高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点11平面向量及其应用(20种题型6个易错考点)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)考点11平面向量及其应用(20种题型6个易错考点)专项练习(原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，2023真题抢先刷，考向提前知，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。

二、命题规律与备考策略
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。
高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。
三、2023真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cs〈+，﹣〉＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2023•甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cs〈﹣，﹣〉＝（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（ ）
A．B．3C．2D．5
4．（2023•新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）
A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
二．填空题（共1小题）
5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝ ．
四、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(→))＝eq \(A1An,\s\up6(→)).特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))；
③eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)))，eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
(5)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
五、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•叶城县校级模拟）已知，，若与模相等，则＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023•广西模拟）已知和是两个正交单位向量，且，则k＝（ ）
A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4
二．向量相等与共线（共2小题）
3．（2023•南通模拟）若向量满足，则向量一定满足的关系为（ ）
A．
B．存在实数λ，使得
C．存在实数m，n，使得
D．
4．（2023•湖北模拟）已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数λ使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
三．平面向量的线性运算（共1小题）
5．（2023•济南三模）在△ABC中，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
四．向量的加法（共1小题）
6．（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝（ ）
A．B．C．D．
五．向量的减法（共1小题）
7．（2023•防城港模拟）在△ABC中，D为BC的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
六．向量的三角形法则（共2小题）
8．（2023•普宁市校级二模）设是单位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，则四边形ABCD（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
9．（2023•西宁模拟）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（ ）
A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2
七．向量加减混合运算（共1小题）
10．（2023•雁塔区校级模拟）已知＝（1，），＝（2，0），则|﹣3|＝（ ）
A．2B．2C．24D．28
八．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
11．（2023•安徽模拟）△ABC中，||＝2||，则sinA的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•张家口一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
13．（2023•市中区校级一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
九．向量数乘和线性运算（共2小题）
14．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A．2B．C．D．
一十．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
16．（2023•天门模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
17．（2023•淮北二模）已知向量，满足•＝10，且＝（﹣3，4），则在上的投影向量为（ ）
A．（﹣6，8）B．（6，﹣8）C．（﹣，）D．（，﹣）
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）
18．（2023•射洪市校级模拟）已知平面向量，，的夹角为60°，，则实数t（ ）
A．﹣1B．1C．D．±1
19．（2023•鼓楼区校级模拟）在边长为2的菱形ABCD中，，则的最小值为（ ）
A．﹣2B．C．D．
20．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
一十二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）
21．（2023•广州三模）已知向量，，且，则＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
22．（2023•丹东模拟）已知向量，，则＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
一十三．向量的投影（共2小题）
23．（2023•翠屏区校级模拟）已知向量，若，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
24．（2023•宜宾模拟）已知点M是圆C：（x﹣4）2+y2＝4上的一个动点，点N是直线y＝x上除原点O外的任意一点，则向量在向量上的投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
一十四．投影向量（共2小题）
25．（2023•东莞市校级三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．（6，﹣3）B．C．D．
26．（2023•开福区校级二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
一十五．平面向量的基本定理（共3小题）
27．（2023•斗门区校级三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于点O，，则＝（ ）
A．B．C．D．
28．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形ABCD中，．若，则m﹣n＝（ ）
A．B．C．D．
29．（2023•镇江三模）在△ABC中，＝3，点E是CD的中点．若存在实数λ，μ使得，则λ+μ＝ （请用数字作答）．
一十六．平面向量的坐标运算（共2小题）
30．（2023•浙江二模）若，，则＝（ ）
A．（﹣2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（2，2）
31．（2023•兴庆区校级二模）已知向量，，，若，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
一十七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
32．（2023•河南三模）已知向量，若，则实数x＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
33．（2023•武侯区校级模拟）已知向量，，且．则sinα的值为（ ）
A．B．0C．±1D．不存在
一十八．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）
34．（2023•北京模拟）若向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
35．（2023•郴州模拟）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023•渝中区校级模拟）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 ．
一十九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题）
