高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点02常用逻辑用语(6种题型2个易错考点)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点02常用逻辑用语(6种题型2个易错考点)专项练习(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。


二、命题规律与备考策略
本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基本概念、定理等，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
6．（2022•浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“csx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2022•北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
四、考点清单
一．充分条件与必要条件
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
二．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
三．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
四．命题的否定
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
五、题型方法
一．充分条件与必要条件（共8小题）
1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（ ）
A．∀x∈R，
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．x＞1是x＞0的充分不必要条件
D．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0
3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023•佛山二模）记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A．B．C．﹣D．0
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．
6．（2023•安徽二模）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）当a＞0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
8．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3的值域为B．
（Ⅰ）当a＝1时，求（∁RA）∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
二．全称量词和全称命题（共2小题）
9．（2023•哈尔滨二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a＞4B．a≥4C．a＜1D．a≥1
10．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．
三．存在量词和特称命题（共5小题）
11．（2023•郑州模拟）若“∃x∈R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“∃x∈[1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最大值为 ．
13．（2023•九江二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（ ）
A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题
B．“∃x∈N，x2+2x＝0”是特称命题
C．若xy≠0，则x，y都不为0
D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件
15．（2023•河南模拟）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，4）C．（﹣2，+∞）D．（4，+∞）
四．命题的否定（共2小题）
16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数
B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数
D．任意一个偶数都不是素数
（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（ ）
A．某些平行四边形是菱形
B．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0
C．∀x∈R，|x|+x2≥0
D．∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解
五．全称命题的否定（共1小题）
18．（2023•达州模拟）命题p：∀x∈R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（ ）
A．∀x∈R，2x+x2﹣x+1≤0
B．∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0
C．∃x0∈R，
D．∃x0∈R，
六．特称命题的否定（共2小题）
19．（2023•新城区校级模拟）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（ ）
A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0
C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0
（多选）20．（2023•海南一模）已知命题p：“∃x∈R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“∀x∈R，x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（ ）
A．p的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+a+6≠0”
B．q的否定是“∃x∈R，x2+mx+1＞0”
C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5
D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2
六、易错分析
易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全
例1：已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq \\al(2,0)－x0－2<0，写出綈p.
例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
七、刷基础
一．选择题
1．（2023•北京模拟）设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N*，则m+n＝p+q是am•an＝ap•aq的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023•保定一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023•遂川县校级一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的充要条件是（ ）
