高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点08三角函数(30种题型8个易错考点)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点08三角函数(30种题型8个易错考点)专项练习(原卷版+解析)，共140页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷常考等内容，欢迎下载使用。

二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）
A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）
2．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
3．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
二．多选题（共1小题）
（多选）5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
三．解答题（共2小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
7．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
四、考点清单
一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝csx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝ctx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•csx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（﹣x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin＝cs_α，cs＝sin α．
公式六：sin＝cs_α，cs＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
五、题型方法
一．任意角的概念（共1小题）
（多选）1．（2023•弥勒市校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sinθ⋅csθ＜0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了120°
D．若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有
二．终边相同的角（共1小题）
（多选）2．（2023•丽江一模）与﹣835°终边相同的角有（ ）
A．﹣245°B．245°C．﹣115°D．﹣475°
三．象限角、轴线角（共1小题）
3．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cs5），则点P位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
四．弧度制（共1小题）
4．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 ．
五．弧长公式（共2小题）
5．（2023•嘉兴二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径．厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ＝82.8°，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
6．（2023•周至县二模）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
六．扇形面积公式（共2小题）
7．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ ．
七．任意角的三角函数的定义（共1小题）
9．（2023•蚌埠模拟）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么sinα＝（ ）
A．B．C．D．
八．三角函数线（共1小题）
10．（2023•江西模拟）若0＜α＜π，则“”是“tanα＞1”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
九．三角函数值的符号（共1小题）
11．（2023•广西模拟）sin3+cs3的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
一十．三角函数的周期性（共4小题）
12．（2023•开福区校级一模）已知函数，若存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（ ）
A．B．C．2πD．4π
13．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023•江西二模）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知函数，给出下列说法：
①f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的值域为；
④f（x）图象的对称轴为直线．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．②③B．①④C．③D．②③④
15．（2023•海淀区二模）已知函数，且．
（1）求a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
一十一．诱导公式（共1小题）
16．（2023•毕节市模拟）已知sin，则cs2θ＝ ．
一十二．运用诱导公式化简求值（共2小题）
17．（2023•凉州区模拟）若，则tanα＝（ ）
A．B．3C．D．﹣3
18．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
一十三．正弦函数的图象（共2小题）
19．（2023•诸暨市模拟）已知函数在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 ．（写出符合条件的一个值即可）
一十四．正弦函数的单调性（共2小题）
21．（2023•河北模拟）已知函数在区间上不单调，则ω的最小正整数值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
22．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
一十五．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
23．（2023•攀枝花三模）已知函数对任意都有，则当ω取到最大值时，f（x）图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
24．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．|f（x）|的最小正周期为2π
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上的最大值为1，则
一十六．余弦函数的图象（共1小题）
25．（2023•宁德模拟）已知函数，射线y＝﹣2（x≥0）与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{xn}，且，则f（5）＝ ．
一十七．余弦函数的单调性（共1小题）
26．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
一十八．正切函数的图象（共1小题）
27．（2023•全国二模）函数y＝2csx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．
一十九．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
28．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝，周期T∈（，），（，0）是f（x）的对称中心，则f（）的值为（ ）
A．B．C．D．
二十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
29．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（csx≠0）的一个对称中心为 （答案不唯一）．
二十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
30．（2023•曲靖模拟）已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则＝（ ）
A．B．C．D．
31．（2023•南通模拟）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
（1）若ω＝2，求函数y＝g（x）在区间上的最大值；
（2）若函数y＝g（x）在区间上没有零点，求ω的取值范围．
32．（2023•辽宁模拟）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在①②③b＝1三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三条边，，_____，_____．求△ABC的面积S△ABC．
33．（2023•温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数的单调区间．
二十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
34．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，同时满足，若函数g（x）＝f（x）﹣1在区间（0，λ）上共有8个零点，则这8个零点之和为 ．
二十三．三角函数的最值（共1小题）
35．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝2sinxcsx+4cs2x﹣1，若实数a、b、c使得af（x）﹣bf（x+c）＝3对任意的实数x恒成立，则2a+b﹣csc的值为（ ）
A．B．C．2D．
二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
36．（2023•芜湖模拟）已知，则sinα＝ ．
二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）
37．（2023•湖北模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
38．（2023•河北模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cs2x，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f（x）存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：是f（x）的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
二十六．二倍角的三角函数（共1小题）
40．（2023•惠州一模）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
二十七．半角的三角函数（共1小题）
41．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
二十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
42．（2023•南关区校级模拟）已知，则＝ ．
二十九．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
43．（2023•山东模拟）已知函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递增
三十．三角函数应用（共2小题）
44．（2023•广东二模）已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．5分钟B．10分钟C．15分钟D．20分钟
45．（2023•贵州模拟）函数在[﹣，]上零点的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
六、易错分析
易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
2．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________．
3．已知θ∈(0，π)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)，则sin θ＋cs θ＝________.
4．在△ABC中，若C＝3B，则eq \f(c,b)的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，3)
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cs 4
6．若eq \f(3π,2)<θA．sineq \f(θ,4) B．cseq \f(θ,4)
C．－sineq \f(θ,4) D．－cseq \f(θ,4)
易错3：三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,3)个单位
8．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将y＝sineq \f(1,2)x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(4π,3)个单位 D．向右平移eq \f(4π,3)个单位
易错4：涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角．
10．(忽视对k的讨论)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
易错5：含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α＝________.
易错6：三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间为________．
易错7：判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
易错8：忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是____．
七、刷常考
一．选择题（共15小题）
1．（2023•宜春二模）函数的图象（0＜ω＜4）关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数y＝g（x）图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）图象关于直线对称
B．函数g（x）图象关于点对称
C．函数g（x）在单调递减
D．函数g（x）最小正周期为
2．（2023•潮州二模）若，则＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
3．（2023•江西模拟）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授．新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去．这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染、受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
4．（2023•重庆模拟）中国折扇有着深厚的文化底蕴．用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角θ时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为r）分割出来的扇形，使扇形的面积S1与圆的面积的乘积等于剩余面积S2的平方．则扇形的圆心角θ为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•雅安模拟）已知实数a，b满足lg2a＜lg2b＜0，则下列各项中一定成立的是（ ）
A．B．sin2a＜sin2b
C．lgae＜lgbeD．ab＜ba
6．（2023•榆林二模）已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023•商丘模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•广西模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•新城区校级一模）若，则＝（ ）
A．3B．C．2D．4
10．（2023•南通一模）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•郑州模拟）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．ωB．φC．D．Asinφ
13．（2023•玉林三模）已知函数f（x）＝2sinx+4csx在x＝φ处取得最大值，则csφ＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
14．（2023•润州区校级二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（2，4]B．C．D．
15．（2023•重庆模拟）某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共3小题）
（多选）16．（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递减
D．是奇函数
（多选）17．（2023•日照模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点对称
B．f（x）在区间的最小值为
C．为偶函数
D．f（x）的图象向右平个单位后得到y＝sin2x的图象
（多选）18．（2023•清新区模拟）已知A（csα，sinα），B（csβ，sinβ），M（csγ，sinγ）是单位圆上的三点，满足，0＜γ＜2π，且，其中λ为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则B．若λ＝1，则
C．D．
三．填空题（共6小题）
19．（2022•新疆模拟）已知α∈（0，π），，则＝ ．
20．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝ ．
21．（2023•新乡模拟）已知函数f（x）＝2sinx+csx，若∃θ∈R，∀x∈R，f（x）≤f（θ），则tan2θ的值为 ．
22．（2022•城厢区校级模拟）已知角，tan＝，则α＝ ．
23．（2022•德州模拟）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
24．（2022•兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
25．（2022•安徽模拟）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）[A，ω＞0，φ∈（﹣，）]，其图像相邻两条对称轴的距离为，且f（0）＝1，f（）＝A．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（，）上的单调递增区间．