37．（2023•西宁二模）若向量，，且，则＝（ ）
A．B．4C．D．
38．（2023•江西模拟）已知向量，，，则x的值为（ ）
A．3B．4C．﹣3D．﹣4
二十．平面向量的综合题（共2小题）
39．（2023•龙华区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AB的中点，＝2，＝，EF与AD交于点M，则＝（ ）
A．+B．+
C．+D．+
40．（2023•金山区二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ．
六、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
若a∥b,b∥c,则a∥c；
若A,B,C,D是同一平面内的四点且eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；
若,则；
； 其中正确的命题有______个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
七、刷基础
一．选择题（共11小题）
1．（2023•郑州模拟）若，均为单位向量，且，则k的值可能是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
2．（2023•厦门模拟）平面上的三个力1，2，3作用于同一点，且处于平衡状态．已知1＝（1，0），|2|＝2，〈1，2〉＝120°，则|3|＝（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023•南平模拟）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足+＝2，则||＝（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023•云南模拟）若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．（33，44）D．
5．（2023•梅河口市校级模拟）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•三模拟）已知，为单位向量，若|﹣2|＝，则•（﹣2）＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
7．（2023•长沙县校级三模）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•西安二模）已知向量，，且，则sinαcsα＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
9．（2023•河南模拟）已知向量，，若，则＝（ ）
A．B．5C．D．10
10．（2023•凯里市校级二模）若向量，，，且，则m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
11．（2023•龙华区校级模拟）若平面向量与满足＝﹣1，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共3小题）
（多选）12．（2023•金安区校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．已知复数z的共轭复数为，则z+一定是实数
B．若为向量，则
C．若z1，z2为复数，则|z1z2|＝|z1|•|z2|
D．若为向量，且，则
（多选）13．（2023•泉州模拟）圆O为锐角△ABC的外接圆，AC＝2AB＝2，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
（多选）14．（2023•射洪市校级模拟）如图，点C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
三．填空题（共13小题）
15．（2023•阆中市校级二模）已知为单位向量，且满足，则＝ ．
16．（2023•武功县校级模拟）已知菱形EFGH中，，则＝ ．
17．（2023•河南模拟）已知不共线，向量，，且，则k＝ ．
18．（2023•船营区校级模拟）已知向量，向量在方向上的投影向量坐标为 ．
19．（2023•张掖四模）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为 ．
20．（2023•虹口区校级模拟）将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，则＝ ．
21．（2023•香坊区校级三模）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则x的值为 ．
22．（2023•洛阳模拟）已知向量＝（x，1），＝（﹣3，2），若2＝（1，4），则＝ ．
23．（2023•梅河口市校级一模）已知向量满足，且，则与的夹角为 ．
24．（2023•河南模拟）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），＝（4，3），若（λ）⊥，则|λ﹣|＝ ．
25．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则m＝ ．
26．（2023•市中区校级模拟）已知向量，，与共线，则＝ ．
27．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知，若与平行，则实数k＝ ．
八.刷真题
一．选择题（共8小题）
1．（2022•全国）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，则（ ）
A．x2＝2B．|x|＝2C．x2＝3D．|x|＝3
2．（2023•北京）已知向量，满足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
3．（2022•乙卷）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023•全国）设向量，，若，则x＝（ ）
A．5B．2C．1D．0
5．（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
6．（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
7．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（ ）
A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3
8．（2022•北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（ ）
A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]
二．填空题（共8小题）
9．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ ．
10．（2022•甲卷）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝ ．
11．（2023•天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设＝，＝，则可用，表示为 ；若＝，则•的最大值为 ．
12．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝ ．
13．（2022•甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+）•＝ ．
14．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 ．
15．（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
16．（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 ．
考点11平面向量及其应用（20种题型6个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模。试题以中低档为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。
高考对本章的考查依然是基础与能力并存，在知识形成过程、知识迁移种渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与划归思想。
三、2023真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cs〈+，﹣〉＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出+和﹣的坐标，进而求出|+|、|﹣|和（+）•（﹣）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），
则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），
则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，
故cs〈+，﹣〉＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题．
2．（2023•甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cs〈﹣，﹣〉＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，用、表示，利用模长公式求出cs＜，＞，再计算﹣与﹣的数量积和夹角余弦值．
【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，
所以＝++2•，
即2＝1+1+2×1×1×cs＜，＞，
解得cs＜，＞＝0，
所以⊥，
又﹣＝2+，﹣＝+2，