A．∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）
C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）
4．（2023•重庆模拟）“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023•亭湖区校级一模）不等式（x﹣π）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x∈（π，e）B．x∈[e，π]C．x∈（e，π）D．x∈（﹣∞，π]
6．（2023•浑南区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣3，2]B．[﹣1，3]C．D．
7．（2023•迎泽区校级一模）“sin2α﹣2sinαcsα＝0”是“tanα＝2”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
8．（2023•河北模拟）已知函数f（x）＝，则“k2＝1”是“函数f（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023•门头沟区一模）已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2023•湖北模拟）已知m＞0，则“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
八.刷易错
一．选择题（共5小题）
1．（2023•鄠邑区模拟）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（ ）
A．k2﹣e2＞1B．k2﹣e2＜1C．e2﹣k2＞1D．e2﹣k2＜1
2．（2022•新乡县校级模拟）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），，若p为假命题，则a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，2]
3．（2020•山东模拟）命题p：已知a＞1，∃x＞0，使得x+≤1，则该命题的否定为（ ）
A．已知a≤1，∀x≤0，使得x+≥1
B．已知a＞1，∀x＞0，使得x+＞1
C．已知a≤1，∃x＞0，使得x+≥1
D．已知a＞1，∃x≤0，使得x+＞1
4．（2023•泰和县一模）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）＝（x＜0），h（x）＝2elnx．有下列命题：
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023•南宁模拟）已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③B．①③④C．②③D．①④
二．填空题（共1小题）
6．（2023•大荔县一模）给出下列命
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真；
⑤“若m＞1，则 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是 ．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
考题
考点
考向
2022天津、浙江、北京
充分必要条件
充分必要条件的判断
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
考点02常用逻辑用语（6种题型2个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题是高考热考题型，难度小，分值5分，重点考察充分必要条件的判定和含有一个量词命题的否定，充分必要条件常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考察基本概念、定理等，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；
2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．
6．（2022•浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“csx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵sin2x+cs2x＝1，
①当sinx＝1时，则csx＝0，∴充分性成立，
②当csx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是csx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
14．（2022•北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．
【解答】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．
四、考点清单
一．充分条件与必要条件
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
二．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
三．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
四．命题的否定
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
五、题型方法
一．充分条件与必要条件（共8小题）
1．（2023•黄山模拟）“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
【解答】解：∵直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行，
∴a×（a﹣3）﹣1×4＝0，解得a＝4或a＝﹣1，
当a＝4，两直线分别为4x+y+4＝0，4x+y+9＝0，两直线平行，符合题意；
当a＝﹣1，两直线分别为﹣x+y﹣1＝0，4x﹣4y+4＝0，即为x﹣y+1＝0，x﹣y+1＝0，
两直线重合，不符合题意；
综上所述：a＝4．
故“a＝4”是“直线ax+y+a＝0和直线4x+（a﹣3）y+a+5＝0平行”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
（多选）2．（2023•沙县模拟）下列命题正确的有（ ）
A．∀x∈R，
B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为R
C．x＞1是x＞0的充分不必要条件
D．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0
【分析】举反例判断A，根据一元二次函数的性质判断B，根据充分条件和必要条件的定义判断C，根据含量词的命题的否定方法判断D．
【解答】解：当x＝﹣1时，，所以∀x∈R，是假命题，A错误；
因为x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，则不等式 x2﹣4x+5＞0的解集为R，B正确；
因为x＞1，则x＞0，又当x＝0.5时，x＞0，但x＜1，所以由x＞0不能推出x＞1，所以x＞1是x＞0的充分不必要条件，C正确；
若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
3．（2023•山西模拟）已知正实数a，b，则“2a+b＝4”是“ab≥2”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用基本不等式由2a+b＝4可得ab≤2，可得充分性不成立；当a＝2，b＝2时可得必要性不成立，即可得出结果．
【解答】解：根据基本不等式可得，即，可得ab≤2，
所以充分性不成立；
若ab≥2，可令a＝2，b＝2满足ab≥2，此时2a+b＝6≠4；
即必要性不成立；