26．（2022•浙江模拟）已知函数的部分图象如图所示，且D（0，﹣1），△ABC的面积等于．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，且，求的值．
27．（2022•通州区一模）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求f（x）的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：f（x）的值域是[﹣2，2]；
条件②：f（x）在区间上单调递增；
条件③：f（x）的图象经过点（0，1）；
条件④：f（x）的图象关于直线对称．
28．（2022•襄城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+2sin2（+）﹣1（ω＞0）的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程g（x）＝在x∈[，]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m＝x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn，试求n与m的值．
29．（2022•宝坻区校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，b＝2，且sinC＝sinB+sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求边c的大小；
（Ⅲ）求的值．
30．（2022•东城区一模）已知函数f（x）＝asinωxcsωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cs2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•呼和浩特模拟）设函数f（x）＝sin（2x+）+cs（2x+），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
2．（2023•东城区校级模拟）如果函数f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
3．（2023•中卫二模）已知函数f（x）＝asinωx+csωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且f（0）+f（）＝3，为了得到函数g（x）＝sinωx﹣acsωx的图象，只要把f（x）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．（2023•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•南部县校级模拟）若sin2x、sinx分别是sinθ与csθ的等差中项和等比中项，则cs2x的值为：（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•西城区校级模拟）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数f（x）＝cs（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．[2，6）B．[2，）C．[，）D．[，6）
8．（2023•铁岭模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．D．
9．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点成中心对称
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移后关于原点成中心对称
10．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023•小店区校级模拟）已知，则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．c＜a＜b
二．多选题（共1小题）
（多选）12．（2023•潍坊二模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．
D．曲线y＝f（x）在处的切线斜率为﹣2
三．填空题（共6小题）
13．（2023•水富市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0），y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是 ．
14．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝ ．
15．（2023•常州模拟）已知函数，将f（x）的图像向右平移个单位长度后的函数g（x）的图像，若g（x）为偶函数，则函数f（x）在[0，]上的值域为 ．
16．（2023•温州模拟）若cs2α＝2cs（α），α∈（0，π），则sin2α＝ ，tanα＝ ．
17．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则ω的最小值为 ．
18．（2023•青羊区校级模拟）已知函数，，，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
四．解答题（共2小题）
19．（2023•宣威市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+csωx．
（1）若ω＝2，求函数f（x）在[0，π]上的零点；
（2）已知ω＝1，函数g（x）＝（f（x））2+cs2x，x∈[0，]，求函数g（x）的值域．
20．（2023•温州模拟）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．
考题
考点
考向
2022新高考1第6题
三角函数的性质及其应用
求值
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2022新高考2第6题
三角恒等变换
求正切值
2022新高考2第9题
三角函数的性质及其应用
求单调区间，对称轴
2021新高考1第4题
三角函数的性质及其应用
求解单调区间
2021新高考1第6题
三角恒等变换
给值求值问题
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
考点08三角函数（30种题型8个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（ ）
A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）
【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令，k∈Z．
则，k∈Z．
当k＝0时，x∈[，]，
（0，）⊆[，]，
故选：A．
【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．
2．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6，
所以|MF1|•|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号，
所以|MF1|•|MF2|的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
3．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】由周期范围求得ω的范围，由对称中心求解ω与b值，可得函数解析式，则f（）可求．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，则（ ）
A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣1
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求α﹣β，进而可求．
解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cs（α+β）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cs（α+）sinβ，
即sin（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ+sinβcs（）＝2cs（α+）sinβ，
所以sin（）csβ﹣sinβcs（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
解法二：由题意可得，sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ﹣sinαsinβ＝2（csα﹣sinα）sinβ，
即sinαcsβ﹣csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ＝0，
所以sin（α﹣β）+cs（α﹣β）＝0，
故tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（ ）
A．f（x）在区间（0，）单调递减
B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴
D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假．
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
f（x）＝sin（2x+），
求导可得，f'（x）＝，
令f'（x）＝﹣1，即，解得x＝kπ或（k∈Z），
故函数y＝f（x）在点（0，）处的切线斜率为k＝，
故切线方程为y﹣，即y＝，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
三．解答题（共2小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．
（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵＝，1+cs2B＝2cs2B≠0，csB≠0．
∴＝＝，
化为：csAcsB＝sinAsinB+sinB，
∴cs（B+A）＝sinB，
∴﹣csC＝sinB，C＝，
∴sinB＝，
∵0＜B＜，∴B＝．
（2）由（1）可得：﹣csC＝sinB＞0，∴csC＜0，C∈（，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cs2C，
＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．
∴的最小值为4﹣5．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据已知条件，以及正弦定理，可得a＝4，b＝5，c＝6，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，（2）由c＞b＞a，可推得△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，运用余弦定理可推得a2﹣2a﹣3＜0，再结合a＞0，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵2sinC＝3sinA，
∴根据正弦定理可得2c＝3a，
∵b＝a+1，c＝a+2，
∴a＝4，b＝5，c＝6，
在△ABC中，运用余弦定理可得，
∵sin2C+cs2C＝1，
∴sinC＝，
∴＝．
（2）∵c＞b＞a，
∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
＝，
∴a2﹣2a﹣3＜0，
∵a＞0，
∴0＜a＜3，
∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，
∴1＜a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝2．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
四、考点清单
一．任意角的概念
一、角的有关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．
【解题方法点拨】
角的概念注意的问题
注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
二．终边相同的角
终边相同的角：
k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．
相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}
【解题方法点拨】
终边相同的角的应用
（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
三．象限角、轴线角
在直角坐标系内讨论角
（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．
（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．
【解题方法点拨】
（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
四．弧度制
1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
五．弧长公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
六．扇形面积公式
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
七．任意角的三角函数的定义
任意角的三角函数
1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
八．三角函数线
几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．
九．三角函数的定义域
【概念】
函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．
【三角函数的定义域】
以下所有的k都属于整数．
①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．
②余弦函数：表达式为y＝csx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．
③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．
④余切函数：表达式为y＝ctx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．
⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•csx＝1．
⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．
【考点点评】
这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．
十．三角函数值的符号
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
十一．三角函数的周期性
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
十二．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数：表达式为y＝csx；
有cs（π+x）＝cs（π﹣x）＝﹣csx，cs（﹣x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝ctx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝ctx；
ct（﹣x）＝﹣ctx，ct（﹣x）＝tanx，ct（π+x）＝ctx．
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin＝cs_α，cs＝sin α．
公式六：sin＝cs_α，cs＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cs θ）2＝1±2sin θcsθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cs2θ＝cs2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
十三．运用诱导公式化简求值
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
十四．正弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
十五．正弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十六．正弦函数的奇偶性和对称性
【正弦函数的对称性】
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．
十七．余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
十八．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
十九．正切函数的图象
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
二十．正切函数的单调性和周期性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
【正切函数的周期性】
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
二十一．正切函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．
二十四．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
二十五．同角三角函数间的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二十六．两角和与差的三角函数
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
二十七．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
二十八．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
二十九．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
三十．三角函数中的恒等变换应用
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
三十一．三角函数应用
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
三十二．解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
五、题型方法
一．任意角的概念（共1小题）
（多选）1．（2023•弥勒市校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．角θ终边在第二象限或第四象限的充要条件是sinθ⋅csθ＜0
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过4小时，时针转了120°
D．若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有
【分析】对于A，由题意转化为正弦函数，余弦函数的符号，然后确定角θ的终边所在象限；
对于B，直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可；
