键．
3. 大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：99500用科学记数法表示为．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5. 已知点P（2a−1，1−a）在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点的坐标，可得一元一次不等式组，根据解一元一次不等式，可得不等式组的解集，可得答案．
【详解】∵点P（2a−1，1−a）在第一象限，
∴，
解得，
∴，
故选C
【点睛】本题考查了点的坐标及在数轴上表示不等式组的解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.
6. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A. 一、二、三B. 二、三、四C. 一、二、四D. 一、三、四
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数与系数的关系进行判断．
【详解】解：∵k=-5＜0，
∴一次函数经过第二、四象限，
∵b=3＞0，
∴一次函数与y轴交于正半轴，
∴一次函数y=-5x+3的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
7 如图，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵AB∥DE，∠E=65°，
∴∠BFE=∠E=65°．
∵∠BFE是△CBF的一个外角，
∴∠B+∠C=∠BFE=∠E=65°．
故选D．
8. 如图，菱形ABCD对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（ ）
A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵菱形的对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=6cm，BD=8cm，
∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周长为4×5=20cm，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．
9. 如图，在⊙O中，，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵在⊙O中，，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理及垂径定理，难度不大．
10. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分线，
∵点EAD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
【答案】3（a+1）2
【解析】
分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.
【详解】3a2＋6a＋3＝．
故答案为．
考点：分解因式．
12. 如图，、是的切线，切点分别为、．若，，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵、是的切线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13. 超速行驶是交通事故频发的主要原因之一．交警部门统计某日经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到频数分布折线图，若该路段汽车限速为，则超速行驶的汽车有_______辆．
某日经过某高速公路测速点的汽车速度的频数分布折线图：

【答案】80
【解析】
【分析】根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算．
【详解】解：超过限速的有（辆）．
故答案为：80．
【点睛】本题考查的是频数分布折线统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为______.

【答案】5
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理，得，解，得．
【详解】解：连接，
在中，,，
∴,即.
解得，．
故答案为：5
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键．
15. 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=____°．
【答案】90
【解析】
【分析】利用旋转的性质可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】根据旋转的性质可知∠CAF=60°，
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和的性质，得：
∠AFB=∠C+∠CAF
=30°+60°
=90°．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形外角的性质，抓住对应点与旋转中心形成的角是旋转角是解题的关键．
16. A，，，，五名同学猜测自己的数学成绩. A说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”说：“如果我得优，那么也得优.”大家都没说错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是______（填字母）.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查逻辑推理，根据题意结合反证法的思想作相应推理得出结论．
【详解】解：由题意，若A得优，则A，，，，均为优，不合题意，则A非优；若B得优，则，，，均为优，不合题意，故B非优；因只有三个得优，故得优．
故答案为：
【点睛】本题考查逻辑推理,根据题意由条件，得出相应结论，运用反证法的思想是解题问题的关键．
三.解答题（本大题共9个小题，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂运算法则，0指数幂运算法则，绝对值的性质，二次根式的性质以及实数的运算法则处理；
【详解】解：
．
【点睛】本题考查幂的运算，绝对值的性质，二次根式的性质，实数的运算；理解相关性质是运算的关键．
18. 先化简，再求值：，其中a=2．
【答案】 ，4．
【解析】
【分析】先进行分式的除法运算，再进行分式的加减法运算，化简后把数值代入进行计算即可得.
【详解】原式= = =，
当a=2时，原式===4．
19. 如图，过点的直线与直线交于．

（1）求直线对应的表达式；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点B，C的坐标，根据即可求解．
【小问1详解】
解：把代入得，则点坐标为；
把，代入得：，
解得，
所以直线的表达式为：；
【小问2详解】
交轴于，交轴于，
，，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20. 为了了解九年级学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：
A、1.5小时以上（含1.5小时）
、小时（含1小时，不含1.5小时）
、小时（含0.5小时，不含1小时）
、0.5小时以下（不含0.5小时）
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图：