所以“2a+b＝4”是“ab≥2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4．（2023•佛山二模）记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用等差数列前n项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，则S3＝a1+a2+a3＝3a2，
数列{an}的前n项和为Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，
而a4﹣a3≠a3﹣a2，即数列{an}不是等差数列，
所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的判定方法、等差数列的性质，考查了推理能力，属于基础题．
（多选）5．（2023•五华区校级模拟）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|xm+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A．B．C．﹣D．0
【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可．
【解答】解：设A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，B＝{x|xm+1＝0}，
因为p是q的必要条件，所以B⊆A，
①当B＝∅时，由mx+1＝0无解可得m＝0，符合题意；
②当B≠∅时，B＝{2}或B＝{﹣3}，
若B＝{2}时，由2m+1＝0解得，
若B＝{﹣3}时，由﹣3m+1＝0解得．
综上，m的取值为0，，．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，以及集合间的包含关系，属于基础题．
6．（2023•安徽二模）设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：①若a＝1时，f（x）＝ln（+x），
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
∵f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x）+ln（+x）＝ln1＝0，
即f（﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数，即充分性成立，
②若为奇函数，
则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣ax）+ln（+ax）＝ln[（1﹣a2）x2+1]＝0，
∴（1﹣a2）x2+1＝1，∴（1﹣a2）x2＝0，
此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a＝±1，即必要性不成立，
则a＝1是为奇函数的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合对数的运算是解决本题的关键．
7．（2023•大荔县一模）已知集合A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）当a＞0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先解一元二次不等式求出A，再利用交集运算求解即可．
（2）将充要条件转化为A⊆B，得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当a＝4时，
A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}＝{x|（x﹣4）（x+5）≤0}＝{x|﹣5≤x≤4}，
又∵B＝{x|x≤3或x≥6}，
∴A∩B＝{x|﹣5≤x≤3}．
（2）当a＞0时，A＝{x|（x﹣a）（x+a+1）≤0}＝{x|﹣a﹣1≤x≤a}，
∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，
∵B＝{x|x≤3或x≥6}，
∴a≤3或﹣a﹣1≥6，又∵a＞0，
∴0＜a≤3，
∴实数a的取值范围为（0，3]．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题．
8．（2022•安徽模拟）已知函数f（x）＝lg的定义域为A，函数g（x）＝22x﹣2x+1+3的值域为B．
（Ⅰ）当a＝1时，求（∁RA）∩B；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】根据对数函数有意义的条件可得集合A，结合换元法与二次函数的图象与性质，可得集合B，
（Ⅰ）把a＝1代入，可得A，再对（∁RA）∩B进行运算，即可；
（Ⅱ）由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，知B⫋A，从而得a+3＜2，解之即可．
【解答】解：由题意知，＞0，解得x＞a+3或x＜a，所以A＝（﹣∞，a）∪（a+3，+∞），
令t＝2x∈（0，+∞），则h（t）＝t2﹣2t+3＝（t﹣1）2+2≥2，
所以B＝[2，+∞），
（Ⅰ）当a＝1时，A＝（﹣∞，a）∪（a+3，+∞）＝（﹣∞，1）∪（4，+∞），
所以∁RA＝[1，4]，
所以（∁RA）∩B＝[2，4]．
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⫋A，
所以a+3＜2，解得a＜﹣1，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题考查函数的定义域与值域的求法，充分必要条件的应用，熟练掌握指数函数和对数函数的定义域或值域的求法，充分必要条件与集合的联系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．全称量词和全称命题（共2小题）
9．（2023•哈尔滨二模）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a＞4B．a≥4C．a＜1D．a≥1
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥x2在[1，2]上恒成立，
∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，则a≥4．
故选：B．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
10．（2020•涪城区校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）＝x2+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|恒成立，求实数c的取值范围．
【分析】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x），
∴g（x）＝﹣x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2﹣|x﹣1|≤0．
上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，
由①得，而②无解．∴原不等式的解集为． …（5分）
（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）﹣|x﹣1|可化为：c≤2x2﹣|x﹣1|．
作出函数F（x）＝2x2﹣|x﹣1|的图象（这里略）．
由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是． …（10分）
【点评】本题考查二次函数图象与性质．
三．存在量词和特称命题（共5小题）
11．（2023•郑州模拟）若“∃x∈R，x2﹣6ax+3a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
【分析】由“∀x∈R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，利用判别式法求解．