对于C，确定每小时旋转﹣360°÷12＝﹣30°，即可得到结论；
对于D，利用终边相同的角的定义和表示方法即可求解．
【解答】解：对于A，sinθcsθ＜0⇔或⇔角θ的终边在四、二象限，故正确；
对于B，圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为，故正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是：﹣360°，其中每小时旋转：﹣360°÷12＝﹣30°，所以经过4小时应旋转﹣120°，故错误；
对于D，若角α和角β的终边关于y＝x对称，则有，故正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角函数的象限的符号，考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
二．终边相同的角（共1小题）
（多选）2．（2023•丽江一模）与﹣835°终边相同的角有（ ）
A．﹣245°B．245°C．﹣115°D．﹣475°
【分析】根据终边相同的角，相差360°的整数倍判断即可．
【解答】解：与﹣835°终边相同的角可表示为﹣835°+k×360°，k∈Z，
当k＝1时，为﹣475°；
k＝2时，为﹣115°；
k＝3时，为245°；
故选：BCD．
【点评】本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
三．象限角、轴线角（共1小题）
3．（2023•武功县校级模拟）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cs5），则点P位于第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【分析】判断出5所在的象限，再根据正余弦的符号即可判断求解．
【解答】解：因为，
所以sin5＜0，cs5＞0，
则点P在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了正余弦的象限符号，考查了学生的理解能力，属于基础题．
四．弧度制（共1小题）
4．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为 [0，]∪[，π] ．
【分析】画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，利用图象绕着原点旋转，根据函数的定义即可得出θ的取值集合．
【解答】解：画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，如图1所示：
圆弧所在圆的方程为x2+y2＝1，A（﹣，），B（，），
在图象绕原点逆时针旋转的过程中，当点A从图1的位置旋转到（﹣1，0）点时，
根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为0≤θ≤，
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在x轴下方，点A在x轴上方时，
根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为＜θ＜，不满足题意；
若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在x轴下方时，
根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为≤θ≤π；
综上知，θ的可取值集合为[0，]∪[，π]．
故答案为：[0，]∪[，π]．
【点评】本题考查了函数的定义与图象旋转的应用问题，也考查了数形结合应用问题，属于难题．
五．弧长公式（共2小题）
5．（2023•嘉兴二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径．厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ＝82.8°，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（ ）
A．35000古希腊里B．40000古希腊里
C．45000古希腊里D．50000古希腊里
【分析】利用1°圆心角所对应的弧长是即可求解．
【解答】解：设圆周长为C﹣y+1﹣m＝0，半径长为R，两地间的弧长为l，对应的圆心角为n°，
∵360°的圆心角所对应的弧长就是圆周长C＝2πR，
∴1°的圆心角所对应的弧长是，即，
于是在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的l为：，
∴．
当l为5000古希腊里，n＝90°﹣θ，即n＝7.2°时，
古希腊里．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长公式，属于基础题．
6．（2023•周至县二模）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，设OA＝r，在△ADO中，解三角形可得sin＝，又l＝rθ，联立方程即可求解．
【解答】解：由题意，如图，可得AD＝d，∠DOA＝，
设OA＝r，
则在△ADO中，sin＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得：＝，即．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
六．扇形面积公式（共2小题）
7．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π．据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设圆的半径为r，由题意可得，化简即可得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，将内解正n边形分成n个小三角形，
由内接正n边形的面积无限接近圆的面即可得：，
解得：．
故选：A．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
8．（2023•青羊区校级模拟）如图，已知在扇形OAB中，半径OA＝OB＝3，，圆O1内切于扇形OAB（圆O1和OA，OB，弧AB均相切），作圆O2与圆O1，OA，OB相切，再作圆O3与圆O2，OA，OB相切，以此类推．设圆O1，圆O2，…的面积依次为S1，S2…，那么S1+S2+⋯+Sn＝ （1﹣） ．
【分析】如图，设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知{Sn}是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设圆O1与弧AB相切于点D，
圆O1，圆O2与OA分别切于点C，E，则O1C⊥OA，O1C⊥OA，O2E⊥OA．
设圆O1，圆O2，圆O3，…，圆On的半径分别为r1，r2，r3，…，rn．
因为，所以．在Rt△OO1C中，OO1＝3﹣r1，
则，即，解得r1＝1．
在Rt△OO2E中，OO2＝3﹣r2﹣2r1，
则，即，解得．
同理可得，，
所以{rn}是以r1＝1为首项，以为公比的等比数列．
又圆的面积为S＝πr2，
所以面积S1，S2，S3，…，Sn构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积公式，属于中档题．
七．任意角的三角函数的定义（共1小题）
9．（2023•蚌埠模拟）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角α的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案．
【解答】解：由点P在单位圆上，则，解得，
由锐角，即，则，
故，
所以＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查转化能力，属于基础题．
八．三角函数线（共1小题）
10．（2023•江西模拟）若0＜α＜π，则“”是“tanα＞1”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】结合0＜α＜π，解出不等式和tanα＞1，即可判断出答案．
【解答】解：因为0＜α＜π，
所以等价于，tanα＞1等价于，
故“”是“tanα＞1”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，充分必要条件的判断，属于基础题．
九．三角函数值的符号（共1小题）
11．（2023•广西模拟）sin3+cs3的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用辅助角公式化sin3+cs3为正弦函数，再判断函数值所在的范围．
【解答】解：因为sin3+cs3＝（sin3+cs3）＝sin（3+），
且＜3＜π，所以π＜3+＜，
所以﹣＜sin（3+）＜0，
所以sin3+cs3的值所在的范围是（﹣，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的化简应用问题，是基础题．
一十．三角函数的周期性（共4小题）
12．（2023•开福区校级一模）已知函数，若存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，则函数f（x）的最小正周期为（ ）
A．B．C．2πD．4π
【分析】由题意可得出，结合1＜ω＜2，可得，再求出周期即可．
【解答】解：因为存在x1，x2∈R，当|x1﹣x2|＝2π时，f（x1）＝f（x2）＝0，
所以，即，
又因为1＜ω＜2，则k＝3，所以，
所以函数f（x）的最小正周期为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
13．（2023•商洛三模）记函数的最小正周期为T，且f（T）＝﹣1，若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，利用正弦函数的零点及周期性，可得2π≤ωπ﹣＜3π，由此求得ω的范围．
【解答】解：因为函数的最小正周期为T＝，
且f（T）＝2sin（ω×+φ）＝﹣1，所以sinφ＝﹣，所以φ＝﹣．
x∈[0，π]，则ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，
若f（x）在[0，π]上恰有3个零点，
则2π≤ωπ﹣＜3π，所以≤ω＜，
所以ω的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的零点及周期性，属于基础题．
14．（2023•江西二模）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知函数，给出下列说法：
①f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
②f（x）的最小正周期为2π；
③f（x）的值域为；
④f（x）图象的对称轴为直线．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．②③B．①④C．③D．②③④
【分析】化简函数的解析式，然后求解函数的定义域，周期，值域，对称轴，判断命题的真假即可．
【解答】解：函数＝csx+sinx＝sin（x+），其中，即x≠，
所以①不正确；
函数是周期为：2π，所以②正确；
函数的值域：；所以③正确；
x+＝kπ+．可得x＝kπ+，k∈Z，所以f（x）图象的对称轴为直线．所以④不正确；
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质的应用，两角和与差的三角函数，函数的周期性、对称性的判断，是中档题．
15．（2023•海淀区二模）已知函数，且．
（1）求a的值和f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
【分析】（1）根据代入求出a，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由正弦函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）因为，且，
所以，
解得a＝2，
所以＝
＝，
即，
所以f（x）的最小正周期；
（2）由，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以的单调递增区间为，k∈Z，
当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，
当k＝1时，f（x）的单调递增区间为，
所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为，．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
一十一．诱导公式（共1小题）
16．（2023•毕节市模拟）已知sin，则cs2θ＝ ．
【分析】结合诱导公式求解即可．
【解答】解：已知sin，
则，
则cs2θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式，属基础题．
一十二．运用诱导公式化简求值（共2小题）
17．（2023•凉州区模拟）若，则tanα＝（ ）
A．B．3C．D．﹣3
【分析】利用两角和差的余弦公式展开，再利用同角关系即可得．
【解答】解：＝＝＝，
∴tanα＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和差公式，同角关系，属于基础题．
18．（2023•韶关二模）已知锐角α满足，则sin（π﹣α）＝ ．
【分析】利用二倍角的正切公式化简已知等式可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，解方程可求tanα的值，利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为锐角α满足tan2α＝＝，整理可得2tan2α﹣3tanα﹣2＝0，
所以tanα＝＝2或﹣（舍去），
可得csα＝sinα，
所以sin2α+cs2α＝sin2α+（sinα）2＝1，解得sinα＝，
则sin（π﹣α）＝sinα＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式，同角三角函数基本关系式以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
一十三．正弦函数的图象（共2小题）
19．（2023•诸暨市模拟）已知函数在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理．
【解答】解：因为ω＞0，所以当0＜x＜时，有＜ωx+＜ω+，
因为f（x）在区间（0，）内恰有一个极值，
结合y＝sinx的性质，＜ω+≤，解得＜ω≤，
所以ω的取值范围为（，]．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题．
20．（2023•惠州一模）函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若，则xn的值可以是 （答案不唯一） ．（写出符合条件的一个值即可）
【分析】根据零点的距离求出周期T，从而求出ω的值，再利用正弦函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意得：T＝2•＝π，故ω＝＝2，
故f（x）＝sin（2x+），
故x1＝﹣+＝，
x2＝+，
x3＝2•+，•••••．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题．
一十四．正弦函数的单调性（共2小题）
21．（2023•河北模拟）已知函数在区间上不单调，则ω的最小正整数值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性，得出结论．
【解答】解：＝＝
＝＝，
由ω＞0，若，有，
当ω为正整数时，f（x）在区间上不单调，则有，解得ω＞1，
则ω的最小正整数值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．
22．（2023•长沙模拟）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 ．
【分析】根据正弦函数的性质和对称轴的几何意义求解．
【解答】解：函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））一条对称轴为，
∴，∴，
y＝sin（ωx+φ）的对称轴可以表示为，
令k＝k2﹣k1，则在上单调，
则∃k∈Z，使得解得，由，得k≤3，
当k＝3时，ω取得最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦函数的性质，属于中档题．
一十五．正弦函数的奇偶性和对称性（共2小题）
23．（2023•攀枝花三模）已知函数对任意都有，则当ω取到最大值时，f（x）图象的一条对称轴为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出ω的范围，进而得到ω的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案．
【解答】解：∵，ω＞0，∴，∵，∴，∴，所以ω的最大值为，
当时，，令，
解得，
当k＝0时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型三角函数的图象与性质，属于中档题．
24．（2023•安徽三模）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．|f（x）|的最小正周期为2π
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递增
D．若f（x）在区间上的最大值为1，则
【分析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数＝sinx+csx＝sin（x+），
∴|f（x）|的最小正周期为×2π＝π，故A错误；
令x＝﹣，求得f（x）＝﹣≠±1，可得直线x＝﹣不是f（x）图象的一条对称轴，故B错误；
当x∈（0，）时，x+∈（，），函数f（x）不单调，故C错误；
若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为1，x+∈[﹣，m+]，
可得m+≥，求得m≥，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
一十六．余弦函数的图象（共1小题）
25．（2023•宁德模拟）已知函数，射线y＝﹣2（x≥0）与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{xn}，且，则f（5）＝ ﹣1 ．
【分析】根据给定条件，求出函数f（x）的解析式，再代值计算作答．
【解答】解：因为，则数列{xn}是等差数列，公差为4，且，
因此A＝2，函数f（x）的周期是4，即，解得，又，
即有，解得，于是，
所以．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
一十七．余弦函数的单调性（共1小题）
26．（2023•白山三模）已知函数，则f（x）在[﹣2，0]上（ ）
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
【分析】x∈[﹣2，0]⇒2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，利用余弦函数的性质可求得答案．
【解答】解：∵x∈[﹣2，0]，
∴2x﹣∈[﹣4﹣，﹣]，
∵﹣＜﹣4﹣＜﹣π＜﹣＜0，
∴函数在[﹣2，0]上先减后增，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中等题．
一十八．正切函数的图象（共1小题）
27．（2023•全国二模）函数y＝2csx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．
【解答】解：函数y＝2csx（0＜x＜π）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，
