高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点06指数函数(7种题型2个易错考点)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点06指数函数(7种题型2个易错考点)专项练习(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。


二、命题规律与备考策略
方法一：（指对数函数性质）
方法二：【最优解】（构造函数）
方法三：构造法
方法四：比较法
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
四、考点清单
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
常考题型：
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
三．指数函数的图象与性质
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
四．指数型复合函数的性质及应用
指数型复合函数性质及应用：
指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）
复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理
U＝g（x） y＝au y＝ag（x）
增 增 增
减 减 增
增 减 减
减 增 减．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数函数的实际应用
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
七．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
五、题型方法
一．有理数指数幂及根式（共5小题）
1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（ ）
A．a＜bB．a3＜b3C．ea﹣b＞1D．
2．（2022•海淀区二模）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（ ）
A．+＞0B．x3+y3＞0C．lg（x+y）＞0D．sin（x+y）＞0
3．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．2
（多选）4．（2023•汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2（x+y）B．xy＞16C．x+y＜9D．x2+y2＜32
（多选）5．（2022•汕头二模）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是（ ）
A．ab+bc＝2acB．ab+bc＝ac
C．4b•9b＝4a•9cD．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共1小题）
6．（2021•浙江模拟）函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
三．指数函数的图象与性质（共4小题）
7．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•宿州模拟）已知3m＝4，a＝2m﹣3，b＝4m﹣5，则（ ）
A．a＞0＞bB．b＞0＞aC．a＞b＞0D．b＞a＞0
9．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝ ．
10．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则﹣的最小值是 ．
四．指数型复合函数的性质及应用（共1小题）
11．（2021•眉山模拟）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：≈﹣19034.7，68≈﹣34881）
A．公元前1400年到公元前1300年
B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年
D．公元前1100年到公元前1000年
五．指数函数的单调性与特殊点（共7小题）
12．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
13．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）
A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜b＜a
14．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．eπ＞πe＞3eB．πe＞3e＞eπC．eπ＞3e＞e3D．3e＞eπ＞e3
15．（2023•盐城一模）设a，b∈R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜bB．0＜b＜aC．b＜0＜aD．b＜a＜1
16．（2023•建水县校级模拟）函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点是（ ）
A．（2，1）B．（2，2）C．（1，1）D．（1，2）
17．（2023•大荔县一模）设a＝40.7，，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
18．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+lga（x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 ．
六．指数函数的实际应用（共2小题）
19．（2023•沙坪坝区校级模拟）2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有（ ）个．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．2B．3C．4D．5
20．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5B．10C．15D．20
七．指数函数综合题（共1小题）
21．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）若∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜0．
六、易错分析
易错点1:幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)易错点2：使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错
2.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