【解答】解：由条件可知“∀x∈R，x2﹣6ax+3a≥0”为真命题，
则Δ＝36a2﹣12a≤0，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
12．（2023•桃城区校级模拟）若命题“∃x∈[1，3]，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的最大值为 ．
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：由题知命题的否定“∀x∈[1，3]，x2+ax+1≤0”是真命题，
令f（x）＝x2+ax+1（x∈[1，3]），
则解得，故实数a的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
13．（2023•九江二模）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＜0，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]
【分析】先由p为假命题，得出¬p为真命题，即∀x∈R，x2+2x+2﹣a≥0恒成立，由Δ≤0，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：因为命题p：∃x∈R，x2+2x+2﹣a＜0，
所以¬p：∀x∈R，x2+2x+2﹣a≥0，
又因为p为假命题，所以¬p为真命题，
即∀x∈R，x2+2x+2﹣a≥0恒成立，
所以Δ≤0，即22﹣4（2﹣a）≤0，
解得a≤1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题．
14．（2023•银川一模）下列判断不正确的是（ ）
A．“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题
B．“∃x∈N，x2+2x＝0”是特称命题
C．若xy≠0，则x，y都不为0
D．“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充要条件
【分析】根据命题的相关概念和充分、必要条件逐项分析判断．
【解答】解：对A：若x，y互为相反数，则x＝﹣y，即x+y＝0，
故“若x，y互为相反数，则x+y＝0”是真命题，A正确；
对B：“∃x∈N，x2+2x＝0”含有存在量词，
故“∃x∈N，x2+2x＝0”是特称命题，B正确；
对C：若xy≠0，则x≠0且y≠0，即x，y都不为0，
故若xy≠0，则x，y都不为0，C正确；
对D：若“x＞1且y＞1”，则“x+y＞2”，
但“x+y＞2”，不一定能得到“x＞1且y＞1”，例如x＝4，y＝﹣1，
故“x＞1且y＞1”是“x+y＞2”的充分不必要条件，D不正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了特称命题的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
15．（2023•河南模拟）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，4）C．（﹣2，+∞）D．（4，+∞）
【分析】由题知x0∈[﹣1，1]时，，再根据二次函数求最值即可得答案．
【解答】解：因为命题“∃x0∈[﹣1，1]，”为真命题，
所以命题“∃x0∈[﹣1，1]，”为真命题，
所以x0∈[﹣1，1]时，，
因为，
所以当x∈[﹣1，1]时，ymin＝﹣2，当且仅当x＝1时取得等号，
所以x0∈[﹣1，1]时，，
即实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，不等式能成立问题，属于基础题．
四．命题的否定（共2小题）
16．（2023•河东区一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数
B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数
D．任意一个偶数都不是素数
【分析】根据存在量词命题p：∃x∈M，p（x），否定为¬p：∀x∈M，¬p（x），即可解得正确结果．
【解答】解：由于存在量词命题p：∃x∈M，p（x），否定为¬p：∀x∈M，¬p（x），
所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
（多选）17．（2023•安宁市校级模拟）下列命题的否定中，是真命题的有（ ）
A．某些平行四边形是菱形
B．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0
C．∀x∈R，|x|+x2≥0
D．∀x∈R，x2﹣ax+1＝0有实数解
【分析】根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．
【解答】解：对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；
对于B，Δ＝9﹣12＝﹣3＜0，
则原命题是假命题；
对于C，∀x∈R，|x|+x2≥0，是真命题；
对于D，只有Δ＝a2﹣4≥0，即a≤﹣2或a≥2时，x2﹣ax+1＝0有实数解，是假命题；
根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题否定的定义，属于基础题．
五．全称命题的否定（共1小题）
18．（2023•达州模拟）命题p：∀x∈R，2x+x2﹣x+1＞0，则¬p为（ ）
A．∀x∈R，2x+x2﹣x+1≤0
B．∀x∈R，2x+x2﹣x+1＜0
C．∃x0∈R，
D．∃x0∈R，
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出¬p．
【解答】解：因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：∀x∈R，2x+x2﹣x+1＞0的否定为：∃x0∈R，．
故选：D．
【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
六．特称命题的否定（共2小题）
19．（2023•新城区校级模拟）命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是（ ）
A．∃x0≤0，﹣x0﹣1＞0B．∀x≤0，x2﹣x﹣1＞0
C．∃x0＞0，﹣x0﹣1＜0D．∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题：∃x0＞0，﹣x0﹣1≤0的否定是∀x＞0，x2﹣x﹣1＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
（多选）20．（2023•海南一模）已知命题p：“∃x∈R，x2﹣2x+a+6＝0”，q：“∀x∈R，x2+mx+1＞0”，则下列正确的是（ ）
A．p的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+a+6≠0”
B．q的否定是“∃x∈R，x2+mx+1＞0”
C．若p为假命题，则a的取值范围是a＜﹣5
D．若q为真命题，则m的取值范围是﹣2＜m＜2
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算a的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围．
【解答】解：含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2﹣2x+a+6≠0”是真命题，即方程x2﹣2x+a+6＝0在实数范围内无解，Δ＝4﹣4（a+6）＜0，得a＞﹣5，C不正确；
∀x∈R，x2+mx+1＞0，等价于Δ＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查特称和全称命题的否定，属于基础题．
六、易错分析
易错点1：对含有一个量词的命题否定不完全
例1：已知命题p：存在一个实数x0，使得xeq \\al(2,0)－x0－2<0，写出綈p.
【错解一】 p：存在一个实数x0，使得xeq \\al(2,0)－x0－2≥0.