由2csx＝3tanx，可得2cs2＝3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx＝，或sinx＝﹣2（舍去），结合0＜x＜π，
∴x＝，或 x＝．
∴A（，）、B（，﹣）．
根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于•QC•|yA|+OC•|yC|＝•OC•|yA﹣yC|＝••2＝π，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象，用分割法求三角形的面积，属于中档题．
一十九．正切函数的单调性和周期性（共1小题）
28．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝，周期T∈（，），（，0）是f（x）的对称中心，则f（）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，根据f（0）＝求得φ值，利用正切函数的周期性，求得ω范围，再根据正切函数的图象的对称性，求得ω值，可得f（x）的解析式，从而得到f（）的值．
【解答】解：∵f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），f（0）＝2tanφ＝，
∴tanφ＝，∴φ＝，f（x）＝2tan（ωx+）．
∵周期T＝∈（，），∴＜ω＜4．
再根据（，0）是f（x）的对称中心，可得+＝，k∈Z，即ω＝3k﹣1，
∴ω＝2，f（x）＝2tan（2•x+），
则f（）＝2tan＝﹣2tan＝﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．
二十．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）
29．（2023•石家庄模拟）曲线f（x）＝（csx≠0）的一个对称中心为 （﹣，0） （答案不唯一）．
【分析】法一：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案；
法二：根据题意得定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，利用辅助角公式可得f（x）＝＝﹣tan（x+），根据正切函数的图象与性质可得答案．
【解答】解：法一：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，且csx≠0，
∴f（x）＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，故其中一个对称中心为（﹣，0）；
法二：定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，
f（x）＝＝＝﹣tan（x+），
∴由x+＝，k∈Z，解得x＝﹣+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（﹣+，0），k∈Z，
∴当k＝0时，则x＝﹣，
故其中一个对称中心为（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查三角函数的化简及性质，考查数学运算、直观想象等核心素养，属于中档题．
二十一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）
30．（2023•曲靖模拟）已知函数，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的部分图象如图所示，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据平移后得到函数g（x）的解析式，再根据图象求函数的解析式，即可求值．
【解答】解：平移不改变振幅和周期，所以由图象可知A＝1，，
解得ω＝2，
函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得，
当时，，且，
得
所以，．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质及函数图象的平移，属于基础题．
31．（2023•南通模拟）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．
（1）若ω＝2，求函数y＝g（x）在区间上的最大值；
（2）若函数y＝g（x）在区间上没有零点，求ω的取值范围．
【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由y＝g（x）单调性可得最值情况；
（2）由（1）结合题意可知，k∈Z．后由可进一步确认k大致范围，后可得答案．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：y＝，
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为y＝，
则，
当时，，
因函数y＝sinx在上单调递减，在上单调递增，
，，
∴，
∴y＝g（x）在区间上的最大值为；
（2），当时，，
要使g（x）在上无零点，则，k∈Z．
，k∈Z，ω＞0，，
当k＝0时，；当k＝﹣1时，，
当k≤﹣2时，ω＜0舍去．
综上：ω的取值范围为．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
32．（2023•辽宁模拟）将函数的图像向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在①②③b＝1三个条件中任选两个，补充到以下问题中，并完成解答．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三条边，，_____，_____．求△ABC的面积S△ABC．
【分析】（1）根据三角函数图象变换，先求出f（x）＝sin2x，求h（x）值域时，结合sinx﹣csx，与sin2x的关系，换元转化可得值域．
（2）利用正弦定理或余弦定理先解三角形，再用面积公式可得．
【解答】解：（1）f（x）的图像向左平移个单位得，
再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，
即，
又∵，
故ω＝2，，则φ＝0，
故f（x）＝sin2x，
∴，
设，∵，∴，t∈（0，1），
∵t2＝1﹣sin2x，∴，
又∵y在t∈（0，1）上单调递增，则y∈（1，+∞），∴h（x）的值域为（1，+∞）．
（2）∵且A∈（0，π），∴，
选①②：，，∵A∈（0，π），B∈（0，π），
∴，，，，
则，
．
选①③：，b＝1，∵A∈（0，π），B∈（0，π），
∴，，，，
，
．
选②③：，b＝1，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，得，
∴c2﹣c﹣2＝0，则c＝2或c＝﹣1（舍），
．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正余弦定理的应用，三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
33．（2023•温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中ω为正整数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数的单调区间．
【分析】（1）求出角的范围，利用3个零点条件建立不等式进行求解即可．
（2）根据图象平移关系求出g（x），求出F（x）的解析式，利用正切函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵ω＞0，∴当x∈时，ωx﹣∈[﹣，﹣]，
∵f（x）＝0恰好有3个零点，则2π≤﹣＜3π，得≤ω＜，
∵ω为正整数．∴ω＝2．
当ω＝2时，f（x）＝sin（2x﹣）．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，
即g（x）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），
则＝＝﹣＝﹣tan（2x+），
由kπ﹣＜2x+＜kπ+，k∈Z，得﹣＜x＜+，k∈Z，
即F（x）的单调递减区间为（﹣，+），k∈Z，无递增区间．
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题．
二十二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）
34．（2023•全国三模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，同时满足，若函数g（x）＝f（x）﹣1在区间（0，λ）上共有8个零点，则这8个零点之和为 15π ．
【分析】根据题意得出函数的对称轴和周期，进而求出函数的解析式，然后根据正弦函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题图知，由知，函数f（x）的图象关于直线对称，
则由图象可知，解得，
又，所以，所以K＝1，最小正周期T＝π，所以ω＝，
所以，因为函数f（x）的图象经过点，
所以，解得，
又，所以，所以，
设方程f（x）＝1在（0，λ）上的8个根从小到大依次为x1，x2，⋯，x8，
令，则，根据f（x）的图象的对称性，可得，
由f（x）的周期性可得：
，
所以．
故答案为：15π．
【点评】本题考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
二十三．三角函数的最值（共1小题）
35．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝2sinxcsx+4cs2x﹣1，若实数a、b、c使得af（x）﹣bf（x+c）＝3对任意的实数x恒成立，则2a+b﹣csc的值为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】化简得，其中，然后由af（x）﹣bf（x+c）＝3根据两角和的正弦公式可得出，该式对任意实数x恒成立，从而得出，解出a，b，csc即可得出2a+b﹣csc的值．
【解答】解：f（x）＝sin2x+2（1+cs2x）﹣1＝，其中tanθ＝2，，
∴由af（x）﹣bf（x+c）＝3得，，
∴，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b＝0，则a＝0，由③得﹣3＝0，∴b≠0，由②得sinc＝0，
若csc＝1，由①得a﹣b＝0，与③矛盾，∴csc＝﹣1，∴，解得，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了辅助角公式，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）
36．（2023•芜湖模拟）已知，则sinα＝ ．
【分析】把所求的式子的分母1变换为+，分子二倍角的正弦函数公式化简，然后分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到关于的关系式，把的值代入即可求出值．
【解答】解：∵，
∴sinα＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于基础题．
二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）
37．（2023•湖北模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到，
然后利用已知条件得到，并求出sinx和csx的值，代入所求式子即可求解．
【解答】解：由可得，
则有，平方可得，则，
因为，所以sinx﹣csx＞0，
则，
所以，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
38．（2023•河北模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换可得，进而可求结果；
（2）根据锐角三角形可得＜B＜，根据三角恒等变换可得＝，分类讨论，结合正切函数分析运算可得的取值范围．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，
则，
整理得，注意到，则snC≠0，可得，即，
所以tan＝tan＝tan（﹣）＝＝＝2﹣．
（2）因为A＝，则C＝﹣B，
且△ABC为锐角三角形，则，解得＜B＜，
又因为＝＝＝＝，
当＜B＜时，则＜B+＜，则cs（B+）≠0，tan（B+）＞，
所以＝∈（0，）；
当B＝时，则B+＝，则cs（B+）＝0，
所以＝0；
当＜B＜时，则＜B+＜，则cs（B+）≠0，tan（B+）＜﹣，
所以＝∈（﹣，0）；
综上所述：的取值范围为（﹣，）．
【点评】本题考查正余弦定理，考查三角恒等变换，属中档题．
39．（2023•西城区二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）+cs2x，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f（x）存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）当时，若曲线y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点，求m的取值范围．
条件①：；
条件②：是f（x）的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】先利用三角函数的运算求出φ，再利用辅助角公式，画出函数图象，即可求出m的范围
【解答】解：（Ⅰ）选①时，f（）＝sin（+φ）+cs（）＝﹣1，即sin（+φ）＝﹣1﹣cs（）＝﹣1﹣＝﹣，
sin（+φ）最小值是﹣1，故选条件①时，f（x）不存在；
选②时，f（）＝sin（+φ）+cs（﹣）＝0，
即sin（﹣+φ）＝﹣cs（﹣）＝﹣，
所以﹣+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，或﹣+φ＝+2kπ，k∈Z．
即φ＝﹣+2kπ，k∈Z，或φ＝+2kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝﹣；
选③时，f（0）＝sinφ+cs0＝sinφ+1，f（）＝sin（+φ）+cs＝sin（+φ）﹣．
即sinφ+1＝sin（+φ）﹣，
即sinφ+1＝csφ﹣sinφ﹣，
整理得sinφ﹣csφ＝，
利用辅助角公式得sin（φ﹣）＝﹣，即sin（φ﹣）＝﹣，由选②同理可知φ＝﹣；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知φ＝﹣，则f（x）＝sin（2x﹣）+cs2x＝sin2x﹣cs2x+cs2x＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
此时画出f（x）在上的图象，如下所示：
由y＝f（x）与直线y＝m恰有一个公共点可知m∈[﹣，）或m＝1．
【点评】本题考查三角函数的和差角公式，辅助角公式，第二题结合函数图象，难度不大，属于中档题．
二十六．二倍角的三角函数（共1小题）
40．（2023•惠州一模）若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】切化弦，结合sin2α+cs2α＝1得出，然后根据诱导公式及二倍角公式求解．
【解答】解：因为，所以，即3sinα﹣sin2α＝cs2α，
所以3sinα＝sin2α+cs2α＝1，即，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
二十七．半角的三角函数（共1小题）
41．（2023•江西模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【分析】将表达式 中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．
【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 .，
∴
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，还要注意条件中的角α与待求式中角 的差别，注意转化思想的应用．
二十八．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
42．（2023•南关区校级模拟）已知，则＝ ．
【分析】由两角和的余弦公式，结合二倍角公式求解即可．
【解答】解：已知，
则，
即，
即，
即，
则＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和的余弦公式，重点考查了二倍角公式，属基础题．
二十九．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
43．（2023•山东模拟）已知函数，则（ ）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．为f（x）的一个周期
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递增
【分析】先利用二倍角公式化简函数，然后利用对称和周期的概念判断AB，利用辅助角和函数的有界性求函数值域判断C，利用导数法求函数的单调区间判断D．
【解答】解：，
所以＝＝，
故f（x）的图象不关于直线对称，故A错误；
＝＝，
故不是f（x）的周期，故B错误；
设，则，其中tanφ＝k，
所以，由|sin（2x﹣φ）|≤1得，解得，
所以，即f（x）的值域为，故C正确；
因为，所以，
令f′（x）≤0，得，所以，
所以，故f（x）在上单调递减，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查转化能力，属于中档题．
三十．三角函数应用（共2小题）
44．（2023•广东二模）已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ）
A．5分钟B．10分钟C．15分钟D．20分钟
【分析】求出游客到地面的距离为ym关于转动时间t（单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式y＞100，可得出结果．
【解答】解：设游客到地面的距离为ym，y关于转动时间t（单位：分钟）的函数关系式为y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0），
则A＝60，﹣A+b＝10，可得b＝70，
函数y＝Asin（ωt+φ）+b的最小正周期为T＝30，则，
当t＝0时，游客位于最低点，可取，
所以，，
由y＞100，即，可得，
所以，，解得30k+10＜t＜30k+20（k∈N），
因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
45．（2023•贵州模拟）函数在[﹣，]上零点的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】通过求解三角方程，推出x的解，结合x的范围，求解方程解的个数，可得结论．
【解答】解：函数＝0，可得2sin（4x﹣）＝﹣，可得4x﹣＝2kπ﹣或4x﹣＝2kπ，k∈Z，
可得x＝，或x＝，k∈Z，
因为x∈[﹣，]，所以，x＝，可得x＝﹣，0，；x＝，k∈Z，可得x＝﹣，，
故函数在[﹣，]上零点的个数为5，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，正弦函数的图象，属于中档题．
六、易错分析
易错1：忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cs α等于( )
A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13)
【错解】选D，因为，又sin α＝eq \f(5,13)，∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(12,13).
【错因】没有注意条件α是第二象限角，
【正解】选A ∵α是第二象限角，则cs α>0，∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13).
