高考数学第一轮复习导学案(新高考)第04讲不等式及性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第04讲不等式及性质(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了两个实数比较大小的依据，不等式的性质，常见的结论，两个重要不等式等内容，欢迎下载使用。
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔
(2)a－b＝0⇔ .
(3)a－b＜0⇔ .
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔ ；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ ；
(3)可加性：a>b⇔ ；a>b，c>d⇒ ；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ ;
a>b>0，c>d>0⇒ ；  cb>0⇒ (n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒eq \f(1,a)1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式2、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用；
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
(2) 若a＝ eq \f(ln 2,2)，b＝ eq \f(ln 3,3)，则a______b；(填“＞”或“＜”)
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与 eq \f(3,1－a)的大小．
变式1、已知M＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)，N＝eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)，则M，N的大小关系为________．
变式2、设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1b，ab>0⇒eq \f(1,a)1，m＝lga(a2＋1)，n＝lga(a＋1)，p＝lga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
【答案】 B
【解析】由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，
即2a>a＋1，
∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝lgax在定义域上单调递增，
∴m>p>n.
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】对选项A，设，，，满足，
此时不满足，故A错误；
对选项B，因为，且，所以，故B正确.
对选项C，设，，，满足，
此时，，不满足，故C错误；
对选项D，因为，所以，，
所以，故D正确.
故选：BD
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,
故选:AB.
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
变式2、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若则
【答案】BC
【解析】
若，，则，故A错；
若，，则，化简得，故B对；
若，则，又，则，故C对；
若，，，，则，，，故D错；
故选：BC．
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值为4
【答案】BC
【解析】
对于A，因为，所以，，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，当且仅当即时取等号，因为，所以取不到等号，所以的最小值不为4，所以D错误，
故选：BC
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用；
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
【答案】 M>N
【解析】 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1).因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－10，所以M>N.
(2) 若a＝ eq \f(ln 2,2)，b＝ eq \f(ln 3,3)，则a______b；(填“＞”或“＜”)
【答案】 ＜
【解析】 易知a，b都是正数，
eq \f(b,a)＝ eq \f(2ln 3,3ln 2)＝lg89＞1，所以b＞a.
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与 eq \f(3,1－a)的大小．
【解析】 a＋2－ eq \f(3,1－a)＝ eq \f(－a2－a－1,1－a)＝ eq \f(a2＋a＋1,a－1).
因为a2＋a＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)>0，
所以当a>1时，a＋2> eq \f(3,1－a)；
当aN
【解析】
方法一 M－N＝eq \f(e2 021＋1,e2 022＋1)－eq \f(e2 022＋1,e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021＋1e2 023＋1－e2 022＋12,e2 022＋1e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021＋e2 023－2e2 022,e2 022＋1e2 023＋1)
＝eq \f(e2 021e－12,e2 022＋1e2 023＋1)>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝eq \f(ex＋1,ex＋1＋1)
＝eq \f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq \f(1,e)＋eq \f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
变式2、设a>b>0，试比较eq \f(a2－b2,a2＋b2)与eq \f(a－b,a＋b)的大小．
解法一(作差法)：
eq \f(a2－b2,a2＋b2)－eq \f(a－b,a＋b)＝
＝．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以>0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq \f(a－b,a＋b)>0．
所以eq \f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝＝eq \f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq \f(2ab,a2＋b2)>1．
所以eq \f(a2－b2,a2＋b2)>eq \f(a－b,a＋b)．
方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1