【错解二】p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
【错因】该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
【正解】p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
易错点2：判断充要条件时出错
例2：命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的________条件．
【错解】若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)>0，即a·b>0，反之也成立，所以p是q的充要条件．
【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
【正解】若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)>0⇒a·b>0；而a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
【答案】充分不必要
七、刷基础
一．选择题
1．（2023•北京模拟）设{an}为等比数列，若m，n，p，q∈N*，则m+n＝p+q是am•an＝ap•aq的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：设等比数列的公比为r，
则，ap•aq＝，
若m+n＝p+q，则am•an＝ap•aq成立，即充分性成立，
当r＝1时，若am•an＝ap•aq，则m+n＝p+q不一定成立，即必要性不成立，
故m+n＝p+q是am•an＝ap•aq的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
2．（2023•保定一模）设α，β是两个不同的平面，则“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据面面平行的定义以及判定定理，举例即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD．
在平面ABB1A1内，除直线AB外，其他所有与A1B1平行的直线，都与平面ABCD平行，
但是平面ABB1A1与平面ABCD不平行；
若α//β，根据面面平行的定义可知，平面α内的直线都与平面β平行．
所以“α内有无数条直线与β平行”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3．（2023•遂川县校级一模）设f（x）是定义在R上的函数，则“f（x）不是奇函数”的充要条件是（ ）
A．∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）
C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．
【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）不恒成立，
即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据含有量词的命题的否定进行判断是解决本题的关键．
4．（2023•重庆模拟）“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：由x2﹣x＜0得，0＜x＜1，
由ex＞0得，x∈R，
因为{x|0＜x＜1}⫋R，所以“x2﹣x＜0”是“ex＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
5．（2023•亭湖区校级一模）不等式（x﹣π）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x∈（π，e）B．x∈[e，π]C．x∈（e，π）D．x∈（﹣∞，π]
【分析】解出不等式，由充分必要的条件判断选项．
【解答】解：不等式（x﹣π）（x﹣e）≤0解得e≤x≤π，x∈（e，π）时，一定有x∈[e，π]，而x∈[e，π]时，不一定满足x∈（e，π），
所以不等式（x﹣π）（x﹣e）≤0成立的一个充分不必要条件是x∈（e，π），
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集，充分必要条件的定义，属于基础题
6．（2023•浑南区校级三模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣3，2]B．[﹣1，3]C．D．
【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出B⫋A，由此列出不等式组，即可求得答案．
【解答】解：由题意集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝[﹣3，4]，B＝{x|x2﹣3mx+2m2+m﹣1＜0}＝{x|（x﹣m﹣1）（x﹣2m+1）＜0}，
若m＞2，则2m﹣1＞m+1，此时B＝（m+1，2m﹣1），
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B⫋A，
故，∴；
若m＜2，则2m﹣1＜m+1，此时B＝（2m﹣1，m+1），
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故B⫋A，
故，∴﹣1≤m＜2；
若m＝2，则2m﹣1＝m+1，此时B＝∅，满足B⫋A，
综合以上可得，
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
7．（2023•迎泽区校级一模）“sin2α﹣2sinαcsα＝0”是“tanα＝2”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
【分析】化简条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为sin2α﹣2sinαcsα＝0，
所以sinα（sinα﹣2csα）＝0，sinα﹣2csα＝0或sinα＝0，
所以tanα＝2或tanα＝0，
故“sin2α﹣2sinαcsα＝0”是“tanα＝2”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
8．（2023•河北模拟）已知函数f（x）＝，则“k2＝1”是“函数f（x）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求出函数为偶函数时，对应的k值，进而得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
当f（﹣x）＝f（x）时，可得＝，
即2x+k•2﹣x＝﹣（2﹣x+k•2x），可得（1+k）•（2x+2﹣x）＝0，
故当函数f（x）是偶函数时，可得k＝﹣1，
故“k2＝1”是“函数f（x）是偶函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了偶函数的性质，属于基础题．
9．（2023•门头沟区一模）已知非零向量，则“与共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】取，为方向相反的单位向量，得到不充分，根据（﹣）2≤（||﹣||）2得到θ＝0，得到必要性，从而可得答案．
【解答】解：若与共线，取为方向相反的单位向量，则|﹣|＝2，|||﹣|||＝0，
，充分性不成立；
若，则（﹣）2≤（||﹣||）2，整理得到||||≤•，
若＝或＝，不等式成立，且与共线，
若≠且≠，设a，夹角为θ，则θ∈[0，π]，即||||≤||•||csθ，即1≤csθ，即θ＝0，故与共线，必要性成立．
综上所述，“与共线”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，向量共线的条件，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10．（2023•湖北模拟）已知m＞0，则“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“a＞b＞0”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案．
【解答】解：由题意，
若a＞b＞0，结合m＞0，则，
故“a＞b＞0”是“”的充分条件；
者，则，
取a＝3，m＝2，b＝﹣1满足，但不满足a＞b＞0，