2．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为________．
【错解】∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18)，∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
∴sin θ－cs θ＝eq \f(\r(2),3). 答案：eq \f(\r(2),3)
【错因】没有注意由条件θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))可得sin θ【正解】∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18)，∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，∴sin θ3．已知θ∈(0，π)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)，则sin θ＋cs θ＝________.
【错解】由题知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)⇒tan θ＝eq \f(1,7)，又因为θ∈(0，π)，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)＝\f(1,7)，,cs2θ＋sin2θ＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),10)，,cs θ＝\f(7\r(2),10)，))或，
所以sin θ＋cs θ＝eq \f(4\r(2),5)或 答案：eq \f(4\r(2),5)或
【错因】没有注意由tan θ＝eq \f(1,7)>0可以缩小角的范围，即可推出θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
【正解】由题知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,3)＝eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)⇒tan θ＝eq \f(1,7)，又因为θ∈(0，π)，且tan θ>0，所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)＝\f(1,7)，,cs2θ＋sin2θ＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(2),10)，,cs θ＝\f(7\r(2),10)，))所以sin θ＋cs θ＝eq \f(8\r(2),10)＝eq \f(4\r(2),5). 答案：eq \f(4\r(2),5)
4．在△ABC中，若C＝3B，则eq \f(c,b)的取值范围为( )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，3)
【错解】选A 由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sinB＋2B,sin B)＝eq \f(sin B·cs 2B＋cs B·sin 2B,sin B)
＝cs 2B＋2cs2B＝4cs2B－1.又0＜B＜180°，∴cs2B1，又eq \f(c,b)>0，∴0＜eq \f(c,b)＜3.
【错因】忽略了A＋B＋C＝180°及条件C＝3B，
【正解】选B 由正弦定理可得，eq \f(c,b)＝eq \f(sin C,sin B)＝eq \f(sin 3B,sin B)＝eq \f(sinB＋2B,sin B)＝eq \f(sin B·cs 2B＋cs B·sin 2B,sin B)
＝cs 2B＋2cs2B＝4cs2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B，
∴0°＜B＜45°，∴eq \f(\r(2),2)＜cs B＜1，∴1＜4cs2B－1＜3，即1＜eq \f(c,b)＜3.
易错2：对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2eq \r(sin 8＋1)＋eq \r(2cs 8＋2)＝( )
A．4cs 4 B．－2sin 4－4cs 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cs 4
【错解】选D 原式＝2eq \r(1＋2sin 4cs 4)＋eq \r(4cs24)＝2eq \r(sin24＋cs24＋2sin 4cs 4)＋2cs 4
＝2sin 4＋2cs 4＋2cs 4=2sin 4＋4cs 4.
【错因】开方时没有考虑2cs 4、sin 4＋cs 4的正负，
【正解】选B 原式＝2eq \r(1＋2sin 4cs 4)＋eq \r(4cs24)＝2eq \r(sin24＋cs24＋2sin 4cs 4)＋2|cs 4|
＝2|sin 4＋cs 4|＋2|cs 4|，∵π＜4＜eq \f(3π,2)，∴sin 4＋cs 4＜0，cs 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cs 4)－2cs 4＝－2sin 4－4cs 4.
6．若eq \f(3π,2)<θA．sineq \f(θ,4) B．cseq \f(θ,4)
C．－sineq \f(θ,4) D．－cseq \f(θ,4)
【错解】选B 由二倍角公式得 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ)＝ eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝ eq \r(cs2\f(θ,2))＝cseq \f(θ,2)，
∴ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ))＝ ＝cseq \f(θ,4)
【错因】没有用eq \f(3π,2)<θ【正解】选A ∵eq \f(3π,2)<θ0，cseq \f(θ,2)<0，sineq \f(θ,4)>0，
∴ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ)＝ eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝ eq \r(cs2\f(θ,2))＝－cseq \f(θ,2)，
∴ eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs θ))＝ eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝eq \r(sin2\f(θ,4))＝sineq \f(θ,4).
易错3：三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移eq \f(π,6)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(π,6)个单位 D．向左平移eq \f(π,3)个单位
【错解】选B 根据左加右减可知，为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位．
【错因】图象左右平移针对的是自变量x,
【正解】选A ∵函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))))，∴为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位．
8．要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将y＝sineq \f(1,2)x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,3)个单位 B．向右平移eq \f(π,3)个单位
C．向左平移eq \f(4π,3)个单位 D．向右平移eq \f(4π,3)个单位
【错解】选A 因为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝，故要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将函数y＝sineq \f(1,2)x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位．
【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，
【正解】选C y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)＋eq \f(π,2)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))))，故要得到y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，只需将函数y＝sineq \f(1,2)x的图象向左平移eq \f(4π,3)个单位．
易错4：涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角．
【错解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α则eq \f(α,2)是第一象限角．答案：一
【错因】没有对k分情况讨论，
【正解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
综上，eq \f(α,2)是第一或第三象限角．答案：一或三
10．(忽视对k的讨论)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
【错解】A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2. 答案：{2}
【错因】没有对k分情况讨论，
【正解】当k为奇数时：A＝eq \f(－sin α,sin α)－eq \f(cs α,cs α)＝－2.当k为偶数时：A＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2.
答案：{－2,2}
易错5：含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α＝________.
【错解】易知OP＝eq \r(－4m2＋3m2)＝5m，则sin α＝，cs α＝.
故2sin α＋cs α＝eq \f(2,5). 答案：eq \f(2,5)
【错因】没有对参数m分情况讨论，
【正解】易知OP＝eq \r(－4m2＋3m2)＝5|m|，则sin α＝eq \f(3m,5|m|)，cs α＝eq \f(－4m,5|m|).
当m>0时，sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，2sin α＋cs α＝eq \f(2,5)；
当m<0时，sin α＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，∴2sin α＋cs α＝－eq \f(2,5).
故2sin α＋cs α＝±eq \f(2,5). 答案：±eq \f(2,5)
易错6：三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间为________．
【错解】要求f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间，只需令－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(π,6)－x≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
可得＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间为
＋2kπ，eq \f(2π,3)＋2kπ] (k∈Z). 答案：＋2kπ，eq \f(2π,3)＋2kπ] (k∈Z).
【错因】没有注意自变量x的系数是负数，
【正解】因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，所以要求f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间，
只需要求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间．令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，
可得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))
(k∈Z)，此即为函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间． 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ，\f(5π,3)＋2kπ))(k∈Z)
易错7：判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【错解】选A 因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B，解得A＝B，所以△ABC是等腰三角形．
【错因】sin 2A＝sin 2B时，有两种可能：2A＝2B或2A＝π－2B，
【正解】选D 因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，解得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC是等腰或直角三角形．
易错8：忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是____．
【错解】∵函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1>0，,9－x2≥0，))∴，∴x∈，
∴函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为. 答案：
【错因】没有考虑的定义域，
【正解】∵函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan x－1))＋eq \r(9－x2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1>0，,9－x2≥0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)∴函数y＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
七、刷常考
一．选择题（共15小题）
1．（2023•宜春二模）函数的图象（0＜ω＜4）关于直线对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后与函数y＝g（x）图象重合，下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）图象关于直线对称
B．函数g（x）图象关于点对称
C．函数g（x）在单调递减
D．函数g（x）最小正周期为
【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得g（x），然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．
【解答】解：由已知，ω＝6k+2，k∈Z，
又0＜ω＜4，
∴ω＝2，
，
，A错；
，B错；
时，，C正确；
g（x）的最小正周期是，D错．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
2．（2023•潮州二模）若，则＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出tanα，再由两角和的正切公式计算可得．
【解答】解：因为，