所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，
|﹣|＝|﹣|＝＝＝，
所以cs〈﹣，﹣〉＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题．
3．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则•＝（ ）
A．B．3C．2D．5
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
所以＝﹣1，，，＝2×2＝4，
则•＝（）•（）＝+++＝﹣1+0+0+4＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（ ）
A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
【分析】由已知求得+λ与+μ的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），
∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），
由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
二．填空题（共1小题）
5．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，则||＝ ．
【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．
【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，
∴，，
∴，∴＝3，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．
四、考点清单
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
6．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
8．平面向量的数量积
9.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
10．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
11.平面向量与解三角形的综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
<常用结论>
1．五个特殊向量
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
2．五个常用结论
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(→))＝eq \(A1An,\s\up6(→)).特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：
①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))；
③eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)))，eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
(5)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的关注三点
(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
4．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
5．两个结论
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
6．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
7．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
五、题型方法
一．向量的概念与向量的模（共2小题）
1．（2023•叶城县校级模拟）已知，，若与模相等，则＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用坐标求出的模长，进而根据已知条件可以得到一个关于的方程，问题即可得到解决．
【解答】解：因为，所以，
故，而又已知，且，
所以，
解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
2．（2023•广西模拟）已知和是两个正交单位向量，且，则k＝（ ）
A．2或3B．2或4C．3或5D．3或4
【分析】根据题意得到，，求得，根据向量模的计算公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：因为和是正交单位向量，，，
可得，所以，
解得k＝2或k＝4．
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算，属于基础题．
二．向量相等与共线（共2小题）
3．（2023•南通模拟）若向量满足，则向量一定满足的关系为（ ）
A．
B．存在实数λ，使得
C．存在实数m，n，使得
D．
【分析】对两边平方即可得出，进而得出，从而判断A不正确；时，B不一定成立；时，D不成立，这样只能选C．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴不一定成立；时，不成立；时，不成立．
故选：C．
【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
4．（2023•湖北模拟）已知向量，则“与共线”是“存在唯一实数λ使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】充分性根据验证；必要性直接证明即可．
【解答】解：当时，满足与共线，
但是不存在实数λ使得，
故充分性不成立；
存在唯一实数λ使得，则与共线成立，
即必要性成立，
故“与共线”是“存在唯一实数λ使得”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了共线向量的定义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
三．平面向量的线性运算（共1小题）
5．（2023•济南三模）在△ABC中，若，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】由平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点A、B为线段DE的三等分点，
因为，
所以＝，，
则＝，
当且仅当CD⊥CE时取等号，
即△ABC面积的最大值为1．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．
四．向量的加法（共1小题）
6．（2023•浙江模拟）设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的线性运算法则求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴M是AC，BD的中点，
∴＝，，
∴＝＝＝（）＝＝（）＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
五．向量的减法（共1小题）
7．（2023•防城港模拟）在△ABC中，D为BC的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，D为BC的中点，∴＝，
∴＝﹣＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，是基础题．
六．向量的三角形法则（共2小题）
8．（2023•普宁市校级二模）设是单位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，则四边形ABCD（ ）
A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形
【分析】据向量相反向量的定义得四边形为平行四边形，再据邻边相等四边形为菱形．
【解答】解：∵，
∴
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵
∴四边形ABCD是菱形
故选：B．
【点评】本题考查相反向量的定义，菱形满足的条件．
9．（2023•西宁模拟）在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝（ ）
A．2+B．﹣2C．2﹣D．+2
【分析】利用向量加法法则直接求解．
【解答】解：在△ABC中，D是AB边上的中点，
则＝＝
＝
＝2．
故选：C．
【点评】本题考查向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
七．向量加减混合运算（共1小题）
10．（2023•雁塔区校级模拟）已知＝（1，），＝（2，0），则|﹣3|＝（ ）
A．2B．2C．24D．28
【分析】可根据条件求出的坐标，从而可求出．
【解答】解：；
∴．
故选：A．
【点评】考查向量坐标的减法和数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法．
八．两向量的和或差的模的最值（共3小题）
11．（2023•安徽模拟）△ABC中，||＝2||，则sinA的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由||＝2||，两边，整理得到，结合基本不等式进而得到csA的最小值，再利用平方关系求解．
【解答】解：由||＝2||，
两边同时平方得，
展开整理得，
即，
∴，
当且仅当时等号成立．
又∵sin2A+cs2A＝1且sinA＞0，∴时，
