高考数学第一轮复习导学案(新高考)第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第26讲同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系，诱导公式等内容，欢迎下载使用。

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： ；
(2)商数关系： 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
2．诱导公式
3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：
即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－csC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝cseq \f(C,2)；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“csx=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2、【2021年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.
2、已知，则（ ）
A．B．6C．D．
3、在△ABC中，下列结论不正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
4、化简：eq \f(tan(π－α)cs(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs(－α－π)sin(－π－α))的值为（ ）
A. B. C. D.
5、（2022·湖南益阳·一模）若，则
A．B．C．D．
6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
因此，
故答案为：4.
考向一 三角函数的诱导公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α) ·cs(2π－α) ·tan(α＋π),tan(－α－π) ·sin(－α－π))．
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
变式1、已知f(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))的值为 ．
变式2、 求值：sin (－1 200°)cs 1 290°＋cs (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
方法总结：1、熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
考向二 同角函数关系式的运用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝ eq \f(1,5).求：
(1) sin x－cs x的值；
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)的值．
变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－eq \f(1,3)，则sinα＋csα的值为_ __．
(2)已知sinαcsα＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，则csα－sinα的值为__ __．
变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：
(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))（α是第二象限角）；
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α.
变式3、已知2cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tan α的值；
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)的值．
方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．所求式是关于sinα，csα的齐次式时，分子分母同除以csα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知cs(75°+α)=eq \f(1,3)，且α是第三象限角，求cs(15°-α)+sin(α-15°)的值．
变式1、已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
变式2、 已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(\r(3),3)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝ ．
变式3、已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,3)，则sin （x－ eq \f(5π,6)）＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的值为 ．
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.
2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（ ）
A．－B．C．－D．
7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A．B．C．-3D．3一
二
三
四
五
六
2kπ＋
α(k∈Z)
sin α
cs α
tan α
第26讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α). 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
2．诱导公式
3. 诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：
即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．
4、三角形中的三角函数关系式
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－csC；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝cseq \f(C,2)；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
1、【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“csx=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为sin2x+cs2x=1可得：
当sinx=1时，csx=0，充分性成立；
当csx=0时，sinx=±1，必要性不成立；
所以当x∈R，sinx=1是csx=0的充分不必要条件.
故选：A.
2、【2021年新高考1卷】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
1、（2022·山东威海·三模）已知，，则___________.
【答案】
【解析】由题知：，
因为，所以.
故答案为：
2、已知，则（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【解析】化简
所以，故选B。
3、在△ABC中，下列结论不正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin eq \f(B＋C,2)＝cs eq \f(A,2)
C．tan(A＋B)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))
D．cs(A＋B)＝cs C
【答案】 D
【解析】在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin eq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cs eq \f(A,2)，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C≠\f(π,2)))，C正确．
cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，D错误．
4、化简：eq \f(tan(π－α)cs(2π－α)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs(－α－π)sin(－π－α))的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】：B
【解析】：原式＝eq \f(－tan α·cs α·(－cs α),cs(π＋α)·[－sin(π＋α)])＝eq \f(tan α·cs α·cs α,－cs α·sin α)＝eq \f(\f(sin α,cs α)·cs α,－sin α)＝－1
5、（2022·湖南益阳·一模）若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可知：
∴，∴，
又==.
故选C.
6、（2022·河北唐山·三模）若，则___________．
【答案】4
【解析】因为，两边同时平方得，即，所以，
因此，
故答案为：4.
考向一 三角函数的诱导公式
例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α) ·cs(2π－α) ·tan(α＋π),tan(－α－π) ·sin(－α－π))．
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
【解析】：f(α)＝eq \f(sinα·csα·tanα,(－tanα)·sinα)＝－csα．
(1) ∵ cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sinα＝eq \f(1,5)，∴ sinα＝－eq \f(1,5)．
∵ α是第三象限的角，
∴ csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(2\r(6),5)．
∴f(α)＝－csα＝eq \f(2,5)eq \r(6)．
(2) f(α)＝－cs(－1860°)＝－cs(－60°)＝－eq \f(1,2)．
变式1、已知f(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))的值为 ．
【答案】 eq \f(1,2)
【解析】 因为f(α)＝ eq \f(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs (－π－α)tan (π－α))＝ eq \f(－sin α(－cs α),－cs α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(sin α,cs α))))＝cs α，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))
＝cs eq \f(π,3)＝ eq \f(1,2).
变式2、 求值：sin (－1 200°)cs 1 290°＋cs (－1 020°)·sin (－1 050°)＝______；
【答案】 1
【解析】 原式＝－sin 1 200°cs 1 290°－cs 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)·cs (3×360°＋210°)－cs (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cs 210°－cs 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cs (180°＋30°)－cs (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°＝ eq \f(\r(3),2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)＝1.
方法总结：1、熟知将角合理转化的流程
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
考向二 同角函数关系式的运用
例2、已知x∈(－π，0)，sin x＋cs x＝ eq \f(1,5).求：
(1) sin x－cs x的值；
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)的值．
【解析】 (1) sin x＋cs x＝ eq \f(1,5)两边平方，
得sin2x＋2sinx cs x＋cs2x＝ eq \f(1,25)，
整理，得2sinx cs x＝－ eq \f(24,25)，
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin x cs x＝ eq \f(49,25).