所以，解得tanα＝2，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系以及和角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2023•江西模拟）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授．新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去．这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染、受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【分析】利用三角恒等变换化简得到答案．
【解答】解：＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于基础题．
4．（2023•重庆模拟）中国折扇有着深厚的文化底蕴．用黄金分割比例设计一把富有美感的纸扇，如图所示，在设计折扇的圆心角θ时，可把折扇考虑为从一圆形（半径为r）分割出来的扇形，使扇形的面积S1与圆的面积的乘积等于剩余面积S2的平方．则扇形的圆心角θ为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据条件可得出：，然后解出θ的值即可．
【解答】解：根据题意得：，解得或（舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的求法，圆的面积公式，扇形圆心角的范围，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2023•雅安模拟）已知实数a，b满足lg2a＜lg2b＜0，则下列各项中一定成立的是（ ）
A．B．sin2a＜sin2b
C．lgae＜lgbeD．ab＜ba
【分析】由lg2a＜lg2b＜0，可得0＜a＜b＜1，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断D．
【解答】解：因为lg2a＜lg2b＜0，所以0＜a＜b＜1，
则，故A错误；
当时，，所以sin2a＞sin2b，故B错误；
因为0＜a＜b＜1，所以lna＜lnb＜0，
所以，即lgae＞lgbe，故C错误；
因为0＜a＜b＜1，所以ab＜bb，bb＜ba，即ab＜ba，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了正弦函数、对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．
6．（2023•榆林二模）已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由正弦函数的单调性可得且，求解即可．
【解答】解：当时，，
因为y＝sinx在上单调递增，
所以，解得；
当时，，
因为y＝sinx在上单调递减，
则，解得．
综上，a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2023•商丘模拟）已知tanθ＝﹣3，则sin2θ﹣cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．
【解答】解：因为tanθ＝﹣3，
所以
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．
8．（2023•广西模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据求出，，再根据＝可求出结果．
【解答】解：因为，
所以＝＝＝，＝＝，
所以＝＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
9．（2023•新城区校级一模）若，则＝（ ）
A．3B．C．2D．4
【分析】根据正切两角差公式，凑角得tanθ的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含tanθ的式子，代入求值即可．
【解答】解：因为，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角差的正切公式及同角基本关系，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
10．（2023•南通一模）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用和差角及辅助角公式进行化简，然后结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以＝，
所以sin（）＝，
则＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
11．（2023•郑州模拟）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由余弦的两角和与差公式，以及余弦的二倍角公式化简求值即可．
【解答】解：cs2（x﹣）+cs2（x+）
＝（csxcs+sinxsin）2+（csxcs﹣sinxsin）2
＝（csx+sinx）2+（csx﹣sinx）2
＝cs2x+sinxcsx+sin2x+cs2x﹣sinxcsx+sin2x
＝cs2x+sin2x
＝+cs2x
＝+
＝1+×（﹣）
＝．
故选：B．
【点评】本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦的两角和与差公式，考查学生计算能力，属于基础题．
12．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）
A．ωB．φC．D．Asinφ
【分析】令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，找到零点的关系，观察可得．
【解答】解：令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，
根据“五点法”可得：ωx1+φ＝2k1π，k1∈Z，
ωx2+φ＝2k2π+π，k2∈Z，
则ωx1＝2k1π﹣φ，k1∈Z，ωx2＝2k2π+π﹣φ，k2∈Z，
则＝，k1，k2∈Z，设＝m（m为常数），
则φ＝，k∈Z，再根据﹣＜φ＜0确定φ的取值．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象，属于中档题．
13．（2023•玉林三模）已知函数f（x）＝2sinx+4csx在x＝φ处取得最大值，则csφ＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】先利用三角函数的恒等变换变形成余弦型函数，求解即可．
【解答】解：f（x）＝2sinx+4csx＝2（sinx+csx）＝2cs（x﹣φ），其中csφ＝，sinφ＝，
∵函数f（x）＝2sinx+4csx在x＝φ处取得最大值2，
∴csφ＝，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，余弦型函数性质的应用，属于中档题．
14．（2023•润州区校级二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（2，4]B．C．D．
【分析】根据函数的零点和单调性求出2＜ω≤4，从而可得根据函数在上单调，即可求ω的取值范围．
【解答】解：，
因为f（x）在上存在零点，
所以，解得ω＞2．
又f（x）在上单调，
所以，即，解得0＜ω≤4，则2＜ω≤4，
则则解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
15．（2023•重庆模拟）某钟表的秒针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项．
【解答】解：由已知函数d（t）的定义域为[0，+∞），周期为60s，且t＝30（s）时，d＝10（cm），
对于A，函数周期为，故A错误；
对于B，函数周期为，故B错误；
对于C，，
所以函数，故C正确；
对于D，当t＝30时，d＝0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数解析式，考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）16．（2023•新乡三模）已知函数f（x）＝cs（ωx+φ）（0＜ω＜10，0＜φ＜π）图象的一个对称中心是，点在f（x）的图象上，则（ ）
A．
B．直线是f（x）图象的一条对称轴
C．f（x）在上单调递减
D．是奇函数
【分析】由可得，对称中心，即可求得ω＝2，从而得到函数f（x）的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可．
【解答】解：因为点在f（x）的图象上，
所以．又0＜φ＜π，
所以，
因为f（x）图象的一个对称中心是，
所以，则ω＝2+8k，k∈Z，
又0＜ω＜10，所以ω＝2，则，A正确；
，则直线不是f（x）图象的一条对称轴，B不正确；
当时，，单调递减，C正确；
，是奇函数，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
（多选）17．（2023•日照模拟）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于点对称
B．f（x）在区间的最小值为
C．为偶函数
D．f（x）的图象向右平个单位后得到y＝sin2x的图象
【分析】由图象可求得f（x）的解析式，对于A：验证是否为f（x）的零点；对于B先求出的范围再求f（x）的值域；对于C，求出的解析式判断奇偶性；对于D：根据图象的平移求出平移后的解析式判断．
【解答】解：f（x）＝sin（2ωx+φ），由图象可知，即，又，所以，
由五点作图法可得，解得ω＝2，所以，
对于A：，所以f（x）的图象关于对称，故A错误；
对于B：当时，，
∴，即f（x）在区间上的最小值为，故B正确；
对于C：，为偶函数，故C正确．
对于D：f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
（多选）18．（2023•清新区模拟）已知A（csα，sinα），B（csβ，sinβ），M（csγ，sinγ）是单位圆上的三点，满足，0＜γ＜2π，且，其中λ为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则B．若λ＝1，则
C．D．
【分析】将两边平方，化简运算可得，再讨论和λ＝1时，cs（β﹣α）的取值，即可判断A和B；通过计算和，可证二者相等，从而得cs（α﹣γ）＝cs（β﹣γ），进而知（α﹣γ）+（β﹣γ）＝0或﹣2π，可判断选项C和D．
【解答】解：因为，所以，
所以1＝λ2[1+2（csαcsβ+sinαsinβ）+1]，即，
若，则cs（β﹣α）＝0，
因为，所以β﹣α＝，即，故A正确；
若λ＝1，则，
因为，所以β﹣α＝，即，故B正确；
由，得，
所以，
所以csαcsγ+sinαsinγ＝csβcsγ+sinβsinγ，即cs（α﹣γ）＝cs（β﹣γ），
因为，0＜γ＜2π，
所以（α﹣γ）+（β﹣γ）＝0或﹣2π，即或，所以选项C，D不一定正确．
故选：AB．
【点评】本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握平面向量的运算法则，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
19．（2022•新疆模拟）已知α∈（0，π），，则＝ ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而利用二倍角公式，诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：因为α∈（0，π），，
所以sinα＝＝，
则＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
20．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝ ．
【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得α+β的值．
【解答】解：∵函数，
∴，
∵（α≠β），
则由正弦函数的对称性可得，
所以，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
21．（2023•新乡模拟）已知函数f（x）＝2sinx+csx，若∃θ∈R，∀x∈R，f（x）≤f（θ），则tan2θ的值为 ．
【分析】根据辅助角公式得到，求出，从而得到，k∈Z，结合诱导公式，同角三角函数关系及正切二倍角公式求出答案．
【解答】解：根据题意，，
因为∃θ∈R，∀x∈R，f（x）≤f（θ），所以，
所以，k∈Z，
所以csθ＝sinφ，sinθ＝csφ，
所以，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了辅助角公式和二倍角公式的应用，考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
22．（2022•城厢区校级模拟）已知角，tan＝，则α＝ ．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin＝sin（α﹣），进而根据范围，即可求解．
【解答】解：因为tan＝＝，
所以sin（csα+cs）＝cs（sinα﹣sin），
所以sincsα+sincs＝cssinα﹣cssin，
所以sincs+cssin＝cssinα﹣sincsα，
所以sin＝sin（α﹣），
因为，
所以α﹣∈（﹣，），
所以＝α﹣，则α＝+＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
23．（2022•德州模拟）已知三棱锥P﹣ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 ．
【分析】将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可．
【解答】解：将三棱锥P﹣ABC补全为棱长为的正方体，
如下图所示，
若AD＝AF＝2，则PD＝PF＝4，
即D，F在P为球心，4为半径的球面上，且O为底面中心，
又OA＝，OP＝，
所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，弧长为π，
面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
面PBC与球面所成弧以P为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为，
综上所述，最长弧的弧长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题．
24．（2022•兴化市模拟）已知函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）+f（x2）＝2A，则实数ω的取值范围是 [，]∪[，+∞） ．
【分析】由题意，利用正弦函数的最大值以及周期性，可得[π，2π]至少包含一个周期，即≤2π﹣π，由此求得实数ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，
使得f（x1）+f（x2）＝2A，
即至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f（x1）＝f（x2）＝A．
∵ωx∈[ωπ，2ωπ]，∴2kπ+∈[ωπ，2ωπ]，2kπ+2π+∈[ωπ，2ωπ]，
即 ①．
当k＝0时，由不等式组①可得，ω无解；
当k＝1时，由不等式组①可得，≤ω≤；
当k＝2时，由不等式组①可得，≤ω≤；
当k＝3时，由不等式组①可得，≤ω≤；
由于当k≥3时，k+≤2（k﹣1）+成立，即（k≥成立），
故k＝2和k＝3的解集有交集，k＝3和k＝4的解集有交集，k＝4和k＝5的解集有交集，•••，
故ω的范围为[，]∪[，+∞）．
故答案为：[，]∪[，+∞）．
【点评】本题主要考查正弦函数的最大值以及周期性，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
25．（2022•安徽模拟）已知f（x）＝Asin（ωx+φ）[A，ω＞0，φ∈（﹣，）]，其图像相邻两条对称轴的距离为，且f（0）＝1，f（）＝A．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（，）上的单调递增区间．
【分析】（Ⅰ）由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω的值，由f（）＝A，可得sin（+φ）＝1，结合范围φ∈（﹣，），可求φ的值，又f（0）＝Asinφ＝1，可求A的值，即可得解函数解析式．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得＝，