七、刷基础
一．选择题（共7小题）
1．（2023•沭阳县校级模拟）设＜＜＜1，那么（ ）
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
2．（2022•山西二模）已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
3．（2022•西安模拟）已知函数f（x）＝2|x﹣1|，若a＜b＜1，且a+c＞2，则（ ）
A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（a）＜f（c）＜f（b）
4．（2022•福田区校级一模）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．c＜b＜a
5．（2022•四川模拟）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022•安康模拟）已知1＜a＜b＜e（为自然对数的底数），则（ ）
A．ab＞baB．C．aa＞D．
7．（2022•西安模拟）已知f（x）＝2x﹣（）x，若f（m）+f（n）＞0，则（ ）
A．m+n＞0B．m+n＜0C．m﹣n＞0D．m﹣n＜0
二．填空题（共3小题）
8．（2022•阿勒泰地区模拟）函数y＝ax﹣1+1图象过定点A，点A在直线mx+ny＝3（m＞1，n＞0）上，则最小值为 ．
9．（2022•3月份模拟）已知实数a，b满足2a+2b+1＝4a+4b，则t＝2a+2b的取值范围是 ．
10．（2022•三河市模拟）已知3a＝5b＝A，则，则A等于
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•邢台月考）设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．a2+b2≥2
C．D．
2．（2022秋•通许县月考），，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
3．（2022•新华区校级开学）若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（ ）
A．p＜m＜nB．p＜n＜mC．m＜p＜nD．n＜p＜m
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022秋•永安市期中）已知函数f（x）＝ax（a＞1），g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），若x1≠x2，则（ ）
A．f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）
B．f（x1）+f（x2）＝f（x1x2）
C．x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）
D．g（）≤
三．填空题（共1小题）
5．（2022秋•宝山区期末）若函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a＝ ．
四．解答题（共1小题）
6．（2022秋•巨野县校级月考）已知函数f（x）＝b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
考题
考点
考向
2022·全国·统考高考真题
指数函数的单调性
利用指数函数的单调性比较大小
2022·全国·统考高考真题
导数判断其单调性
利用指数函数的单调性比较大小
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1


在R上是增函数
在R上是减函数
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数
考点06指数函数（7种题型2个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
方法一：（指对数函数性质）
方法二：【最优解】（构造函数）
方法三：构造法
方法四：比较法
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
四、考点清单
一．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
常考题型：
例1：下列计算正确的是（ ）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．
【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．
常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（ ）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝ax（a＞0，且a≠1）
3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：
①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
三．指数函数的图象与性质
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
四．指数型复合函数的性质及应用
指数型复合函数性质及应用：
指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x）
复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理
U＝g（x） y＝au y＝ag（x）
增 增 增
减 减 增
增 减 减
减 增 减．
五．指数函数的单调性与特殊点
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
六．指数函数的实际应用
指数函数图象的应用：
函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．
七．指数函数综合题
【知识点的认识】
1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
0＜a＜1 a＞1
2、底数对指数函数的影响：
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．
②底数对函数值的影响如图．
③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称．
3、利用指数函数的性质比较大小：
若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：
若底数不同而指数相同，用作商法比较；
若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．
五、题型方法
一．有理数指数幂及根式（共5小题）
1．（2022•临川区校级模拟）若实数a，b满足a6＜a5b，则下列选项中一定成立的有（ ）
A．a＜bB．a3＜b3C．ea﹣b＞1D．
