人教版（2024）15.2.3 整数指数幂教案

这是一份人教版（2024）15.2.3 整数指数幂教案，共3页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。


●复习导入 纳米(nm)是一种非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m，它表示的含义是什么呢？今天我们就来学习这方面的知识．
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是正整数)；
(3)积的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整数)；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)；
(5)分式的乘方： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) n＝ eq \f(an,bn) (n是正整数)．
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a0＝1.
3．在am÷an中，当m＝n时，产生0次幂，即当a≠0时，a0＝1.
那么当m如计算：32÷36＝32－6＝3－4；32÷36＝ eq \f(32,36) ＝ eq \f(1,34) ，由此得出3－4＝ eq \f(1,34) .
当a≠0时，a2÷a6＝a2－6＝a－4，a2÷a6＝ eq \f(a2,a6) ＝ eq \f(a2,a2·a4) ＝ eq \f(1,a4) ，由此得到a－4＝ eq \f(1,a4) (a≠0).
【归纳】当n是正整数时，a－n＝ eq \f(1,an) (a≠0).
【教学与建议】教学：通过复习，类比归纳，让学生掌握负整数指数幂的运算性质．建议：让学生体验证明的过程，提升学生的逻辑推理能力和严谨的数学证明能力．
●归纳导入 若把正整数指数幂的运算性质am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，你有信心解决下面的问题吗？
计算：22÷25； 103÷105.
一方面：22÷25＝22－5＝2－3; 103÷105＝103－5＝10－2.
另一方面：22÷25＝ eq \f(22,25) ＝ eq \f(1,23) ； 103÷105＝ eq \f(103,105) ＝__ eq \f(1,102) __.
则2－3＝__ eq \f(1,23) __； 10－2＝__ eq \f(1,102) __.
由分式的除法约分可知，当a≠0时，a2÷a5＝ eq \f(a2,a5) ＝ eq \f(a2,a2·a3) ＝ eq \f(1,a3) ；a2÷a5＝a2－5＝a－3.
于是得到a－3＝ eq \f(1,a3) (a≠0).
【归纳】一般地，当n是正整数时，a－n＝ eq \f(1,an) (a≠0)，即任何不等于零的数的－n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数．
【教学与建议】教学：设置问题让学生独立发现结论并叙述，理解负整数幂的运算性质，明确底数与指数的取值范围．建议：教师提出问题，学生思考后独立解决．经历负整数指数幂的产生过程，加深理解．
命题角度1 利用负整数指数幂的运算法则计算
负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数，即：a－n＝ eq \f(1,an) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))) eq \s\up12(n) (a≠0，n是正整数)．
【例1】计算 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1) 的结果是(D)
A．－2 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D．2
(2)计算：① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))) eq \s\up12(0) ＋(－2)－2＝__ eq \f(5,4) __；②(－3ab－1)－2＝__ eq \f(b2,9a2) __．
命题角度2 整数指数幂的运算
综合运用幂的运算法则进行计算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，应先做括号内的运算．
【例2】(1) eq \r(3,8) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))) eq \s\up12(－2) ＋( eq \r(3) ＋1)0；
解：原式＝2－4＋1＝－1；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10))) eq \s\up12(－3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,30))) eq \s\up12(－2) ×3.14－(－3)3×0.3－1＋(－0.1)－2.
解：原式＝－1 000＋900×3.14＋90＋100＝2 016；
(3)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3.
解：原式＝ eq \f(a4c6,4b7) .
命题角度3 比较数的大小
熟悉运算法则，利用计算结果比较大小．当底数是分数时，颠倒分子、分母，负指数就可转化为正整数．
【例3】若a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－2) ，b＝(－1)－1，c＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) eq \s\up12(0) ，则a，b，c的大小关系是(B)
A．a>b＝c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a
高效课堂 教学设计
1．掌握整数指数幂的运算性质．
2．进行简单的整数范围内的幂运算．
▲重点
掌握整数指数幂的运算性质，尤其是负整数指数幂的运算．
▲难点
认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则扩展过程．
◆活动1 新课导入
正整数指数幂的运算性质：
(1)同底数幂的乘法：am·an＝__am＋n__(m，n是正整数)；
(2)幂的乘方：(am)n＝__amn__(m，n是正整数)；
(3)积的乘方：(ab)n＝__anbn__(n是正整数)；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝__am－n__(a≠0，m，n是正整数，m>n)；
(5)分式的乘方： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(n) ＝__ eq \f(an,bn) __(n是正整数)；
(6)0指数幂：a0＝__1__(a≠0).
◆活动2 探究新知
1．教材P142 思考．
学生完成并交流展示．
2．计算：a3÷a5.
提出问题：
(1)能否用约分的方法计算a3÷a5？计算得出的结果是什么？
(2)除此之外你还有其他计算方法吗？如果我们把幂的运算性质am÷an＝am－n(a≠0，m，n为正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，运用这个性质计算a3÷a5，你又能得到什么结果呢？
(3)通过上面的探索你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
3．教材P143 思考，教材P144 探究．
提出问题：
(1)正整数指数幂的性质有哪几条？
(2)当幂的指数由正整数扩大到全体整数时，哪几条性质可以合并为一条性质？
(3)整数指数幂的性质可以归纳为哪几条？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，当n为正整数时，a－n＝__ eq \f(1,an) __(a≠0)，这就是说，a－n(a≠0)是__an__的倒数．
2．整数指数幂的运算性质：当m，n均为整数时，
(1)am·an＝__am＋n__；(2)(am)n＝__amn__；
(3)(ab)n＝__anbn__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P144 例9.
例2 计算：
(1)(3x2y－2)－3；
解：原式＝3－3x－6y6＝ eq \f(y6,27x6) ；
(2)(2m2n－2)2·3m－3n3；
解：原式＝12mn－1＝ eq \f(12m,n) ；
(3)(a2b－3)－2·(a－2b3)2；
解：原式＝a－4b6·a－4b6＝a－8b12＝ eq \f(b12,a8) ；
(4)a－2b2·(－2a2b－2)－2÷(a－4b2).
解：原式＝(－2)－2a－2b2·a－4b4·a4b－2＝2－2a－2b4＝ eq \f(b4,4a2) .
例3 先化简，再求值： eq \f(x2－4x,x＋3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4－x))) eq \s\up12(－2) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x＋3,x))) eq \s\up12(－1) ，其中x等于它的倒数．
解：原式＝ eq \f(x（x－4）,x＋3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－x,x))) eq \s\up12(2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x＋3,x))) ＝－ eq \f(（x－4）3,x2) .∵x等于它的倒数，∴x＝±1.当x＝1时，原式＝－ eq \f(（x－4）3,x2) ＝－ eq \f(（1－4）3,12) ＝27；当x＝－1时，原式＝－ eq \f(（x－4）3,x2) ＝－ eq \f(（－1－4）3,（－1）2) ＝125，∴此式子的值为27或125.
练习
1．教材P145 练习第1，2题．
2．若式子(x＋3)0－2(3x－6)－3有意义，则x的取值范围是(D)
A．x＞－3 B．x＜2
C．x≠－3或x≠2 D．x≠－3且x≠2
3．计算：
(1)|－3|＋(－1)2 019×(π－3)0－ eq \r(3,27) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－2) ；
解：原式＝3＋(－1)×1－3＋4＝3；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(－1) －(3.14－π)0＋0.254×44.
解：原式＝2－1＋(0.25×4)4＝2－1＋1＝2.
◆活动5 课堂小结
1．负整数指数幂的运算．
2．整数指数幂的运算．
1．作业布置
(1)教材P147 习题15.2第7题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思