则T＝π＝，
则ω＝2，
因为f（）＝Asin（+φ）＝A，
则sin（+φ）＝1，可得+φ＝2kπ+，k∈Z，
又φ∈（﹣，），
所以φ＝，
又f（0）＝Asinφ＝1，
则A＝2，
故f（x）＝2sin（2x+）．
（Ⅱ）因为x∈（，），
所以2x+∈（，），
令2x+∈（，），
解得x∈（，），
可得函数f（x）在区间（，）上的单调递增区间为（，）．
【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式和正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．
26．（2022•浙江模拟）已知函数的部分图象如图所示，且D（0，﹣1），△ABC的面积等于．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若，且，求的值．
【分析】（Ⅰ）先由图象确定解析式，再根据三角图像性质求单调单调区间；
（Ⅱ）先由已知得整体角“”的正弦、余弦值，再将未知角转化成“”，最后通过两角和的正弦公式求解．
【解答】解：由图知振幅A＝2，又，∴T＝π，∴，∴f（x）＝2sin（2x+φ），
又D为（0，﹣1），∴f（0）＝2sinφ＝﹣1，∴sinφ＝，又，∴φ＝，∴，
（Ⅰ）令，k∈Z，∴，k∈Z，
∴函数y＝f（x）的单调递减区间为：，k∈Z．
（Ⅱ）∵，∴，又，∴，又，
∴，∴＝，
∴＝＝，
【点评】本题考查图象确定解析式，三角图像性质，两角和的正弦公式，化归转化思想，属中档题．
27．（2022•通州区一模）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）从下面四个条件中选择两个作为已知，求f（x）的解析式，并求其在区间上的最大值和最小值．
条件①：f（x）的值域是[﹣2，2]；
条件②：f（x）在区间上单调递增；
条件③：f（x）的图象经过点（0，1）；
条件④：f（x）的图象关于直线对称．
【分析】（1）由周期可得ω；
（2）由①中确定 A，由③得出 A，φ 的关系式，由④可确定 φ，条件②不能得出确定的值，f（x） 在区间 上单调递 增，没有说 就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：①③；①④；③④分别求解．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以ω＝2．
（Ⅱ）方案一：
选择①，③
因为f（x）的值域是[﹣2，2]，
所以A＝2．
所以f（x）＝2sin（2x+φ）．
因为f（x）的图象经过点（0，1），
所以2sinφ＝1，
即．
又，所以．
所以f（x）的解析式为．
因为，
所以．
当，
即时，f（x）取得最小值；
当，即时，f（x）取得最大值．
方案二：
选择条件①，④
因为f（x）的值域是[﹣2，2]，
所以A＝2．
所以f（x）＝2sin（2x+φ）．
因为f（x）的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，所以．
所以f（x）的解析式为．
以下同方案一．
方案三：
选择条件③，④
因为f（x）的图象关于直线对称，
所以，
所以．
又，
所以．
因为f（x）的图象经过点（0，1），
所以，
即A＝2．
所以f（x）的解析式为．
以下同方案一．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
28．（2022•襄城区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+2sin2（+）﹣1（ω＞0）的相邻两对称轴间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图像，当x∈[﹣，]时，求函数g（x）的值域；
（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程g（x）＝在x∈[，]上的根从小到大依次为x1，x2，…，xn，若m＝x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn，试求n与m的值．
【分析】（1）先整理化简得f（x）＝2sinωx，利用周期求得ω＝2，即可得到f（x）＝2sin2x；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数g（x）的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数y＝sinx的图象，求出n与m的值．
【解答】解：（1）由题意，函数＝，
因为函数f（x）图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以T＝π，可得ω＝2，
故f（x）＝2sin2x；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数g（x）取得最小值，最小值为﹣2，
当时，函数g（x）取得最大值，最大值为，
故函数g（x）的值域；
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数y＝sinx的图象，
可得方程在区间有5个解，即n＝5，
其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，
即，，
解得，
所以．
综上，．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．
29．（2022•宝坻区校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，b＝2，且sinC＝sinB+sin（A﹣B）．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求边c的大小；
（Ⅲ）求的值．
【分析】（Ⅰ）结合三角形内角和定理与两角差的正弦公式对已知等式进行化简，可得csA＝，得解；
（Ⅱ）利用余弦定理，即可得解；
（Ⅲ）先由余弦定理，求得csB的值，进而知sinB的值，再利用二倍角公式求出sin2B和cs2B的值，然后根据两角差的余弦公式，得解．
【解答】解：（Ⅰ）由sinC＝sinB+sin（A﹣B）可得，sin（A+B）＝sinB+sin（A﹣B），
∴sinAcsB+csAsinB＝sinB+sinAcsB﹣csAsinB，
即2csAsinB＝sinB，
又∵sinB≠0，
∴csA＝，
∵0＜A＜π，∴．
（Ⅱ）由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝4+c2﹣2•2c•cs＝7，
整理得c2﹣2c﹣3＝0，
∵c＞0，∴c＝3．
（Ⅲ）由题意知，，b＝2，c＝3，
由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握余弦定理，两角和差公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
30．（2022•东城区一模）已知函数f（x）＝asinωxcsωx（a＞0，ω＞0）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣2cs2ωx+1，求函数g（x）在（0，π）上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：f（x）为偶函数；
条件③：f（x）的最大值为1；
条件④：f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
【分析】（Ⅰ）首先利用二倍角的正弦公式化简函数，即可得到②与题设冲突，再分选择①③、①④、③④三种情况讨论，分别根据正弦函数的性质求出a，ω，即可求出函数解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）＝sin2x﹣2cs2x+1，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，最后根据正弦函数的性质计算可得．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝asinωxcsωx（a＞0，ω＞0），
所以f（x）＝asin2ωx，
显然当a≠0时f（x）为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即f（x）＝asin2ωx最大值为1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2ωx，
又f（）＝1，
所以f（）＝sin（2ω×）＝1，即ω＝+2kπ，k∈Z，解得ω＝1+4k，k∈Z，故f（x）不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝asin2x，
又f（）＝asin（2×）＝1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2x；
若选择③④，即f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以＝π，解得ω＝1，所以f（x）＝asin2x，
又f（x）的最大值为1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f（x）＝sin2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g（x）＝f（x）﹣2cs2ωx+1＝sin2x﹣2cs2x+1＝sin2x﹣cs2x＝sin（2x﹣），
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
又x∈（0，π），
所以g（x）在（0，π）上的单调递增区间有[，π）和（0，]．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•呼和浩特模拟）设函数f（x）＝sin（2x+）+cs（2x+），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称
【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）＝sin（2x+）+cs（2x+），然后求出对称轴方程，判断y＝f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．
【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+）+cs（2x+）＝sin（2x+）＝cs2x．由于y＝cs2x的对称轴为x＝kπ（k∈Z），所以y＝cs2x的对称轴方程是：x＝（k∈Z），所以A，C错误；y＝cs2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y＝f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．
2．（2023•东城区校级模拟）如果函数f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0）的两个相邻零点间的距离为2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值为（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【分析】化简函数f（x），根据f（x）的图象两个相邻零点间的距离为2得出f（x）的最小正周期为4，
求出ω的值，再计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx+csωx＝2sin（ωx+），
且f（x）的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以f（x）的最小正周期为4，
即T＝＝4，解得ω＝；
所以f（x）＝2sin（x+），
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）
＝2sin（+）+2sin（π+）+2sin（+）+…+2sin（+）
＝2cs
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．
3．（2023•中卫二模）已知函数f（x）＝asinωx+csωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且f（0）+f（）＝3，为了得到函数g（x）＝sinωx﹣acsωx的图象，只要把f（x）图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】根据辅助角公式结合函数图象的对称性求出函数的周期以及ω，利用f（0）+f（）＝3求出a的结合，结合三角函数的图象平移关系进行判断即可．
【解答】解：f（x）＝asinωx+csωx＝sin（ωx+φ），
∵图象中相邻两条对称轴之间的距离为，
∴，即T＝π，
则，即ω＝2，
则f（x）＝asin2x+cs2x，
∵f（0）+f（）＝3，
∴cs0+asin+cs＝3，
即1+a+＝3，
即a＝，得a＝，
即f（x）＝sin2x+cs2x＝2sin（2x+），
g（x）＝sin2x﹣cs2x＝2sin（2x﹣）＝2sin（2x﹣﹣+）
＝2sin（2x﹣+）＝2sin[2（x﹣）+]，
即只要把f（x）图象上所有的点向右平移个单位长度即可．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数解析式的求解，根据辅助角公式结合对称性求出函数的解析式是解决本题的关键．
4．（2023•乌鲁木齐模拟）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据已知条件求得sin（α+）＝；再根据诱导公式把所求问题转化即可求出结论．
【解答】解：∵⇒2sin（α+）＝⇒sin（α+）＝；
∴cs（﹣α）＝cs[﹣（+α）]＝sin（α+）＝；
∴＝cs2（﹣α）＝2cs2（﹣α）﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题
5．（2023•南部县校级模拟）若sin2x、sinx分别是sinθ与csθ的等差中项和等比中项，则cs2x的值为：（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用等差中项和等比中项的性质求得sinx，sin2x与sinθ与csθ的关系，进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式，利用二倍角公式整理成关于cs2x的一元二次方程，解方程求得cs2x的值．
【解答】解：依题意可知2sin2x＝sinθ+csθ
sin2x＝sinθcsθ
∵sin2θ+cs2θ＝（sinθ+csθ）2﹣2sinθcsθ＝4sin22x﹣2sin2x＝1
∴4（1﹣cs22x）+cs2x﹣2＝0，即4cs22x﹣cs2x﹣2＝0，
求得cs2x＝
∵sin2x＝sinθcsθ
∴cs2x＝1﹣2sin2x＝1﹣sin2θ≥0
∴cs2x＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．解题的最后注意对cs2x的值进行验证，保证答案的正确性．
6．（2023•西城区校级模拟）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由等差数列的通项公式求出六指高度，再计算tanα和tan2α的值．
【解答】解：由题意知六指为2+5×＝12厘米，
所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
7．（2023•贾汪区校级模拟）奇函数f（x）＝cs（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．[2，6）B．[2，）C．[，）D．[，6）
【分析】根据函数f（x）为奇函数求出φ的值，再根据f（x）在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，列出不等式组求出ω的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）＝cs（ωx+φ）为奇函数，且ω＞0，φ∈（0，π），所以φ＝，
所以f（x）＝﹣sinωx，
所以x∈[﹣，]时，ωx∈[﹣ω，ω]，
因为f（x）在区间[﹣，]上恰有一个最大值和一个最小值，
