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    人教版数学八年级上册15.2.3.1 负整数指数幂教案
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    人教版数学八年级上册15.2.3.1 负整数指数幂教案01
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    人教版(2024)15.2.3 整数指数幂教案

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    这是一份人教版(2024)15.2.3 整数指数幂教案,共3页。教案主要包含了教学与建议等内容,欢迎下载使用。


    ●复习导入 纳米(nm)是一种非常小的长度单位,1 nm=10-9 m,它表示的含义是什么呢?今天我们就来学习这方面的知识.
    1.回忆正整数指数幂的运算性质:
    (1)同底数幂的乘法:am·an=am+n(m,n都是正整数);
    (2)幂的乘方:(am)n=amn(m,n都是正整数);
    (3)积的乘方:(ab)n=anbn(n是正整数);
    (4)同底数幂的除法:am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n);
    (5)分式的乘方: eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) n= eq \f(an,bn) (n是正整数).
    2.回忆0指数幂的规定,即当a≠0时,a0=1.
    3.在am÷an中,当m=n时,产生0次幂,即当a≠0时,a0=1.
    那么当m如计算:32÷36=32-6=3-4;32÷36= eq \f(32,36) = eq \f(1,34) ,由此得出3-4= eq \f(1,34) .
    当a≠0时,a2÷a6=a2-6=a-4,a2÷a6= eq \f(a2,a6) = eq \f(a2,a2·a4) = eq \f(1,a4) ,由此得到a-4= eq \f(1,a4) (a≠0).
    【归纳】当n是正整数时,a-n= eq \f(1,an) (a≠0).
    【教学与建议】教学:通过复习,类比归纳,让学生掌握负整数指数幂的运算性质.建议:让学生体验证明的过程,提升学生的逻辑推理能力和严谨的数学证明能力.
    ●归纳导入 若把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n)中的m>n这个条件去掉,你有信心解决下面的问题吗?
    计算:22÷25; 103÷105.
    一方面:22÷25=22-5=2-3; 103÷105=103-5=10-2.
    另一方面:22÷25= eq \f(22,25) = eq \f(1,23) ; 103÷105= eq \f(103,105) =__ eq \f(1,102) __.
    则2-3=__ eq \f(1,23) __; 10-2=__ eq \f(1,102) __.
    由分式的除法约分可知,当a≠0时,a2÷a5= eq \f(a2,a5) = eq \f(a2,a2·a3) = eq \f(1,a3) ;a2÷a5=a2-5=a-3.
    于是得到a-3= eq \f(1,a3) (a≠0).
    【归纳】一般地,当n是正整数时,a-n= eq \f(1,an) (a≠0),即任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数.
    【教学与建议】教学:设置问题让学生独立发现结论并叙述,理解负整数幂的运算性质,明确底数与指数的取值范围.建议:教师提出问题,学生思考后独立解决.经历负整数指数幂的产生过程,加深理解.
    命题角度1 利用负整数指数幂的运算法则计算
    负整数指数幂等于对应的正整数指数幂的倒数,即:a-n= eq \f(1,an) = eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))) eq \s\up12(n) (a≠0,n是正整数).
    【例1】计算 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(-1) 的结果是(D)
    A.-2 B.- eq \f(1,2) C. eq \f(1,2) D.2
    (2)计算:① eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,3))) eq \s\up12(0) +(-2)-2=__ eq \f(5,4) __;②(-3ab-1)-2=__ eq \f(b2,9a2) __.
    命题角度2 整数指数幂的运算
    综合运用幂的运算法则进行计算,先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号,应先做括号内的运算.
    【例2】(1) eq \r(3,8) - eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2))) eq \s\up12(-2) +( eq \r(3) +1)0;
    解:原式=2-4+1=-1;
    (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,10))) eq \s\up12(-3) + eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,30))) eq \s\up12(-2) ×3.14-(-3)3×0.3-1+(-0.1)-2.
    解:原式=-1 000+900×3.14+90+100=2 016;
    (3)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3.
    解:原式= eq \f(a4c6,4b7) .
    命题角度3 比较数的大小
    熟悉运算法则,利用计算结果比较大小.当底数是分数时,颠倒分子、分母,负指数就可转化为正整数.