【分析】利用特值法可排除选项A、B、C，分类讨论可判断选项D．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a6＜a5b成立，
但a＜b，a3＜b3，ea﹣b＞1都不成立，
故选项A、B、C都不成立，
若a＜0，则b＜a＜0，
故0＜＜1，
若a＞0，则b＞a＞0，
故0＜＜1，
故ln（）＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了指数幂的运算及分类讨论的思想应用，属于基础题．
2．（2022•海淀区二模）已知x，y∈R，且x+y＞0，则（ ）
A．+＞0B．x3+y3＞0C．lg（x+y）＞0D．sin（x+y）＞0
【分析】利用不等式的性质和通过举反例进行排除即可得到．
【解答】解：对于A，当x＝10，y＝﹣1时，x+y＞0，但＝﹣＜0，故A错误；
对于B，x，y∈R，且x+y＞0，x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（x+y）[（x﹣）2+]＞0，故B正确；
对于C，当x+y＝0.1＞0时，lg（x+y）＜0，故C错误；
对于D，当x+y＝＞0时，sin（x+y）＝sin＝﹣1＜0，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，是基础题．
3．（2022•天津模拟）已知2x＝24y＝3，则的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．2
【分析】利用指数幂以及对数的运算性质即可得出结论．
【解答】解：∵2x＝24y＝3，
∴x＝lg23，y＝lg243，
∴＝﹣＝3lg32﹣lg324＝lg3＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了指数幂以及对数的运算性质，属于基础题．
（多选）4．（2023•汕头一模）已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是（ ）
A．xy＝2（x+y）B．xy＞16C．x+y＜9D．x2+y2＜32
【分析】把指数式化为对数式可得x＝lg236，y＝lg336，再利用对数的运算性质可判断A，结合基本不等式可判断B，因为x+y＝4+2（），利用对勾函数y＝x+的单调性可判断C，由对数函数的性质得到x，y的范围，进而求出x2+y2＞34，从而判断D．
【解答】解：∵2x＝3y＝36，
∴x＝lg236，y＝lg336，
∴＝lg362+lg363＝lg366＝，
∴，即xy＝2（x+y），故选项A正确，
由基本不等式可得＝＞2，∴xy＞16，故选项B正确，
x+y＝lg236+lg336＝2lg26+2lg36＝2（1+lg23+lg32+1）＝4+2（lg23+lg32）＝4+2（），
∵，∴，
而对勾函数y＝x+在（，2）上单调递增，
∴＜2+＝，
∴x+y＜4+2×＝9，故选项C正确，
∵x＝lg236＝2lg26＝2（1+lg23），∴x＞2（1+）＝5，
∴x2＞25，
∵y＝lg336＝2lg36＝2（1+lg32）＞3，∴y2＞9，
∴x2+y2＞34，故选项D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质以及对数函数的性质，属于中档题．
（多选）5．（2022•汕头二模）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，则下列结论正确的是（ ）
A．ab+bc＝2acB．ab+bc＝ac
C．4b•9b＝4a•9cD．
【分析】由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，则a＝lg4M，b＝lg6M，c＝lg9M，再结合对数的运算性质求解．
【解答】解：由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，
则a＝lg4M，b＝lg6M，c＝lg9M，
∴＝lgM4，，，
∵lgM4+lgM9＝2lgM6，∴，
即，去分母整理得ab+bc＝2ac，
故A，D正确，B错误，
又∵4b•9b＝36b，4a•9c＝6b•6b＝36b，
∴4b•9b＝4a•9c，故C正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于中档题．
二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域（共1小题）
6．（2021•浙江模拟）函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．
【解答】解：根据选项可知a≤0，
当a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|＝16，b＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
三．指数函数的图象与性质（共4小题）
7．（2023•枣庄二模）指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2+x图象顶点横坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据指数函数的图象求出a的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：由图象知函数为减函数，则0＜a＜1，
二次函数y＝ax2+x的顶点的横坐标为x＝﹣，
∵0＜a＜1，
∴，﹣＜﹣，
即横坐标的取值范围是（﹣∞，﹣）．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的性质，根据条件求出a的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．
8．（2023•宿州模拟）已知3m＝4，a＝2m﹣3，b＝4m﹣5，则（ ）
A．a＞0＞bB．b＞0＞aC．a＞b＞0D．b＞a＞0
【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得lg23＞lg34＞lg45，即可判断大小．
【解答】解：由3m＝4⇒m＝lg34，，，
∴lg23＞lg34＞lg45，
∴，，
∴b＞0＞a．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，以及数值大小的比较，属于中档题．
9．（2023•宁波二模）若函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则a＝ 2 ．
【分析】利用指数函数的单调性求解．
【解答】解：函数y＝ax（a＞1）在区间[1，2]上单调递增，
所以a2﹣a＝2，
解得a＝﹣1或2，
又∵a＞1，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，属于基础题．
10．（2023•济宁一模）已知函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在直线mx+2ny＝8（m＞0，n＞0）上，则﹣的最小值是 ．