所以sinA取最大值．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量模的运算性质，数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．
12．（2023•张家口一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据数量积的运算律得到，设，即可得到，再由求出的范围，即可得解．
【解答】解：由，得，即．
设，则，显然csθ≠0，
所以，
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
13．（2023•市中区校级一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 2 ．
【分析】在平面直角坐标系中，不妨设，，，再结合平面向量的数量积运算，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
∵，，，
∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，
∴y1y2＝1，
∴＝|y1+y2|＝＝，
当且仅当y1＝±1时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
九．向量数乘和线性运算（共2小题）
14．（2023•石狮市校级模拟）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．利用勾股定理可得x，通过RT△ABE的边角关系，可得E的坐标，设＝m+n，路坐标运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝．
设∠BAE＝θ，则sinθ＝，csθ＝．
∴xE＝csθ＝，yE＝sinθ＝．
设＝m+n，
则（，）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝，n＝．
∴＝+，
另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．
通过三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．
即可得出结论．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2023•湖南模拟）如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A．2B．C．D．
【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ．
【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则＝（1，），＝（﹣，1），＝（1，1）．
∵＝λ+μ，
∴，解得．
∴λ+μ＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
一十．平面向量数量积的含义与物理意义（共2小题）
16．（2023•天门模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得．
【解答】解：因为，且，
所以，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
17．（2023•淮北二模）已知向量，满足•＝10，且＝（﹣3，4），则在上的投影向量为（ ）
A．（﹣6，8）B．（6，﹣8）C．（﹣，）D．（，﹣）
【分析】根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：因为•＝10，且＝（﹣3，4），
所以在上的投影向量||cs＜，＞＝（•）＝10×＝（﹣，）．
故选：C．
【点评】本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）
18．（2023•射洪市校级模拟）已知平面向量，，的夹角为60°，，则实数t（ ）
A．﹣1B．1C．D．±1
【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案．
【解答】解：因为，所以，
即4+2×2×cs60°t+t2＝3，解得t＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）在边长为2的菱形ABCD中，，则的最小值为（ ）
A．﹣2B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知在边长为2的菱形ABCD中，，
则，
则＝＝＝＝，
又x∈[0，1]，
则当x＝0时，取最小值．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
20．（2023•虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
【分析】设，则，得到，结合绝对值三角不等式，即可求解．
【解答】解：不妨设，则，
由，可得，
则||，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及绝对值不等式的应用，属于中档题．
一十二．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）
21．（2023•广州三模）已知向量，，且，则＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用向量的数量积运算求出m，再利用向量的求模公式求解．
【解答】解：∵，
∴++2•＝+﹣2•，∴•＝0，
∵，，
∴12+4m＝0，m＝﹣3，
∴＝（4，﹣3），
∴＝＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了向量的数量积，向量的求模公式，属于基础题．
22．（2023•丹东模拟）已知向量，，则＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【分析】由已知求得的坐标，再由平面向量数量积的坐标运算求解．
【解答】解：∵，，∴，
则＝2×（﹣1）+1×（﹣1）＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查向量减法的坐标运算及数量积的坐标运算，是基础题．
一十三．向量的投影（共2小题）
23．（2023•翠屏区校级模拟）已知向量，若，则在方向上的投影为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【分析】利用坐标运算求出，然后求投影即可．
【解答】解：，，
则，
则在方向上的投影为．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
24．（2023•宜宾模拟）已知点M是圆C：（x﹣4）2+y2＝4上的一个动点，点N是直线y＝x上除原点O外的任意一点，则向量在向量上的投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】取点N（a，a），则a≠0，设点M（4+2csθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，利用向量投影的定义以及三角恒等变换可求得向量在向量上的投影的最大值．
【解答】解：取点N（a，a），则a≠0，设点M（4+2csθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，
所以，向量在向量上的投影为
＝，
若向量在向量取最大值，则a＞0，
所以，
＝，
因为0≤θ＜2π，则，
当且仅当时，等号成立，故向量在向量上的投影的最大值是为．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的投影，考查转化能力，属于中档题．
一十四．投影向量（共2小题）
25．（2023•东莞市校级三模）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．（6，﹣3）B．C．D．
【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可．
【解答】因为，
所以，，
故所求投影向量为：．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
26．（2023•开福区校级二模）已知单位向量，的夹角为60°，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解．
【解答】解：因为两个单位向量和的夹角为60°，
则，
所以，，
，
故所求投影向量为．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式及投影向量的定义，属于基础题．
一十五．平面向量的基本定理（共3小题）
27．（2023•斗门区校级三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于点O，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果．
【解答】解：如图，
由，可得（利用平行关系求得线段比），
则，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
28．（2023•浠水县校级三模）在平行四边形ABCD中，．若，则m﹣n＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果．
【解答】解：＝，
所以，
则．
故选：D．
【点评】本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
29．（2023•镇江三模）在△ABC中，＝3，点E是CD的中点．若存在实数λ，μ使得，则λ+μ＝ （请用数字作答）．
【分析】首先根据题意，利用向量线性运算将用和表示，然后和题设条件对照，即可求出．
【解答】解：如图，因为E为CD中点，所以＝+，
又＝3，∴＝，
∴＝，
故λ＝，，∴λ+μ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属简单题．
