人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册14.1.4 整式的乘法教学设计，共3页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●置疑导入 1.人类探究自然的脚步一刻也没停过．近年来，我们国家的航天事业飞速发展，“神舟”系列飞船遨游太空，“嫦娥”系列卫星飞向月球．现在提出一个数学问题：月球是距离地球最近的天体，它与地球的平均距离约为3.8×108 m．如果宇宙飞船以1.12×104 m/s的速度飞行，到达月球大约需要多少时间？
2．小明在班级联欢晚会上表演的一个魔术节目如下：
请你在心中想一个自然数，并且按下列程序运算后直接告诉他答案：
eq \x(n) → eq \x(平方) → eq \x(加n) → eq \x(除以n) → eq \x(答案)
他能马上说出你所想的自然数，你知道其中的奥妙在哪里吗？
1．同底数幂的计算法则是什么？
同底数幂相除，底数__不变__，指数__相减__．
2．计算：
(1)(－a)6÷a3＝__a3__； (2)a6÷a3＝__a3__；
(3)a6÷(－a)3＝__－a3__； (4)a6÷(－a)4＝__a2__；
(5)(－8)5÷(－8)3＝__64__； (6)20－1＝__0__．
3．(1)(__4xy__)·7x3y＝28x4y2; (2)28x4y2÷7x3y＝__4xy__；
(3)15a3b·(__－ eq \f(1,3) a2b4__)＝－5a5b5; (4)－5a5b5÷15a3b＝__－ eq \f(1,3) a2b4__．
你能说出单项式除以单项式的计算法则吗？
【教学与建议】教学：复习同底数幂的除法以及单项式乘法，导入整式除法运算．比较，从而得出运算法则．建议：要注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养.
命题角度1 单项式除以单项式
在单项式与单项式相除的计算中，要注意如下几个方面：(1)系数相除作为商的系数；(2)含有相同的字母部分按同底数幂的除法性质进行，底数不变，指数相减；(3)单独在被除式中出现的字母不能漏掉，要连同指数直接作为商的一个因式．
【例1】计算－4x3÷2x的结果是(A)
A．－2x2 B．2x2 C．－2x3 D．－8x4
【例2】计算： eq \f(2,3) a2b2c÷(－ eq \f(1,2) ab)＝__－ eq \f(4,3) abc__．
命题角度2 多项式除以单项式
多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．
【例3】(1)计算(8x3－12x2－4x)÷(－4x)的结果是(B)
A．－2x2＋3x B．－2x2＋3x＋1
C．－2x2＋3x－1 D．2x2＋3x＋1
(2)(12x3－8x2＋4x)÷(－4x)＝__－3x2＋2x－1__．
【例4】已知xy与一个整式的积是3x2y＋2xy，则这个整式是__3x＋2__．
【例5】计算：( eq \f(2,3) a4b7－ eq \f(1,9) a2b6)÷(－ eq \f(1,3) ab2)2.
解：原式＝( eq \f(2,3) a4b7－ eq \f(1,9) a2b6)÷ eq \f(1,9) a2b4
＝6a2b3－b2.
命题角度3 化简求值
利用去括号法则先去括号，再合并同类项，根据除法法则化简后再代入字母的值计算．
【例6】先化简，再求值：
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x3y4))\s\up12(3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)xy2))\s\up12(2)·3xy2)) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xy2)) eq \s\up12(3) ，其中x＝－2，y＝ eq \f(1,2) .
解：原式＝(－ eq \f(1,8) x9y12＋ eq \f(1,12) x3y6)÷(－ eq \f(1,8) x3y6)
＝x6y6－ eq \f(2,3) .
将x＝－2，y＝ eq \f(1,2) 代入得
原式＝(－2)6·( eq \f(1,2) )6－ eq \f(2,3)
＝ eq \f(1,3) .
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式法则．
2．让学生会运用法则，熟练进行整式的除法运算．
▲重点
单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算．
▲难点
除式带有负号时，注意符号的变化．
◆活动1 新课导入
1．同底数幂相除，底数__不变__，指数__相减__，即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).
2．a0＝__1__(a≠0).
◆活动2 探究新知
1．计算：12a3b2x3÷3ab2.
提出问题：
(1)这是单项式除以单项式吗？怎样求解？
(2)同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来计算，单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算？
(3)观察式子12a3b2x3÷3ab2＝4a2x3，等式左右两边的数字因数有什么关系，相同字母的指数有什么关系？只在被除数中含有的字母，前后有没有变化？
(4)你能归纳出单项式除以单项式法则吗？
学生完成并交流展示．
2．计算：(am＋bm)÷m.
提出问题：
(1)这是多项式除以单项式吗？上面学习了单项式除以单项式，你会计算多项式除以单项式吗？
(2)在学习多项式乘单项式中，运用了将多项式乘单项式转化为单项式乘单项式的思想，在计算多项式除以单项式中，能用类似的方法进行计算吗？
(3)通过计算，你发现了什么规律？
◆活动3 知识归纳
1．单项式相除，把__系数__与__同底数幂__分别相除作为商的__因式__，对于只在被除式里含有的字母，则__连同它的指数__作为商的一个因式．
2．多项式除以单项式，先把这个多项式的__每一项__都除以__这个单项式__，再把所得的商__相加__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P103 例8.
例2 计算：(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a4b7－\f(1,9)a2b6)) ÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)ab2)) eq \s\up12(2) ；
解：原式＝6a2b3－b2；
(2)(－9a3＋12a2b－18a3b2)÷(－3a2).
解：原式＝3a－4b＋6ab2.
例3 已知一个多项式与单项式－7x2y3的积为21x4y6－28x7y4＋14x6y6，试求这个多项式．
解：设所求多项式为A，则A＝(21x4y6－28x7y4＋14x6y6)÷(－7x2y3)＝－3x2y3＋4x5y－2x4y3.
例4 如图①的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图②的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？(单位：cm)
eq \(\s\up7(),\s\d5(图①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图②))
解： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))\s\up12(2)h＋π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2a))\s\up12(2)H)) ÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(1,2)a))\s\up12(2)×8)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)πa2h＋πa2H)) ÷ eq \f(1,2) πa2＝ eq \f(1,2) h＋2H.当 eq \f(1,2) h＋2H是整数时，则需要 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)h＋2H)) 个杯子；当 eq \f(1,2) h＋2H不是整数时，则需要 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)h＋2H)) 的整数部分再加1个杯子．
练习
1．教材P104 练习第2，3题．
2．如果□×3ab＝3a2b，那么□内应填的代数式是(C)

A．ab B．3ab C．a D．3a
3．当a＝ eq \f(3,4) 时，代数式(28a3－28a2＋7a)÷7a的值是(B)
A．6.25 B．0.25 C．－2.25 D．－4
4．计算：
(1)2x2y3÷(－3xy)；
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)a2b3c)) ÷(3a2b)；
(3)(12x3－8x2＋4x)÷(－4x)；
(4)(3x2y－2x3y2－x4y3)÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2y)) .
解：(1)原式＝－ eq \f(2,3) xy2；
(2)原式＝－ eq \f(1,5) b2c；
(3)原式＝－3x2＋2x－1；
(4)原式＝－6＋4xy＋2x2y2.
◆活动5 课堂小结
1．单项式除以单项式的法则及运用．
2．多项式除以单项式的法则及运用．
1．作业布置
(1)教材P105 习题14.1第6(3)(4)(5)(6)题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思