【分析】求出函数所过的定点A（1，1），则有m+2n＝8，则2n＝8﹣m，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可．
【解答】解：函数y＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象过定点A（1，1），
则m+2n＝8，所以2n＝8﹣m，
由，得0＜m＜8，
则
令t＝3m+8，t∈（8，32），则，
则＝，
当且仅当，即t＝16，即时，取等号，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
四．指数型复合函数的性质及应用（共1小题）
11．（2021•眉山模拟）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现﹣﹣6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是（ ）（参考数据：≈﹣19034.7，68≈﹣34881）
A．公元前1400年到公元前1300年
B．公元前1300年到公元前1200年
C．公元前1200年到公元前1100年
D．公元前1100年到公元前1000年
【分析】设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，可得函数关系式，然后利用半衰期构造方程，求出1﹣p，求出函数关系式，列出方程组，求解x的值，即可得到答案．
【解答】解：设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，
则有y＝k（1﹣p）x，
由碳14的半衰期是5730年，则，即，
所以，
由题意可知，＝68%k，
所以x＝＝﹣2≈3188，
2021年之间的3188年大致是公元前1167年，
则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．
故选：C．
【点评】本题考查了指数型函数模型在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，寻找合适的数学模型，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
五．指数函数的单调性与特殊点（共7小题）
12．（2023•嘉兴二模）已知a＝1.11.2，b＝1.21.3，c＝1.31.1，则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【分析】利用中间值1.21.2比较a，b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b，c的大小，即可得解．
【解答】解：a＝1.11.2＜1.21.2＜1.21.3＝b，又因为通过计算知1.24＜1.33，
所以（1.24）0.3＜（1.33）0.3，即1.21.2＜1.30.9，
又1.20.1＜1.30.1，所以1.21.3＜1.31＜1.31.1＝c，
所以a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题．
13．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）
A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【分析】利用指数函数的性质比较a，b，c的大小可得答案．
【解答】解：，，＝，
∵＞，y＝2x为增函数，
∴b＞c；
又a12＝38＝6561＞512＝29＝b12，
∴a＞b；
∴a＞b＞c．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数的单调性质及其应与，属于基础题．
14．（2023•九江模拟）已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．eπ＞πe＞3eB．πe＞3e＞eπC．eπ＞3e＞e3D．3e＞eπ＞e3
【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣，x＞0，证明lnx≤，结合幂函数的性质能求出结果．
【解答】解：构造函数f（x）＝lnx﹣，x＞0，
则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）内单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）内单调递减，
∴f（x）max＝f（e）＝lne﹣＝0，
∴lnx≤（当且仅当x＝e时取等号），
∴lnπ＜，ln2＜，ln3＜，∴eπ＞πe，e2＞2e，e3＞3e，
∴eπ＞πe＞3e．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2023•盐城一模）设a，b∈R，4b＝6a﹣2a，5a＝6b﹣2b，则（ ）
A．1＜a＜bB．0＜b＜aC．b＜0＜aD．b＜a＜1
【分析】由指数式的取值范围可得a＞0且b＞0，通过构造函数证明a＞b不成立，可得到正确选项．
【解答】解：因为4b＝6a﹣2a＞0，
所以3a＞1，所以a＞0，
因为5a＝6b﹣2b＞0，
所以3b＞1，所以b＞0，排除选项C；
若a＞b，
则5a＞4a＞4b，
设f（x）＝6x﹣2x，
则f′（x）＝6xln6﹣2xln2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以6a﹣2a＞6b﹣2b，即4b＞5a，矛盾，
故a＜b，排除选项BD．
故选：A．
【点评】本题主要考查指数值大小的比较，属于中档题．
16．（2023•建水县校级模拟）函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点是（ ）
A．（2，1）B．（2，2）C．（1，1）D．（1，2）
【分析】令x﹣2＝0可得定点．
【解答】解：令x﹣2＝0，即x＝2，得y＝2，
函数f（x）＝ax﹣2+1（其中a＞0，a＝1）的图象恒过的定点是（2，2）．
故选：B．
【点评】本题考查指数函数图象过定点问题，属基础题．
17．（2023•大荔县一模）设a＝40.7，，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a
【分析】由指数运算化简b，再比较大小．
【解答】解：∵＝40.8，
而0.80.7＜1＜40.7＜40.8，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查了指数运算及指数函数单调性的应用，属于基础题．
18．（2023•海南一模）函数f（x）＝ax﹣4+lga（x﹣3）﹣7（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 （4，﹣6） ．
【分析】由f（4）＝﹣6恒成立可直接得到定点坐标．
【解答】解：∵f（4）＝a0+lga1﹣7＝﹣6恒成立，
∴f（x）的图象必过定点（4，﹣6）．
