高考数学第一轮复习导学案(新高考)第30讲y=sin(ωx+φ)的图象与性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第30讲y=sin(ωx+φ)的图象与性质(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了 y＝Asin的有关概念，与三角函数奇偶性相关的结论等内容，欢迎下载使用。
1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．16B．14C．13D．12
4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136B．53,196C．136,83D．136,196
5、【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π30，|φ|< eq \f(π,2)）的部分图象如图所示，则φ的值为 ．
变式2、（2022·江苏海安·高三期末）函数的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3、（2022年湖南张家界市模拟试卷）记函数的最小正周期为T，若，且是图象的一个最高点，则（ ）
A. B. C. D.
方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
例2、某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，求θ的最小值．
变式1、（2022年福建永泰县高三模拟试卷）（多选题）要得到的图象,只要将图象怎样变化得到
A. 将的图象沿x轴方向向左平移个单位
B. 将的图象沿x轴方向向右平移个单位
C. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向右平移个单位
D. 先作关于x轴对称图象,再将图象沿x轴方向向左平移个单位
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右移个单位
变式3、 （2022年福建龙岩市模拟试卷）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
变式4、（2022·山东莱西·高三期末）要得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
考向三 三角函数图象与性质的综合问题
例3、（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）
A．若ω=1，则f(x)在上是单调增函数
B．若，则正整数ω的最小值为2
C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度，所得到的图象关于原点对称
D．若f(x)在上有且仅有3个零点，则
变式1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数 (A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当时，f(x)的最大值为1
D．若，则的最小值为π
变式2、（2022·江苏宿迁·高三期末）（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则（ ）
A．为奇函数
B．在区间上单调递增
C．方程在内有个实数根
D．的解析式可以是
变式3、（2022·广东汕尾·高三期末）（多选题）以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线的函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．
1、（2022年厦门双十中学模拟试卷）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（ ）
A. B. C. D.
2、（2022·广东佛山·高三期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示，图中，，则___________.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）若的部分图象如图所示，则的值为________．
4、（2022·广东潮州·高三期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A．对任意正奇数n，f(x)为奇函数
B．当n=3时，f(x)在[0，]上的最小值为
C．当n=4时，f(x)的单调递增区间是
D．对任意正整数n，f(x)的图象都关于直线对称
5、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数，若且对任意都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称
6、（2022·山东泰安·高三期末）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围.
第30讲 y=sin(ωx+φ)的图象与性质
1、 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
3、 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）） 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图象如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
2、 （2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则
3、【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
4、【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．53,136B．53,196C．136,83D．136,196
【答案】C
【解析】
解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+π3∈π3,ωπ+π3，
要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx，x∈π3,3π的图象如下所示：
则5π2