所以，解得2≤ω＜，
所以ω的取值范围是[2，）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理和运算能力，是中档题．
8．（2023•铁岭模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）＝对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，当ω取最小值时，的值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】利用三角函数恒等变换化简函数f（x），根据f（x）为偶函数求出φ的值；再由f（x）+f（x+）＝0，结合题意求得ω的最小值，即可计算f（）的值．
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）﹣cs（ωx+φ）
＝2[sin（ωx+φ）﹣cs（ωx+φ）]
＝2sin（ωx+φ﹣），
又f（x）为偶函数，所以φ﹣＝+kπ，k∈Z；
解得φ＝+kπ，k∈Z；
又φ∈（0，π），所以φ＝；
所以f（x）＝2sin（ωx+）＝2csωx；
又对任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，
所以f（0）+f（）＝2cs0+2cs＝0，
解得csω＝﹣1，
所以ω＝2kπ+π，k∈Z；
解得ω＝4k+2，k∈Z；
又ω＞0，所以ω的最小值是2，
此时＝2cs（2×）＝2×＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质，以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用问题．
9．（2023•昌江县二模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是 2π
B．函数f（x）的图象关于点成中心对称
C．函数f（x）在单调递增
D．函数f（x）的图象向右平移后关于原点成中心对称
【分析】根据条件求出C的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．
【解答】解：由圆的性质知，C＝＝，
则＝﹣（﹣）＝，即周期T＝π，
则＝π，得ω＝2，故A错误，
∵函数关于点（，0），对称，
∴函数的对称中心为（+，0），则当k＝2时，对称中心为（，0），故B正确，
函数的一条对称轴为x＝＝，函数的相邻最小值的对称轴x＝+＝，前一条对称轴为x＝﹣＝﹣，
则函数的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，
当k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，]，k∈Z，此时f （x）在单调递增错误，故C错误，
∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣，
∴函数f （x）的图象向右平移，此时函数关于y轴对称，故D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据圆的性质求出c的坐标，结合三角函数的性质是解决本题的关键．
10．（2023•滨州二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H（单位；m）与时间t（单位：s）之间的函数关系式的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意求得以OM为终边的角，得出M的纵坐标，再求得盛水筒M距离水面的高度H与时间t之间的函数关系式，由此得出函数的图象．
【解答】解：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t（s） 内转过的角为t＝t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t﹣，
则点M的纵坐标为4sin（t﹣），
所以点M距水面的高度H（m）表示为时间 t（s） 的函数是H＝4sin（t﹣）+2，
所以高度H与时间t之间的函数关系式图象可能是选项D中所画图象．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
11．（2023•小店区校级模拟）已知，则（ ）
A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．c＜a＜b
【分析】先判断0＜a＜，得出0＜c＜a，再构造函数，判断b与a的大小．
【解答】解：因为a＝＜，且a＞0，所以0＜a＜；
又因为c＝＝a2，所以0＜c＜a；
设f（x）＝sinx，g（x）＝x，x＝时，f（x）＝sin＝，g（x）＝×＝，
所以f（x）与g（x）交于点（，）和原点，
又因为x∈（0，）时，sinx＞x，且∈（0，），
所以f（）＞g（），即sin＞，所以b＞a；
所以c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的应用问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
二．多选题（共1小题）
（多选）12．（2023•潍坊二模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．
D．曲线y＝f（x）在处的切线斜率为﹣2
【分析】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象求出A、B和T、ω、φ的值，写出函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分图象知，
，解得A＝1，B＝1；
又＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，ω＝＝2，
由f（﹣）＝sin（2×（﹣）+φ）+1＝2，得﹣+φ＝+2kπ，k∈Z；
解得φ＝+2kπ，k∈Z；
又因为|φ|＜π，所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+）+1；
因为f（）＝sin（+）+1＝2，所以f（x）≤f（），选项A正确；
因为f（x+）＝sin（2x+），所以f（x+）不是偶函数，选项B错误；
因为f（x）+f（﹣x）＝sin（2x+）+1+sin（﹣2x+）+1＝2+sin（2x+）﹣sin（﹣2x+）＝2+sin（﹣2x+）﹣sin（﹣2x+）＝2，所以选项C正确；
因为f′（x）＝2cs（2x+），f′（）＝2cs（2×+）＝﹣2，所以曲线y＝f（x）在处的切线斜率为﹣2，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
三．填空题（共6小题）
13．（2023•水富市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+csωx（ω＞0），y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是 ．
【分析】化简函数f（x）＝sinωx+csωx为f（x）＝2sin（ωx+），y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
【解答】解：函数f（x）＝sinωx+csωx＝2sin（ωx+），
因为y＝f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期T＝π，
所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+），因为2kπ﹣≤2x+≤+2kπk∈Z，
解得x∈
即函数的单调增区间为：
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，正弦函数的单调增区间的求法，常考题型．
14．（2023•高州市一模）已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）+2（ω＞0，﹣＜φ＜）的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是f（x）的最小正零点，则f（φ）＝ 1 ．
【分析】根据函数f（x）两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和ω，再根据f（x）的最小正零点求出φ，即可求出f（φ）的值．
【解答】解：令函数f（x）＝2cs（ωx+φ）+2＝0，得cs（ωx+φ）＝﹣1，
所以函数f（x）两个相邻的零点之差的绝对值为T＝，即＝，解得ω＝3，
又因为是f（x）的最小正零点，所以f（）＝2cs（3×+φ）+2＝0，
即cs（+φ）＝﹣1，解得+φ＝π+2kπ，k∈Z，
又因为φ＝+2kπ，k∈Z；且﹣＜φ＜，所以φ＝，
所以f（φ）＝2cs（3×+）+2＝﹣2sin+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．（2023•常州模拟）已知函数，将f（x）的图像向右平移个单位长度后的函数g（x）的图像，若g（x）为偶函数，则函数f（x）在[0，]上的值域为 [﹣，2] ．
【分析】根据函数图像平移法则，得出g（x）的解析式，根据g（x）为偶函数求出φ的值，写出函数f（x）的解析式，再求f（x）在[0，]上的值域．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ）的图像向右平移个单位长度，得g（x）＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+φ]＝2sin（2x﹣+φ）的图像，
若g（x）为偶函数，则﹣+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；
因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣）；
因为x∈[0，]，所以2x﹣∈[﹣，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]；
所以f（x）在[0，]上的值域为[﹣，2]．
故答案为：[﹣，2]．
【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
16．（2023•温州模拟）若cs2α＝2cs（α），α∈（0，π），则sin2α＝ 1 ，tanα＝ 1 ．
【分析】根据二倍角和两角和的余弦公式，化简求得sin2α的值；
由平方关系和弦化切公式，求得tanα的值．
【解答】解：若cs2α＝2cs（α），
则cs2α﹣sin2α＝2（csαcs﹣sinαsin），
∴（csα+sinα）（csα﹣sinα）＝2（csα﹣sinα），
当sinα＝csα时，α＝，sinα+csα＝；
当sinα≠csα时，sinα+csα＝；
对sinα+csα＝两边平方，
得sin2α+cs2α+2sinαcsα＝2，
化简得2sinαcsα＝1，
即sin2α＝1；
由2sinαcsα＝1，
得＝1，
即＝1，
整理得tan2α﹣2tanα+1＝0，
解得tanα＝1．
故答案为：1，1．
【点评】本题考查了三角恒等变换问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
17．（2023•华容县模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），若函数f（x）的图象关于点中心对称，且关于直线轴对称，则ω的最小值为 3 ．
【分析】根据三角函数的性质可知，当函数的最小正周期最大时，ω的值最小．
【解答】解：当对称中心与对称轴的横向距离最小时，最小正周期最大，ω最小，
此时T＝4（﹣）＝，．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
18．（2023•青羊区校级模拟）已知函数，，，且f（x）在上单调，则ω的最大值为 5 ．
【分析】根据f（﹣）＝0和，求出φ＝，ω＝﹣4k+1，k∈Z；
根据f（x）在上单调，得出﹣≤，从而求出ω的最大值．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），
∴f（﹣）＝2sin（﹣ω+φ）＝0，
∴﹣ω+φ＝kπ，k∈Z①；
又，
∴x＝是f（x）图象的对称轴，
∴ω+φ＝k′π+，k′∈Z②；
由①②得，φ＝π+，k∈Z，
∴取φ＝，且ω＝﹣4k+1，k∈Z；
∴f（x）＝2sin（ωx+）的最小正周期为T＝；
又f（x）在上单调，
∴﹣≤，即≤，
解得ω≤6；
综上，ω的最大值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
四．解答题（共2小题）
19．（2023•宣威市校级模拟）已知函数f（x）＝sinωx+csωx．
（1）若ω＝2，求函数f（x）在[0，π]上的零点；
（2）已知ω＝1，函数g（x）＝（f（x））2+cs2x，x∈[0，]，求函数g（x）的值域．
【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）＝0求得x的值，再求出函数f（x）在[0，π]上的零点；
（2）化函数g（x）为正弦型函数，根据x的取值范围求出函数g（x）的值域．
【解答】解：（1）ω＝2时，函数f（x）＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
令f（x）＝0，得sin（2x+）＝0，解得2x+＝kπ，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z，
所以k＝1时，x＝，k＝2时，x＝，
所以函数f（x）在[0，π]上的零点是和；
（2）ω＝1时，函数g（x）＝（f（x））2+cs2x
＝（sinx+csx）2+cs2x
＝sin2x+cs2x+2sinxcsx+cs2x
＝sin2x+cs2x+1
＝2sin（2x+）+1，
x∈[0，]时，2x+∈[，]，
所以sin（2x+）∈[，1]，
所以2sin（2x+）+1∈[2，3]，
即函数g（x）的值域是[2，3]．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（2023•温州模拟）如图，已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．
【分析】（Ⅰ）根据题意求出函数f（x）的最小正周期，写出解析式，求出φ的值；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式求出B、C和D的坐标，利用正弦定理求出外接圆半径R．
【解答】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（﹣，0），
∴A（1，0），
故函数f（x）的最小正周期为3，
即＝3，解得ω＝，……………………（3分）
f（﹣）＝sin[×（﹣）+φ]＝sin（﹣+φ）＝0，
∴φ＝； ……………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝sin（x+），
∴B（0，）且C（﹣，0），
∴∠BCO＝60°； ……………………（8分）
∵C（﹣，0）是BD的中点，
∴D（﹣1，﹣），……………………（10分）
∴AD＝＝； ……………………（11分）
∴2R＝＝＝，
∴外接圆半径R＝．…………………………（14分）
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦定理的应用问题，是中档题．
考题
考点
考向
2022新高考1第6题
三角函数的性质及其应用
求值
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2022新高考2第6题
三角恒等变换
求正切值
2022新高考2第9题
三角函数的性质及其应用
求单调区间，对称轴
2021新高考1第4题
三角函数的性质及其应用
求解单调区间
2021新高考1第6题
三角恒等变换
给值求值问题
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）；
递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ+，2kπ+]
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ﹣π，2kπ]
（k∈Z）；
递减区间：
[2kπ，2kπ+π]
（k∈Z）
递增区间：
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