高考数学第一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3.5指数与指数函数(讲)原卷版+解析

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1．根式和分数指数幂
1．n次方根
2.根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①(eq \r(n,a))n＝a.
②eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数.))
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象和性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
【考点分类剖析】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学D．丙同学和甲同学
【典例2】计算：21412−(−9.6)0−82723+32−2．
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
【变式探究】
1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－
2.计算：×0＋×－＝________.
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）eq \r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如eq \r(8,a2)，a∈R，化成分数指数幂应为a eq \s\up4(\f(2,8)) ，a∈R，而a eq \s\up4(\f(1,4)) ＝eq \r(4,a)，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
【典例3】已知x+x−1=3 ，则x32+x−32的值为__________．
【典例4】设，求 的值．
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x−12)2=x+2+x−1，(x+x−1)2=x2+2+x−2，x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)，解题时要善于应用公式变形．
【变式探究】
已知，求下列各式的值.
（1）；（2）；（3）
考点三：指数函数的概念
【典例5】（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【规律方法】
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
【变式探究】
若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有 ( )
A．a＝1或2B．a＝1
C．a＝2D．a>0且a≠1
考点四：指数函数的图象
【典例6】（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【典例7】（2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中）函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3.识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
= 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
= 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复；
= 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
= 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
4.过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
【变式探究】
1.（2020·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是( )
A．B．
C．D．
2.如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.
则a，b，c，d与1的大小关系是 ( )
A．a