故答案为：（4，﹣6）．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的特点，属于基础题．
六．指数函数的实际应用（共2小题）
19．（2023•沙坪坝区校级模拟）2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“|0＞，|1＞”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00＞，|01＞，|10＞，|11＞”4种叠加态，3个超导量子比特共有“|000＞，|001＞，|010＞，|011＞，|100＞，|101＞，|110＞，|111＞”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有（ ）个．（参考数据：lg2≈0.3010）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据已知条件，结合指数、对数的运算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，M个超导量子比特共有2M种叠加态，即N＝2M，
两边同时取以10为底的对数，即lgN＝lg2M＝Mlg2，
∵N是一个20位的数，
∴1019≤N≤1020，即19≤lgN≤20，
∴，
将lg2≈0.3010代入，推得63.1≤M≤66.4，即M＝64，65，66，共3种．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
20．（2023•和平区校级一模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn（单位：μg/μL）与PCR扩增次数n满足，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（ ）（参考数据：lg1.6≈0.20）
A．5B．10C．15D．20
【分析】由题意可知，X0＝0.1，Xn＝10，令10＝0.1×1.6n，结合对数函数的公式，解出n，即可求解．
【解答】解：由题意可知，X0＝0.1，Xn＝10，
令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，两边同时取对数可得，nlg1.6＝lg100＝2，
所以n＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数的实际应用，属于基础题．
七．指数函数综合题（共1小题）
21．（2022•德阳模拟）已知函数f（x）＝ax（1﹣x）（a＞0，a≠1）的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）若∃x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜0．
【分析】（1）由题可得f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x﹣），分类讨论可得a＞1时，f（x）max＝f（）＝，即lna﹣1＝ln（lna），然后通过构造函数h（x）lnx﹣x+1可求；
（2）由题可得f（﹣x2）﹣f（x1）＝（1+x2）﹣（1﹣x2），构造函数m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），利用导数可得m（x2）＞m（0）＝0，即得．
【解答】解：（1）由题意x∈R，f′（x）＝ax[﹣xlna+lna﹣1]＝ax（﹣lna）（x﹣）．
由于ax＞0，
所以若﹣lna＞0，即0＜a＜1，
当x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0；
即f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，不合题意；
若﹣lna＜0，即a＞1，
当x＜时，f′（x）＞0；当x＞时，f′（x）＜0；
即f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
f（x）max＝f（）＝，
所以＝lna，两边取自然对数得：lna﹣1＝ln（lna），
即ln（lna）﹣lna+1＝0，
令h（x）＝lnx﹣x+1，
则h′（x）＝﹣1＝，
易知0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（x）max＝h（1）＝0，
即lnx﹣x+1＝0的根为1，
所以lna＝1，
即a＝e；
（2）由（1）知f（x）＝ex（1﹣x），且在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
f（1）＝0，f（0）＝1，
当x→﹣∞时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
由f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），不妨设x1＜0＜x2＜1，
则f（﹣x2）﹣f（x1）＝f（﹣x2）﹣f（x2）＝（1+x2）﹣（1﹣x2），
令m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），
于是m′（x）＝x（ex﹣e﹣x）＞0，
所以m（x）在（0，1）上单调递增，
所以m（x2）＞m（0）＝0，
所以f（﹣x2）＞f（x1），且x1，﹣x2∈（﹣∞，0），
从而x1＜﹣x2，
即x1+x2＜0．
【点评】本题考查了转化思想求函数的最值及极限思想，第一问利用导数通过分类讨论得到＝lna，通过两边取对数，构造函数h（x）＝lnx﹣x+1，再利用导数求a的值；第二问关键是构造函数m（x）＝e﹣x（1+x）﹣ex（1﹣x）（0＜x＜1），然后利用导数与单调性的关系即证，属于难题．
六、易错分析
易错点1:幂函数中忽视定义域致错
1.已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)【错解】∵f(x)＝x＝eq \f(1,\r(x))(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴，
解得3＜a. 答案：(3,＋∞)．
【错因】没有考虑函数的定义域，
【正解】∵f(x)＝x＝eq \f(1,\r(x))(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a.))
解得3＜a＜5. 答案：(3,5)
易错点2：使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错
2.已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是( )
A．[2,4] B．(－∞，0]
C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
【错解】选D 令t＝2x，则y＝t2－3t＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)，其图象的对称轴为直线t＝eq \f(3,2).