一十六．平面向量的坐标运算（共2小题）
30．（2023•浙江二模）若，，则＝（ ）
A．（﹣2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（2，﹣2）D．（2，2）
【分析】根据平面向量的坐标运算即可求得答案．
【解答】解：由题意知，，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
31．（2023•兴庆区校级二模）已知向量，，，若，则m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解：，，，，
则（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即，解得m＝2，n＝5，
故m+n＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
一十七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）
32．（2023•河南三模）已知向量，若，则实数x＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数．
【解答】解：，
因为，
所以（2+3x）×（﹣1）＝7×（2﹣x），解得x＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
33．（2023•武侯区校级模拟）已知向量，，且．则sinα的值为（ ）
A．B．0C．±1D．不存在
【分析】根据向量共线得到5csα＝2sin2α，利用二倍角正弦公式得到csα＝0，再根据平方关系计算可得．
【解答】解：因为，，且，
所以5csα＝2sin2α，即5csα＝4sinαcsα，
即csα（5﹣4sinα）＝0，因为sinα∈[﹣1，1]，所以5﹣4sinα＞0，
所以csα＝0，又sin2α+cs2α＝0，所以sinα＝±1．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
一十八．数量积表示两个向量的夹角（共3小题）
34．（2023•北京模拟）若向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量夹角的坐标运算公式可求出结果．
【解答】解：向量，，
则＝，
又因为，
所以，即与的夹角等于．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
35．（2023•郴州模拟）已知向量满足，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合相垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴csθ＝＝，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
36．（2023•渝中区校级模拟）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为 ．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：，
故cs＝＝，
∵，
∴向量与的夹角大小为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
一十九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题）
37．（2023•西宁二模）若向量，，且，则＝（ ）
A．B．4C．D．
【分析】根据向量垂直的坐标表示求x，再由向量的模的坐标表示即得．
【解答】解：由，可得﹣x+2×2＝0，
所以x＝4，，．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
38．（2023•江西模拟）已知向量，，，则x的值为（ ）
A．3B．4C．﹣3D．﹣4
【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标运算即可得到结果．
【解答】解：因为向量，，且，
则，解得x＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
二十．平面向量的综合题（共2小题）
39．（2023•龙华区校级模拟）如图，在△ABC中，E是AB的中点，＝2，＝，EF与AD交于点M，则＝（ ）
A．+B．+
C．+D．+
【分析】根据题意，分析可得＝+，设＝k，则＝+，再设＝x+y，分析可得+＝+，分析k、x、y的关系，可得k的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，＝＝（﹣），则＝，
则＝+＝+（﹣）＝+，
M在AD上，设＝k，则＝+，
又由E、M、F三点共线，则＝x+y，（x+y＝1）
则＝+，而＝+，
则有+＝+，故有，解可得k＝，
故＝+．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
40．（2023•金山区二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ．
【分析】画出图形，结合已知条件找出C，B的几何意义，判断D的位置，利用向量的模的几何意义，转化求解不等式的最小值即可．
【解答】解：如图设＝，＝5，＝，＝，＝，
点B在以A为圆心，半径为的圆上，
点C在以M为圆心，半径为1的圆上，∠NOM＝，
所以D在射线ON上，
所以＝≥||﹣
＝，
作的A关于射线ON的对称点G，
则，且，
所以≥
＝﹣＝，（当且仅当D、G、M共线时取等号），
的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的模的几何意义的应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是难题．
六、易错分析
易错点一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量的夹角为钝角，所以，
即，解得，
【错因】概念模糊，错误地认为为钝角，实际上，为钝角不共线。
【正解】因为向量的夹角为钝角，所以且不共线，
即，解得，
所以实数x的取值范围为。
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ为锐角,有cs θ>0,
∴eq \f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－eq \f(1,2),λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cs θ＝1满足cs θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角,∴0∴00，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1))),解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.))
∴λ的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)).
易错点二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选B或C或D
【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.
【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),
当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在,
(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
易错点三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以
+=+
=0, 所以的模为0。
【错因】忽略了夹角为零度的情况
【正解】当的夹角为时的模为3,当夹角为时,
+=+
=0,的模为0.
易错点四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝________.
【错解】∵△ABC为等边三角形,∴|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1,
向量eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(CA,\s\up6(→))间的夹角均为60°.∴eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2).
∴eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2).
【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cs θ,这里θ是a与b的夹角,本题中eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))的夹角应是∠ACD.
【正解】eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1,所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))||eq \(CA,\s\up6(→))|cs 120°＝－eq \f(1,2).同理得eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2).
故eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2).
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =
【错因】夹角是,不是0.
【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =故选A.