    【例3】若a= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3))) eq \s\up12(-2) ,b=(-1)-1,c= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,2))) eq \s\up12(0) ,则a,b,c的大小关系是(B)
    A.a>b=c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a
    高效课堂 教学设计
    1.掌握整数指数幂的运算性质.
    2.进行简单的整数范围内的幂运算.
    ▲重点
    掌握整数指数幂的运算性质,尤其是负整数指数幂的运算.
    ▲难点
    认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则扩展过程.
    ◆活动1 新课导入
    正整数指数幂的运算性质:
    (1)同底数幂的乘法:am·an=__am+n__(m,n是正整数);
    (2)幂的乘方:(am)n=__amn__(m,n是正整数);
    (3)积的乘方:(ab)n=__anbn__(n是正整数);
    (4)同底数幂的除法:am÷an=__am-n__(a≠0,m,n是正整数,m>n);
    (5)分式的乘方: eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b))) eq \s\up12(n) =__ eq \f(an,bn) __(n是正整数);
    (6)0指数幂:a0=__1__(a≠0).
    ◆活动2 探究新知
    1.教材P142 思考.
    学生完成并交流展示.
    2.计算:a3÷a5.
    提出问题:
    (1)能否用约分的方法计算a3÷a5?计算得出的结果是什么?
    (2)除此之外你还有其他计算方法吗?如果我们把幂的运算性质am÷an=am-n(a≠0,m,n为正整数,m>n)中的条件m>n去掉,运用这个性质计算a3÷a5,你又能得到什么结果呢?
    (3)通过上面的探索你能得出什么结论?
    学生完成并交流展示.
    3.教材P143 思考,教材P144 探究.
    提出问题:
    (1)正整数指数幂的性质有哪几条?
    (2)当幂的指数由正整数扩大到全体整数时,哪几条性质可以合并为一条性质?
    (3)整数指数幂的性质可以归纳为哪几条?
    学生完成并交流展示.
    ◆活动3 知识归纳
    1.一般地,当n为正整数时,a-n=__ eq \f(1,an) __(a≠0),这就是说,a-n(a≠0)是__an__的倒数.
    2.整数指数幂的运算性质:当m,n均为整数时,
    (1)am·an=__am+n__;(2)(am)n=__amn__;
    (3)(ab)n=__anbn__.
    ◆活动4 例题与练习
    例1 教材P144 例9.
    例2 计算:
    (1)(3x2y-2)-3;
    解:原式=3-3x-6y6= eq \f(y6,27x6) ;
    (2)(2m2n-2)2·3m-3n3;
    解:原式=12mn-1= eq \f(12m,n) ;
    (3)(a2b-3)-2·(a-2b3)2;
    解:原式=a-4b6·a-4b6=a-8b12= eq \f(b12,a8) ;
    (4)a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2).
    解:原式=(-2)-2a-2b2·a-4b4·a4b-2=2-2a-2b4= eq \f(b4,4a2) .
    例3 先化简,再求值: eq \f(x2-4x,x+3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4-x))) eq \s\up12(-2) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x+3,x))) eq \s\up12(-1) ,其中x等于它的倒数.
    解:原式= eq \f(x(x-4),x+3) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4-x,x))) eq \s\up12(2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(x+3,x))) =- eq \f((x-4)3,x2) .∵x等于它的倒数,∴x=±1.当x=1时,原式=- eq \f((x-4)3,x2) =- eq \f((1-4)3,12) =27;当x=-1时,原式=- eq \f((x-4)3,x2) =- eq \f((-1-4)3,(-1)2) =125,∴此式子的值为27或125.
    练习
    1.教材P145 练习第1,2题.
    2.若式子(x+3)0-2(3x-6)-3有意义,则x的取值范围是(D)
    A.x>-3 B.x<2
    C.x≠-3或x≠2 D.x≠-3且x≠2
    3.计算:
    (1)|-3|+(-1)2 019×(π-3)0- eq \r(3,27) + eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(-2) ;
    解:原式=3+(-1)×1-3+4=3;
    (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(-1) -(3.14-π)0+0.254×44.
    解:原式=2-1+(0.25×4)4=2-1+1=2.
    ◆活动5 课堂小结
    1.负整数指数幂的运算.
    2.整数指数幂的运算.
    1.作业布置
    (1)教材P147 习题15.2第7题;
    (2)对应课时练习.
    2.教学反思
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