高考数学第一轮复习导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)，共8页。学案主要包含了求同存异，利用特殊值作“中间量”，利用函数的单调性比较大小等内容，欢迎下载使用。

1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg223. 利用函数单调性比较大小．
题型一、求同存异(化为同底或同指数)
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
(2) (2022·唐山期末)设a＝lg23，b＝lg34，c＝lg48，则( )
A. bC. a变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则( )
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（ ）
A. B. C . D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三、利用函数的单调性比较大小
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（ ）
A．B．
C．D．
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
第17讲 指、对、幂的大小比较（微专题）
比较大小的基本思路：
1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg223. 利用函数单调性比较大小．
题型一、求同存异(化为同底或同指数)
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
【答案】D
【解析】 由指数函数的性质可知，a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))∈(0,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \r(3,\f(1,4))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))＝eq \r(3,\f(1,3))，所以b>a，故c>b>a.
(2) (2022·唐山期末)设a＝lg23，b＝lg34，c＝lg48，则( )
A. bC. a【答案】A
【解析】 lg34＝lg2764＝eq \f(1,lg6427)，lg48＝lg1664＝eq \f(1,lg6416)，函数y＝lg64x在(0，＋∞)上单调递增，所以lg6427>lg6416>0，所以eq \f(1,lg6427)lg48，所以cc>b.
变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则( )
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
【答案】A
【解析】 因为a＝lg 0.2＝lgeq \f(2,10)＝lg2－1<0，c＝lg64＝lgeq \r(,6)2>lg32＝b>0，所以c>b>a.
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（ ）
A. B. C . D.
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵，，，
∴．
故选：C.
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意，，，，则.
故选：D.
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断．
【详解】
，，，
，，
易知，所以，即，所以．
故选：A．
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
A.，，，，故A不正确；
B.,,，故B正确；
C.要判断，即判定，即判定，
即，即，即成立，故C正确；
D.，，，且，
，，故D正确.
故选：BCD
题型三、利用函数的单调性比较大小
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
因为，可得函数均是减函数，
可得，，所以CD不正确；
又由函数是增函数，是减函数，可得，且，
所以，所以故A正确；
因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.
故选：AB.
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到 ，即可求解.
【详解】
因为，且在为单调递增函数，
所以，即，
令，可得，
当时，单调递减，所以在单调递增，且，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，且，
所以，即，即，所以，
又因为，所以.
故选：D.
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由关于点对称可知，关于点对称，则为奇函数
令，则为偶函数，
又时，，即
则在上单调递增，
则有
即
就是，
故选：D