当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]时，t∈(－∞,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；
当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))∪[7,211]，不满足题意；
当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
【错因】没有考虑新元t的取值范围，因为2x>0，所以t>0。
【正解】选D 令t＝2x(t>0)，则y＝t2－3t＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2＋eq \f(3,4)，其图象的对称轴为直线t＝eq \f(3,2).当x∈[2,4]时，t∈[4,16]，此时y∈[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]时，t∈(0,1]，此时y∈[1,3)，不满足题意；当x∈(0,1]∪[2,4]时，t∈(1,2]∪[4,16]，此时y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))∪[7,211]，不满足题意；当x∈(－∞，0]∪[1,2]时，t∈(0,1]∪[2,4]，此时y∈[1,7]，满足题意．故选D.
七、刷基础
一．选择题（共7小题）
1．（2023•沭阳县校级模拟）设＜＜＜1，那么（ ）
A．aa＜ab＜baB．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜baD．ab＜ba＜aa
【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．
【解答】解：∵＜＜＜1且y＝（）x在R上是减函数．
∴0＜a＜b＜1
∴指数函数y＝ax在R上是减函数
∴ab＜aa
∴幂函数y＝xa在R上是增函数
∴aa＜ba
∴ab＜aa＜ba
故选：C．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性．
2．（2022•山西二模）已知a＝，b＝，c＝，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】利用指数函数的性质求解．
【解答】解：∵指数函数y＝在R上单调递减，且0＜，
∴，即，
∴，
即b＞c＞a，
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
3．（2022•西安模拟）已知函数f（x）＝2|x﹣1|，若a＜b＜1，且a+c＞2，则（ ）
A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）
C．f（b）＜f（a）＜f（c）D．f（a）＜f（c）＜f（b）
【分析】作出f（x）的图象，易知该函数在区间（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，再根据a，b，c的范围判断f（a），f（b），f（c）的大小．
【解答】解：作出f（x）的图象如图：该函数在区间（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，且关于直线x＝1对称，
因为a＜b＜1，且a+c＞2，所以f（2﹣a）＝f（a）＞f（b），而c＞2﹣a＞1，故f（c）＞f（2﹣a），
所以f（b）＜f（a）＜f（c）．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数的图像和性质，属于基础题．
4．（2022•福田区校级一模）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【分析】直接利用函数的性质和平方法的应用判断a、b、c的大小关系．
【解答】解：由于，，由于函数f（x）＝在（0，+∞）上单调递增，故b＞a；
由于，所以c6＝16，b6＝27，所以b＞c，
同理a12＝29，c12＝44＝28，故a＞c，
所以b＞a＞c，即c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，平方法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（2022•四川模拟）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对于A，B，作出y＝2x和y＝x2在第一象限的图象可判断正误，对于C，D，利用指数函数和对数函数的性质可判断正误．
【解答】解：作出y＝2x和y＝x2在第一象限的图象，如图所示，
其中y＝2x的图象用虚线表示，y＝x2的图象用实线表示，
∴当0＜x＜2时，有2x＞x2；当2＜x＜4时，有2x＜x2；当x＞4时，有2x＞x2，
∵2，∴，故A正确，
∵，∴，故B错误，
对于C：∵，而，∴，故C错误，
对于D：∵，而，∴，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
6．（2022•安康模拟）已知1＜a＜b＜e（为自然对数的底数），则（ ）
A．ab＞baB．C．aa＞D．
【分析】对ab，ba，这三个数先取自然对数再除以ab，则，，＝，构造函数f（x）＝，利用导数可得f（x）在（0，e）上单调递增，从而得到ab，ba，这三个数的大小关系．
【解答】解：∵1＜a＜b＜e，
∴ab＞aa＞a0＝1，ba＞b0＝1，0＜lgba＜lgbb＝1，
对ab，ba，这三个数先取自然对数再除以ab，则，，＝＝，
构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，