易错点五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
若a∥b,b∥c,则a∥c；
若A,B,C,D是同一平面内的四点且eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形；
若,则；
； 其中正确的命题有______个。
【错解】1或2或3或4
【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。
【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)),则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。
易错点六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
【错解】选A或C或D
【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
【正解】选B，如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
七、刷基础
一．选择题（共11小题）
1．（2023•郑州模拟）若，均为单位向量，且，则k的值可能是（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【分析】两边同时平方，得到，余弦值只能在[﹣1，1]判断即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
由于，均为单位向量，所以，
所以，由于，所以只有B符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的模，属于基础题．
2．（2023•厦门模拟）平面上的三个力1，2，3作用于同一点，且处于平衡状态．已知1＝（1，0），|2|＝2，〈1，2〉＝120°，则|3|＝（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】根据条件得，并且，进行数量积的运算即可求出的值，进而求出的值．
【解答】解：根据题意知，，
∴，且，
∴＝，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
3．（2023•南平模拟）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足+＝2，则||＝（ ）
A．B．1C．D．
【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解．
【解答】解：因为正方形ABCD的边长为1，点M满足+＝＝2，
所以M为AC的中点，
则||＝|BD|＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
4．（2023•云南模拟）若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．（33，44）D．
【分析】根据题意，结合在上的投影向量为，准确运算，即可求解．
【解答】解：由向量，可得且，
所以在上的投影向量为．
故选：A．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5．（2023•梅河口市校级模拟）设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用性质结合已知求出，然后可得投影向量．
【解答】解：因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6．（2023•三模拟）已知，为单位向量，若|﹣2|＝，则•（﹣2）＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【分析】根据题意可得，再计算•（﹣2）即可．
【解答】解：因为，为单位向量，|﹣2|＝，
所以，
解得，
则．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2023•长沙县校级三模）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：＝（2，1），＝（﹣1，3），
＝1，，
则向量在方向上的投影向量为＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8．（2023•西安二模）已知向量，，且，则sinαcsα＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据向量平行的坐标表示可得，再结合齐次式问题分析运算．
【解答】解：因为，
则csα＝﹣2sinα，可得，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
9．（2023•河南模拟）已知向量，，若，则＝（ ）
A．B．5C．D．10
【分析】根据共线先求出x，根据向量的模的坐标公式即可．
【解答】解：因为，所以3×（﹣2）﹣x＝0，解得x＝﹣6．
所以，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于基础题．
10．（2023•凯里市校级二模）若向量，，，且，则m＝（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．
【解答】解：，
因为，
所以﹣3（2m+1）＝3m，解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
11．（2023•龙华区校级模拟）若平面向量与满足＝﹣1，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵平面向量与满足＝﹣1，且||＝2，||＝1，
∴csθ＝＝，解得θ＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）12．（2023•金安区校级模拟）下列命题正确的有（ ）
A．已知复数z的共轭复数为，则z+一定是实数
B．若为向量，则
C．若z1，z2为复数，则|z1z2|＝|z1|•|z2|
D．若为向量，且，则
【分析】对于A，结合共轭复数的定义，即可求解；
对于B，结合平面向量的数量积运算，即可求解；
对于C，结合复数模的性质，即可求解；
对于D，将两边同时平方，即可求解．
【解答】解：对于A，设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
故，故A正确；
对于B，为向量，
则，故B错误；
对于C，z1，z2为复数，
则由复数模的性质可知，|z1z2|＝|z1|•|z2|，故C正确；
对于D，为向量，且，
则＝，即，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
（多选）13．（2023•泉州模拟）圆O为锐角△ABC的外接圆，AC＝2AB＝2，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用正弦定理表示出R，借助角C表示出所求，根据△ABC为锐角三角形，结合图形可得sinC范围，然后可得．
【解答】解：记圆O的半径为R，则，
又∠AOB＝2C，所以．
因为△ABC为锐角三角形，如图，易知，所以，
所以，即．
故选：BC．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
（多选）14．（2023•射洪市校级模拟）如图，点C，D是线段AB的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量相等的定义即可，两个向量相等则必须是大小相等且方向相同．
【解答】解：点C，D是线段AB的三等分点，
则，，＝，，故AD正确，BC错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量相等的定义，属于基础题．
三．填空题（共13小题）
15．（2023•阆中市校级二模）已知为单位向量，且满足，则＝ ．
【分析】将已知等式和所求等式都平方处理即可．
【解答】解：为单位向量，且满足|﹣|＝，
所以2﹣2•+52＝6，1﹣2•+5＝6，
解得•＝0，所以|2+|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数量积公式，属于基础题．
16．（2023•武功县校级模拟）已知菱形EFGH中，，则＝ ﹣2 ．
【分析】数形结合，再结合数量积公式即可求．
【解答】解：如图：
﹣＝，∵，