请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）学校共调查了______名学生；
（2）扇形统计图中选项所占的百分比为______.
（3）请补全条形统计图；
（4）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上（含1小时）的学生约有______名.
【答案】（1）80 （2）
（3）见解析 （4）260
【解析】
【分析】（1）根据A项的人数及占比求解；
（2）根据扇形图求解；
（3）由样本数量及C项占比求C项人数，画统计图；
（4）用样本估计总体，即可求解．
【小问1详解】
解：（名）；
【小问2详解】
解：选项所占的百分比为；
【小问3详解】
解：C组人数为（名）；统计图如下，
【小问4详解】
解：（名）；
∴九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上（含1小时）的学生约有260名.
【点睛】本题考查数据统计图，样本估计总体；理解统计图之间的信息联系是解题的关键．
21. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，
∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 为了更好地保护美丽如画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A，B两种型号的污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．
(1)求A，B两种型号的污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少．
【答案】(1) A型污水处理设备每周每台可以处理污水240t，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200t(2)购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台时，所需资金最少，最少是226万元
【解析】
【分析】（1）根据1台A型污水处理设备+2台B型污水处理设备=每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备+3台B型污水处理设备=每周可以处理污水1080t，关系式列出二元一次方程组，从而解答即可；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组求出购买A型污水处理设备台数取值范围，从而可以得到购买方案，算出每种方案购买资金即可得解．
【详解】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，
由题意得，解得，
即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240t，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200t；
（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，
则，解得，12.5≤x≤15．
第一种方案：当x=13时，20－x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；
第二种方案：当x=14时，20－x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；
第三种方案；当x=15时，20－x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；
即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键．
23. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．
【答案】(1)见解析；（2）48.
【解析】
【详解】试题分析：(1)先根据两组对边平行的四边形是平行四边形证明四边形ACED是平行边形，再证明∠DAC＝90即可；(2)在Rt△ABC中求得AB、BC的长度，再由平行四边形的性质可得DE＝AC、AD＝BC求得DE、AD的长度，再计算机四边形ADEC的面积.
试题解析：
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形．
又∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90º．
∴四边形ADEC是矩形．
（2） ∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90º．
∵M是AB的中点，
∴AB=2CM=10．
∵AC=8，
∴．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD．
又∵四边形ADEC是矩形，
∴EC=AD．
∴EC= BC=6．
∴矩形ADEC的面积=．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．
24. 如图，四边形是的内接四边形，，，点是的中点，且.

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，若，求的内心与外心之间的距离.
【答案】（1）见解析 （2）9
（3）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点H，证明解题即可；
（2）过作垂线交延长线于，连接，推导,得到，然后证明解题即可；
（3）根据可知，设内心为,连接,,过作于.于.连接.则，利用解直角三角形解题即可.
【小问1详解】
解：连接并延长交于点H，

∵点是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴直线是的切线；
【小问2详解】
过作垂线交延长线于，连接，

∵是的中线，
∴，
∴，
∵和是所对圆周角
∴
∵
∴
∴,
∴
又∵
∴.
∴
又，
∴
∴，
【小问3详解】
∵，

∴在中,,
∴
∴为直径所对圆周角,为直径，
由得,
∴
在中,.
∴，,
设内心为,连接,,过作于.于.连接.则
则：平分,平分,且，
∴，
设.则，
，
，
，解得，
:
∴，，
∵
∴，
则，
∴，
即.
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，全等三角形，熟练掌握作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
25. 定义：关于轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.
例如：的“同轴对称抛物线”为.
（1）求抛物线的“同轴对称抛物线”.
（2）如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点、关于抛物线对称轴对称的点、，连接、、、.
①当四边形为正方形时，求的值.
②在①的条件下，抛物线的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点和点（其中在的左边），将抛物线的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点和点（其中在的左边），满足，在抛物线上有且仅有三个点、、，使得、、的面积均为定值，求、、的坐标.

【答案】（1）
（2）① ②，
【解析】
【分析】（1）先由，根据“同轴对称抛物线”的定义计算即可.
（2）①根据抛物线，得到对称轴为，点，，，，计算，根据正方形的性质，得到，计算即可.
②先解方程组得到，求得，根据得到，
设向上平移了t个单位长度，得到新抛物线为，设，则是方程的两个根，利用根与系数关系定理，结合确定t，继而确定平移后的抛物线解析式，设直线与新抛物线相切，确定切点坐标，得到面积的定值，利用对称的思想，确定面积定值的另外两个点，计算坐标即可.
【小问1详解】
∵，
∴抛物线的“同轴对称抛物线”是.
【小问2详解】
①∵点是抛物线上一点，点的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为，点，，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得.
②根据题意，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
设向上平移了t个单位长度，
∴新抛物线为，
设，
则是方程的两个根，
∴是方程两个根，
∴
∴，，
∴，
解得，
∴新抛物线为，
设直线与新抛物线相切，切点为，
∴有两个相等的实数根，
∴的判别式为0，
∴，
解得，
∴，直线解析式为，
解得，
∴，
故，
设直线与x轴的交点为K，与y轴的交点为E，

故，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点M作于点A，
则
延长到点D，使得，
过点D作，交y轴于点F，交抛物线于，
则，，、、的面积均为定值，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
根据题意，得，
整理得，，
解得，
∴，
故，
综上所述，，．
【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的根的判别式，正方形的性质，直线的解析式，解方程，熟练掌握新定义，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的根的判别式，解方程组是解题的关键．