由f'（x）＞0得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，
∴f（a）＜f（b）＜f（e），即，
∴ab＜ba＜，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三个数比较大小，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
7．（2022•西安模拟）已知f（x）＝2x﹣（）x，若f（m）+f（n）＞0，则（ ）
A．m+n＞0B．m+n＜0C．m﹣n＞0D．m﹣n＜0
【分析】先判断f（x）是定义域R上的奇函数，且是增函数，再由f（m）+f（n）＞0得出m＞﹣n，即可得出结论．
【解答】解：由f（x）＝2x﹣（）x，x∈R；
所以f（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣2x＝﹣f（x），
所以f（x）是定义域R上的奇函数，且是增函数；
又f（m）+f（n）＞0，
所以f（m）＞﹣f（n）＝f（﹣n），
所以m＞﹣n，
所以m+n＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性应用问题，也考查了推理能力，是中档题．
二．填空题（共3小题）
8．（2022•阿勒泰地区模拟）函数y＝ax﹣1+1图象过定点A，点A在直线mx+ny＝3（m＞1，n＞0）上，则最小值为 ．
【分析】由题可知A（1，2），将其代入mx+ny＝1，得m+n＝1，再利用“乘1法”即可求得的最小值．
【解答】解：由y＝ax﹣1+1，令x﹣1＝0，求得x＝1，y＝2，可得它的图象过定点A（1，2），
∵点A在直线mx+ny＝3（m＞1，n＞0）上，∴m+2n＝3，即m﹣1+2n＝2．
则＝（）•（）＝＝．
当且仅当，即m＝时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查指数函数的性质，运用了“乘1法”，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9．（2022•3月份模拟）已知实数a，b满足2a+2b+1＝4a+4b，则t＝2a+2b的取值范围是 （1，] ．
【分析】令x＝2a，y＝2b（x＞0，y＞0），则已知可化为（x﹣）2+（y﹣1）2＝，则点（x，y）在以（，1）为圆心，为半径的圆上的第一象限的部分，则所求可以看成直线t＝x+y过圆（x﹣）2+（y﹣1）2＝在第一象限的部分的最值问题，由此能求出结果．
【解答】解：令x＝2a，y＝2b（x＞0，y＞0），则x+2y＝x2+y2，t＝x+y，
则（x﹣）2+（y﹣1）2＝，
则点（x，y）在以（，1）为圆心，为半径的圆上的第一象限的部分，
如图，设圆（x﹣）2+（y﹣1）2＝与x轴交于A，与y轴交于B，
当y＝0时，x＝1，则A（1，0），
当x＝0时，y＝2，则B（0，2），
当直线t＝x+y过A（1，0）时，t＝1，
∴t＞1，
当直线t＝x+y与圆（x﹣）2+（y﹣1）2＝相切于第一象限时，t取得最大值，
则＝，解得t＝或t＝（舍），
∴t＝2a+2b的取值范围是（1，]．
故答案为：（1，]．
【点评】本题考查代数式的取值范围的求法，考查函数性质、换元法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2022•三河市模拟）已知3a＝5b＝A，则，则A等于
【分析】因为3a＝A，所以3＝，同理5＝，将5＝平方与3＝相乘，根据有理数指数幂的乘法法则可得75＝，而已知，故可求出A的值．
【解答】解：∵3a＝5b＝A，
∴3＝①，5＝②，
将②式平方得25＝③，
①×③得75＝＝＝A2，
∵3a＝5b＝A＞0，
∴A＝＝5，
故答案为5．
【点评】本题主要考查了恒等式an＝b（a＞0），则a＝，结合已知和有理数指数幂的运算法则灵活运算．
八.刷易错
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•邢台月考）设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．a2+b2≥2
C．D．
【分析】设函数f（x）＝，判断f（x）是R上的单调递减函数，得出1＞a＞b＞0，由此判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】解：设函数f（x）＝，
则f（x）＝＝+，
因为函数y＝2x+1在R上为单调递增函数，
所以函数y＝在R上为单调递减函数，
所以f（x）在R上为单调递减函数，
所以f（2020）＞f（2021）＞0，
即a＞b＞0，所以0＜＜1，
所以﹣＝＜0，即＜，选项A错误；
因为0＜a＝＜1，0＜b＝＜1，
所以a2+b2＜2，选项B错误；
因为（a﹣）﹣（b﹣）＝（a﹣b）+（﹣）＝（a﹣b）（1+）＞0，
所以a﹣＞b﹣，选项C正确；
因为﹣＝＜0，所以＜，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
2．（2022秋•通许县月考），，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【分析】根据幂的运算法则，计算a6、b6和c6，再比较大小即可．
【解答】解：因为，，，
所以a＞0，b＞0，c＞0，
计算a6＝23＝8，b6＝32＝9，c6＝6，
所以b6＞a6＞c6＞0，
所以b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的运算法则与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