故“a＞b＞0”不是“”的必要条件．
于是“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了不等式的性质，属于基础题．
八.刷易错
一．选择题（共5小题）
1．（2023•鄠邑区模拟）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（ ）
A．k2﹣e2＞1B．k2﹣e2＜1C．e2﹣k2＞1D．e2﹣k2＜1
【分析】设直线方程为：y＝k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，方程有两根，x1•x2＝（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，由此能求出结果．
【解答】解：由题意可设直线方程为：y＝k（x﹣c）代入双曲线方程得：
（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2＝0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2＝（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，
因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，
b2﹣a2k2＝c2﹣a2﹣a2k2＝a2e2﹣a2﹣a2k2＝a2（e2﹣1﹣k2）＞0
e2﹣1﹣k2＞0，
e2﹣k2＞1．
故选：C．
【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
2．（2022•新乡县校级模拟）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），，若p为假命题，则a的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，2]
【分析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出￢p，利用基本不等式求得a的取值范围．
【解答】解：依题意可知￢p：∀x∈（0，+∞），x+≥a，为真命题，
因为x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
所以a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与它的否定命题应用问题，是基础题．
3．（2020•山东模拟）命题p：已知a＞1，∃x＞0，使得x+≤1，则该命题的否定为（ ）
A．已知a≤1，∀x≤0，使得x+≥1
B．已知a＞1，∀x＞0，使得x+＞1
C．已知a≤1，∃x＞0，使得x+≥1
D．已知a＞1，∃x≤0，使得x+＞1
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论（主要前提不动）．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：已知a＞1，∀x＞0，使得x+＞1；
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（2023•泰和县一模）若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）＝（x＜0），h（x）＝2elnx．有下列命题：
①F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x∈（﹣，0）内的导数符号，即可判断；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣，∴x∈（﹣，0），F′（x）＝2x+＞0，
∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（﹣，0）内单调递增，故①对；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，
又≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；
④函数f（x）和h（x）的图象在x＝处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，
那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x﹣），即y＝kx﹣k+e，
由f（x）≥kx﹣k+e（x∈R），可得x2﹣kx+k﹣e≥0当x∈R恒成立，
则△≤0，只有k＝2，此时直线方程为：y＝2x﹣e，
下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，
G′（x）＝，
当x＝时，G′（x）＝0，当0＜x＜时G′（x）＜0，当x＞时G′（x）＞0，
则当x＝时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2x﹣e，故④正确．
故选：C．
【点评】本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．
5．（2023•南宁模拟）已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个解，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③B．①③④C．②③D．①④
【分析】①f（x1）﹣f（x2）＝2则为最大值1减最小值﹣1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值﹣1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．
【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，
令，则
由题意，在上只能有两解和
∴，（*）因为在上必有，
故在（0，π）上存在x1，x2满足 f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；
对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；
解（*）得，所以④成立；
当时，，由于，故，
此时y＝sinz是增函数，从而f（x）在上单调递增．
综上，①③④成立，
故选：B．
【点评】本题为三角函数与简易逻辑的综合考查，本题的关键为确定ω的范围，难度比较大．
二．填空题（共1小题）
6．（2023•大荔县一模）给出下列命
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；
④若命题的逆否命题为真，则它的否命题一定为真；
⑤“若m＞1，则 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是 ②③⑤ ．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）
【分析】①举例说明原命题为真时，它的否命题不一定为假；
②举例说明原命题为真时，它的逆命题不一定为真；
③根据互为逆否命题的两个命题真假性相同进行判定；
④根据命题的逆否命题与它的否命题真假性不一定相同进行判定；
⑤写出它的逆命题并判定真假．
【解答】解：①是假命题，原命题为真时，它的否命题不一定为假，如a≥0时，|a|＝a，它的否命题是a＜0时，|a|≠a，都是真命题；
②是真命题，如对顶角相等是真命题，它的逆命题不是真命题；
③是真命题，命题的逆命题与它的否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同；
④是假命题，命题的逆否命题为真时，它的否命题不一定为真；
⑤是真命题，它的逆命题是 mx2﹣2（m+1）x+m+3＞0的解集为R，则m＞1；即4（m+1）2﹣4m（m+3）＝﹣4m+4＜0，解得m＞1．
综上，正确的命题是②③⑤．
故答案为：②③⑤．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，解题时应对每一个命题进行分析与判定，是综合题．
考题
考点
考向
2022天津、浙江、北京
充分必要条件
充分必要条件的判断
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
命题
全称命题∀x∈M，p（x）
特称命题∃x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立