高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点03不等式(9种题型11个易错考点)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点03不等式(9种题型11个易错考点)专项练习(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。

二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
（多选）4．（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥﹣2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
【分析】方法一：原等式可化为，（x﹣）2+＝1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
方法二：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，x2+y2﹣1＝xy，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：方法一：由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3，即，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B对，
对于C，D，由x2+y2﹣xy＝1得，x2+y2﹣1＝xy，
∴x2+y2≤2，故C对；
∵﹣xy≤，∴1＝x2+y2﹣xy≤x2+y2+＝，
∴，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力，属于中档题．
（多选）1．（2020•山东）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a2+b2≥B．2a﹣b＞
C．lg2a+lg2b≥﹣2D．+≤
【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．
②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜b﹣1＜0，故B正确．
③，故C错误．
④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
四、考点清单
一.不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
二．不等关系与不等式
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
三．不等式比较大小
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
四．基本不等式及其应用
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
技巧二：凑系数
技巧三：分离
技巧四：换元
五．不等式的综合
1、不等式的性质
2、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
3、常用不等式
4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论．
常用的放缩技巧有：
5．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0△＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
6．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
7．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．
8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为：．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0时，△＞0时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．
9．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）min＞A，
若不等式f（x）＜B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）max＜B．
六．指、对数不等式的解法
【概述】
指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．
七．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
八．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式问题：
＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
≥0⇔；
≤0⇔．
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
五、题型方法
一．等式与不等式的性质（共1小题）
1．（2023•丰台区一模）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bcB．＜C．a2＞b2D．a﹣c＞b﹣c
二．不等关系与不等式（共6小题）
2．（2023•重庆一模）设x，y∈R，且0＜x＜y＜1，则（ ）
A．x2＞y2B．tanx＞tany
C．4x＞2yD．
3．（2023•吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a＜bB．C．D．ln（b﹣a）＞0
4．（2023•南昌县校级二模）已知x＜﹣1，那么在下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x2﹣1＞0B．C．sinx﹣x＞0D．csx+x＞0
5．（2023•武汉模拟）下列不等式正确的是（ ）
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若，则a＜b
C．若a+b＞0，c﹣b＞0，则a＞c
D．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则
6．（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•天津一模）设，则（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
三．不等式比较大小（共1小题）
8．（2023•江宁区校级模拟）三个数a＝，b＝（）3，c＝lg3的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
四．基本不等式及其应用（共5小题）
9．（2023•安庆模拟）已知函数f（x）＝lg2（ax+b）（a＞0，b＞0）恒过定点（2，0），则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
10．（2023•拉萨一模）已知实数x，y满足2x+y＝2，则9x+2×3y的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•滁州二模）若a，b，c均为正数，且满足a2+3ab+3ac+9bc＝18，则2a+3b+3c的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
12．（2023•文昌模拟）设x、y＞1，z＞0，若z2＝x•y，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023•陕西模拟）已知a，b，c为正实数且a+2b+3c＝5．
（1）求a2+b2+c2的最小值；
（2）当时，求a+b+c的值．
五．不等式的综合（共1小题）
14．（2022•沙河口区校级一模）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于10%，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示 ．
六．指、对数不等式的解法（共4小题）
15．（2023•泸县校级模拟）若lga3＜lgb3＜0，则（ ）
A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1
16．（2023•北京模拟）已知函数，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（0，1）∪（2，+∞）
C．（1，2）D．（1，+∞）
17．（2023•海淀区校级模拟）不等式2lg3x﹣（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为 ．
18．（2023•银川模拟）关于x的不等式ax≥lgax（a＞0且a≠1）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
七．二次函数的性质与图象（共7小题）
19．（2023•和平区校级一模）若函数f（x）＝x2﹣4x+4在区间[a，a+1]上的最小值为4，则a的取值集合为 ．
20．（2023•海淀区一模）已知二次函数f（x），对任意的x∈R，有f（2x）＜2f（x），则f（x）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023•宁波一模）若函数f（x）＝x2+mx+n在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n2﹣m2+2n+1的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（0，4）D．（1，4）
22．（2023•会泽县模拟）已知二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则ac的值是 ；的最大值是 ．
23．（2023•宛城区校级模拟）已知二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域是[0，+∞），且f（1）≤2，则的取值范围是（ ）
A．[0，12]B．[1，13]C．[2，12]D．[3，13]
24．（2023•温州模拟）已知f（x）＝x2﹣ax，|f（f（x））|≤2在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为 ．
25．（2023•和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且 _______．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．
八．一元二次不等式及其应用（共4小题）
26．（2023•青羊区校级模拟）不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（ ）
A．{x|1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3}
27．（2023•南昌县校级二模）已知关于x的不等式mx2+nx+6m＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则mx＜n的解集为 ．​
28．（2023•道里区校级一模）已知x+y＝4，且x＞y＞0，则的最小值为 ．
29．（2023•武侯区校级模拟）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣6）（x﹣3）≥0}，则（ ）
A．2∈A∩BB．3∈A∩BC．4∈A∪BD．5∈A∪B
九．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）
30．（2022•河北区校级模拟）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（ ）
A．B．C．1D．4
六、易错分析
易错点1：忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，，则.
易错点2：多次运用不等式性质而致错
2、已知，，求的取值范围.
易错点3：忽视不等式中高次项的系数
3．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错
6．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错
7．不等式eq \f(2,x＋1)≤1的解集是________．
易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
8.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
易错点8：忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
9．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))
C．{x|x≤eq \f(3,2)或x≥2}．D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
易错点9：一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
10．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－10，得x＝1或x1，得x