由x∈(－π，0)，知sin x＜0.
又sin x＋cs x＞0，
所以cs x＞0，则sin x－cs x＜0，
故sin x－cs x＝－ eq \f(7,5).
(2) eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tanx)＝ eq \f(2sin x(cs x＋sin x),1－\f(sin x,cs x))＝ eq \f(2sin x cs x(cs x＋sin x),cs x－sin x)＝ eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))
＝－ eq \f(24,175)
变式1、(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－eq \f(1,3)，则sinα＋csα的值为_ __．
(2)已知sinαcsα＝eq \f(1,8)，且eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，则csα－sinα的值为__ __．
【答案】（1）－eq \f(\r(10),5).（2）eq \f(\r(3),2).
【解析】 (1)由tanα＝－eq \f(1,3)，得sinα＝－eq \f(1,3)csα，将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，∴cs2α＝eq \f(9,10)，易知csα＜0，∴csα＝－eq \f(3\r(10),10)，sinα＝eq \f(\r(10),10)，故sinα＋csα＝－eq \f(\r(10),5).
(2)∵eq \f(5π,4)＜α＜eq \f(3π,2)，∴csα＜0，sinα＜0且csα＞sinα，∴csα－sinα＞0.又(csα－sinα)2＝1－2sinαcsα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，∴csα－sinα＝eq \f(\r(3),2).
变式2、（2022鄂尔多斯第一中学月考）化简：
(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))（α是第二象限角）；
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α.
【解析】(1) cs α eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))＋sin α eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝cs α· eq \r(\f((1－sin α)2,1－sin2α))＋sinα· eq \r(\f((1－cs α)2,1－cs2α))
＝csα· eq \f(1－sin α,|cs α|)＋sin α· eq \f(1－cs α,|sin α|)
＝cs α· eq \f(1－sin α,－cs α)＋sin α· eq \f(1－cs α,sin α)＝－1＋sin α＋1－cs α＝sin α－cs α.
(2) sin4α＋sin2αcs2α＋cs2α＝sin2α(sin2α＋cs2α)＋cs2α＝sin2α＋cs2α＝1.
变式3、已知2cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tan α的值；
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)的值．
【解析】 (1) 因为2cs2α＋3csαsin α－3sin2α＝1，且cs2α＋sin2α＝1，
所以 eq \f(2cs2α＋3csαsin α－3sin2α,cs2α＋sin2α)＝1，
所以 eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，
解得tanα＝－ eq \f(1,4)或tan α＝1.
又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π))，所以tan α＝－ eq \f(1,4).
(2) eq \f(sin α＋cs α,2sin α－5cs α)＝ eq \f(tan α＋1,2tan α－5)＝ eq \f(－\f(1,4)＋1,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))－5)＝－ eq \f(3,22).
方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．所求式是关于sinα，csα的齐次式时，分子分母同除以csα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
考向三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例3、已知cs(75°+α)=eq \f(1,3)，且α是第三象限角，求cs(15°-α)+sin(α-15°)的值．
【解析】：因为cs(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，
由于α是第三象限角，所以sin(75°+α)<0，
所以sin(75°+α)=．
因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°- (75°+α)]= -cs(75°+α)=-，
所以cs(15°-α)+sin(α-15°)=
变式1、已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，求cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
【答案】 0
【解析】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cs(105°－α)＝cs[180°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)
＝－eq \f(1,3)，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cs(75°＋α)＝eq \f(1,3).
所以cs(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝0.
变式2、 已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝ eq \f(\r(3),3)，则tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝ ．
【答案】 － eq \f(\r(3),3)
【解析】 tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝tan [π－（ eq \f(π,6)－α）]＝－tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－ eq \f(\r(3),3).
变式3、已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝ eq \f(1,3)，则sin （x－ eq \f(5π,6)）＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))的值为 ．
【答案】 eq \f(5,9)
【解析】sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,6)))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))
＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－π))＋sin2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))
＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋1－sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝ eq \f(5,9).
方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
1、（2022·广东广州·一模）若，，则___________.
【答案】
【解析】解：因为，，所以，因为，所以
所以
故答案为：
2、（2022·湖南·长郡中学一模）已知角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【解析】因为角的终边与直线垂直，即角的终边在直线上，
所以，，
故选：B．
3、（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，则______．
【答案】0或1##1或0
【解析】由得：，
则，，所以或.
故答案为：0或1
4、（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，，，
，所以.
故选：C
5、（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
故选：B.
6、（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】A
【解析】
所以
故选：A
7、（2022·湖北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以
.
故选：D.
8、（2022·辽宁葫芦岛·二模）若，则（ ）
A．B．C．-3D．3
【答案】C
【解析】，
分子分母同除以，
，
解得：
故选：C
一
二
三
四
五
六
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
sin α
－sin α
－sin α
sin_α
cs_α
cs_α
cs α
－cs α
cs α
－cs_α
sin_α
－sin_α
tan α
tan α
－tan α
－tan_α