则|FH|＝2，|OH|＝1，
＝•cs（π﹣∠FHG）＝﹣•cs∠FHG
＝﹣2•cs∠FHG＝﹣2×|OH|＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积公式，属于基础题．
17．（2023•河南模拟）已知不共线，向量，，且，则k＝ ﹣9 ．
【分析】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案．
【解答】解：因为，
所以∃λ∈R，使得成立，即．
因为不共线，
所以，解得．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
18．（2023•船营区校级模拟）已知向量，向量在方向上的投影向量坐标为 ．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：向量，
则，，
故向量在方向上的投影向量坐标为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
19．（2023•张掖四模）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，求出x，再结合投影公式，即可求解．
【解答】解：，，且，
则2x﹣2＝0，所以x＝1，
所以在方向上的投影为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
20．（2023•虹口区校级模拟）将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，则＝ 2 ．
【分析】由向量的几何意义得到，再用向量的数量积公式即可求得．
【解答】解：∵向量，∴与x轴非负半轴所成角为60°，
将向量绕坐标原点O顺时针旋转30°得到，
∴与x轴非负半轴所成角为30°，∴＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
21．（2023•香坊区校级三模）已知向量，，若在方向上的投影向量为，则x的值为 1 ．
【分析】由在方向上的投影向量为及投影向量的概念得，再求出||，从而得到，再由数量积的坐标运算可求得x．
【解答】解：∵在方向上的投影向量为，∴，∴，
∵，∴，即2×2+1×x＝5，∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算给和投影向量，属于基础题．
22．（2023•洛阳模拟）已知向量＝（x，1），＝（﹣3，2），若2＝（1，4），则＝ ﹣4 ．
【分析】由向量坐标的线性运算求出x，再由向量数量积的坐标运算即可求得．
【解答】解：∵＝2（x，1）+（﹣3，2）＝（2x﹣3，4）＝（1，4），∴2x﹣3＝1，∴x＝2，∴，
∴．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查向量的坐标运算及数量积，属于基础题．
23．（2023•梅河口市校级一模）已知向量满足，且，则与的夹角为 30° ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若（﹣）⊥，则（﹣）•＝•﹣2＝2csθ﹣3＝0，解可得csθ＝，
又由0°≤θ≤180°，则θ＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
24．（2023•河南模拟）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），＝（4，3），若（λ）⊥，则|λ﹣|＝ 9 ．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），
则＝（2λ，﹣3λ）+（﹣1，2）＝（2λ﹣1，2﹣3λ），
＝（4，3），（λ）⊥，
则（2λ﹣1）×4+（2﹣3λ）×3＝0，解得λ＝2，
＝（4，﹣6）﹣（4，3）＝（0，﹣9），
故|λ﹣|＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
25．（2023•黄浦区校级三模）已知平面向量，，若，则m＝ 1 ．
【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出m的值．
【解答】解：∵平面向量，，，
∴2m﹣2×1＝0，∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
26．（2023•市中区校级模拟）已知向量，，与共线，则＝ 2 ．
【分析】由向量共线的坐标表示可得答案．
【解答】解：由题意可知，，，
因为与共线，所以（1+x）（﹣x+3）＝（﹣x﹣3）（1﹣x）⇒x2＝3．
则．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
27．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知，若与平行，则实数k＝ ．
【分析】由已知求得与的坐标，再由两向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】解：∵，
∴＝（k﹣3，2k+2），＝（7，﹣2），
若与平行，则﹣2（k﹣3）＝7（2k+2），解得k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．
八.刷真题
一．选择题（共8小题）
1．（2022•全国）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，则（ ）
A．x2＝2B．|x|＝2C．x2＝3D．|x|＝3
【分析】由已知可得x+2）（1﹣x）﹣（1+x）（x﹣2）＝0，计算即可．
【解答】解：∵∥，＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．
∴（x+2）（1﹣x）﹣（1+x）（x﹣2）＝0，
∴﹣2x2+4＝0，∴x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．
2．（2023•北京）已知向量，满足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根据向量的坐标运算，向量的模公式，即可求解．
【解答】解：∵+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），
∴，，
∴||2﹣||2＝4﹣5＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模公式，属基础题．
3．（2022•乙卷）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先计算的坐标，再利用坐标模长公式求解．
【解答】解：，
故，
故选：D．
【点评】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题．
4．（2023•全国）设向量，，若，则x＝（ ）
A．5B．2C．1D．0
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量，，，
∴＝0，可得2（x﹣2）+（x+1）×（﹣1）＝0，
∴x＝5．
故选：A．
【点评】本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2022•乙卷）已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则•＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】利用|﹣2|＝，结合数量积的性质计算可得结果．
【解答】解：因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
两边平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
6．（2022•新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
【分析】先利用向量坐标运算法则求出＝（3+t，4），再由＜，＞＝＜，＞，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值．
【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，
∴＝（3+t，4），
∵＜，＞＝＜，＞，
∴＝，∴＝，
解得实数t＝5．
