高考数学一轮复习(新教材新高考)第14讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用(高阶拓展)专项练习(学生版+解析)

这是一份高考数学一轮复习(新教材新高考)第14讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用(高阶拓展)专项练习(学生版+解析)，共31页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分
【备考策略】1能理解泰勒公式的本质
2能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式，去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可
知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法．
【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：
其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
考点一、泰勒展开式的综合应用
1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）
设，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·云南玉溪·统考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广东肇庆·高三统考期末）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测），则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南驻马店·统考二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东济宁·统考二模）设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）若，，，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）下列结论中正确的个数为（ ）
①，；②；③．
A．0B．1C．2D．3
8．（2023·云南·校联考三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·四川内江·统考三模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2023·浙江·统考二模）设，则（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题
16．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若当时，求的取值范围．
17．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：.
18．（2022春·辽宁·高二校联考期中）已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
19．（2023·全国·高三专题练习）证明：
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若时，求的最小值．
第14讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分
【备考策略】1能理解泰勒公式的本质
2能运用泰勒公式求解
【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式，去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可
知识讲解
1．泰勒公式：
泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法．
【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：
其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量．
2．常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
3．常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
考点一、泰勒展开式的综合应用
1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）
设，，则（ ）
A．B．C．D．
泰勒公式法：
因为，所以，所以
因为
所以
综上所述：
故选：C
其他方法
放缩法
因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
构造函数法
假设成立，即
令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）
假设成立，即
令，则等价证明：，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以函数在单调递增，
所以，即：，所以假设不成立，即，
综上所述：，故选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.
【详解】
[方法一]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法二]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法三]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
[方法一]：
由泰勒公式, 可知
将 , 分别相应代入估 算, 得 .
由此可知 .
[方法二]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0