3．（2022•新华区校级开学）若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（ ）
A．p＜m＜nB．p＜n＜mC．m＜p＜nD．n＜p＜m
【分析】利用作商法比较大小即可．
【解答】解：实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，
＝＝•＜1，
∴m＜n；
＝＝•＞1，
∴m＞p；
∴p＜m＜n．
故选：A．
【点评】本题考查了比较大小的应用问题，是基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022秋•永安市期中）已知函数f（x）＝ax（a＞1），g（x）＝f（x）﹣f（﹣x），若x1≠x2，则（ ）
A．f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）
B．f（x1）+f（x2）＝f（x1x2）
C．x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）
D．g（）≤
【分析】根据函数f（x）＝ax（a＞1）是指数函数，且为单调增函数，得出g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）为单调增函数，
结合题意对选项中的命题分别判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝ax（a＞1）是单调增函数，
所以g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝ax﹣a﹣x＝ax﹣为单调增函数，
所以f（x1）•f（x2）＝＝f（x1+x2），选项A正确；
又f（x1）+f（x2）＝+≠＝f（x1x2），选项B错误；
因为[x1g（x1）﹣x1g（x2）]﹣[x2g（x1）﹣x2g（x2）]
＝x1[g（x1）﹣g（x2）]﹣x2[g（x1）﹣g（x2）]
＝（x1﹣x2）[g（x1）﹣g（x2）]，x1≠x2，
所以x1＞x2时，g（x1）＞g（x2），[x1g（x1）﹣x1g（x2）]﹣[x2g（x1）﹣x2g（x2）]＞0，
所以x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1），选项C正确；
因为函数g（x）＝ax﹣a﹣x为R上的单调增函数，且图象关于原点对称，
以a＝2为例，画出函数g（x）＝2x﹣2﹣x的图象，如图所示：
所以不满足g（）≤，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了指数函数的图象与性质，也考查了数形结合思想，是中档题．
三．填空题（共1小题）
5．（2022秋•宝山区期末）若函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a＝ 3 ．
【分析】对底数a分类讨论，根据单调性求得最大值与最小值，
列出方程求解可得a的值．
【解答】解：①当0＜a＜1时，
函数y＝ax在[1，2]上为单调减函数，
∴函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a，a2，
由函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值和为12，
∴a+a2＝12，
解得a＝3（舍）或a＝﹣4（舍去）；
②当a＞1时，
函数y＝ax在[1，2]上为单调增函数，
∴函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值分别为a2，a，
由函数y＝ax在[1，2]上的最大值与最小值和为12，
∴a+a2＝12，
解得a＝3或a＝﹣4（舍去）．
综上，实数a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了函数最值的应用问题，解题时可对a进行讨论，是基础题．
四．解答题（共1小题）
6．（2022秋•巨野县校级月考）已知函数f（x）＝b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）；
（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）＝b•ax（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）＝b•ax，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）＝b•ax，得
结合a＞0且a≠1，解得：
∴f（x）＝3•2x．
（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．
∵函数y＝（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，
∴当x＝1时，y＝（）x+（）x有最小值．
∴只需m≤即可．
【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
考题
考点
考向
2022·全国·统考高考真题
指数函数的单调性
利用指数函数的单调性比较大小
2022·全国·统考高考真题
导数判断其单调性
利用指数函数的单调性比较大小
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1


在R上是增函数
在R上是减函数
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
（0，+∞）
性质
过定点（0，1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在R上是增函数
在R上是减函数