故选：C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2022•新高考Ⅰ）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（ ）
A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3
【分析】直接利用平面向量的线性运算可得，进而得解．
【解答】解：如图，
＝，
∴，即．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（2022•北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（ ）
A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]
【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设P（x，y），计算可得＝﹣3x﹣4y+1，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．
【解答】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），
所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝csθ，y＝sinθ，
所以＝﹣（3csθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．
二．填空题（共8小题）
9．（2023•上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝ 4 ．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），
∴•＝﹣2×1+3×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
10．（2022•甲卷）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝ ﹣ ．
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得m的值．
【解答】解：∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，
∴＝m+3（m+1）＝0，
则m＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
11．（2023•天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设＝，＝，则可用，表示为 ；若＝，则•的最大值为 ．
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，＝，＝，
则＝＝；
设，，
由余弦定理可得：1＝x2+y2﹣xy，
又x2+y2≥2xy，
即xy≤1，当且仅当x＝y时取等号，
又＝，
则＝，
则
＝
＝
＝
＝，
即•的最大值为．
故答案为：；．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属中档题．
12．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝ ．
【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ，
⇒
则得，tanθ＝，
由同角三角函数的基本关系得：csθ＝，
则＝||||csθ＝＝2，
λ2＝，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
13．（2022•甲卷）设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+）•＝ 11 ．
【分析】首先计算的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值．
【解答】解：由题意可得，
则．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中等题．
14．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 ﹣ ．
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴•的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．
15．（2022•天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，试用，表示为 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 ．
【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出csC的最小值，可得∠ACB的最大值．
【解答】解：∵△ABC中，＝，＝，D是AC中点，＝2，如图：
∴＝﹣＝+﹣＝+﹣＝．
∵＝﹣＝﹣，⊥，
∴•＝（﹣）•＝（3﹣4+）＝0，即4＝+3，
即4•a•b•csC＝a2+3b2，即csC＝≥＝，
当且仅当a＝b时，等号成立，故csC的最小值为，故C的最大值为，
即∠ACB的最大值为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式的应用，属于中档题．
16．（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 [12+2，16] ．
【分析】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P（x，y），进而得到2+2+…+2＝8（x2+y2）+8，根据点P的位置可求出x2+y2的范围，从而得到2+2+…+2的取值范围．
【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1（0，1），，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，A7（﹣1，0），，
设P（x，y），
则2+2+…+2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2＝8（x2+y2）+8，
∵cs22.5°≤|OP|≤1，∴，
∴，
∴12≤8（x2+y2）+8≤16，
即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，
故答案为：[12+2，16]．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题．
考题
考点
考向
2022新高考1，第3题
平面向量的概念及线性运算
向量的线性运算
2022新高考2，第4题
数量积的综合应用
由夹角相等求参数值
2021新高考1，第10题
数量积的定义及夹角与模问题
利用坐标运算求解向量的模，数量积
2021新高考2，第15题
数量积的综合应用
平面向量的数量积
2021全国乙理，第14题
数量积的定义及夹角与模问题
由向量垂直求参数
2020新高考2，第3题
平面向量的概念及线性运算
向量的线性运算
2020新高考1，第7题
数量积的综合应用
求数量积的取值范围
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
考题
考点
考向
2022新高考1，第3题
平面向量的概念及线性运算
向量的线性运算
2022新高考2，第4题
数量积的综合应用
由夹角相等求参数值
2021新高考1，第10题
数量积的定义及夹角与模问题
利用坐标运算求解向量的模，数量积
2021新高考2，第15题
数量积的综合应用
平面向量的数量积
2021全国乙理，第14题
数量积的定义及夹角与模问题
由向量垂直求参数
2020新高考2，第3题
平面向量的概念及线性运算
向量的线性运算
2020新高考1，第7题
数量积的综合应用
求数量积的取值范围
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与 a的方向相反；
当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cs_θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘积
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0